กราฟอาร์คซิน x ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ความหมายและสัญกรณ์

อาร์คไซน์ (y = อาร์คซิน x) คือฟังก์ชันผกผันของไซน์ (x = บาป -1 ≤ x ≤ 1และเซตของค่า -π /2 ≤ y ≤ π/2.
บาป(อาร์กซิน x) = x ;
อาร์คซิน(บาป x) = x .

อาร์คไซน์บางครั้งแสดงดังนี้:
.

กราฟของฟังก์ชันอาร์คไซน์

กราฟของฟังก์ชัน y = อาร์คซิน x

กราฟอาร์คไซน์จะได้มาจากกราฟไซน์ถ้าสลับแกนแอบซิสซาและแกนพิกัด เพื่อขจัดความคลุมเครือ ช่วงของค่าจะถูกจำกัดไว้ที่ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก คำจำกัดความนี้เรียกว่าค่าหลักของอาร์กไซน์

อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส

ความหมายและสัญกรณ์

อาร์คโคไซน์ (y = อาร์คคอส x) คือฟังก์ชันผกผันของโคไซน์ (x = อบอุ่นสบาย- มันมีขอบเขต -1 ≤ x ≤ 1และความหมายมากมาย 0 ≤ y ≤ π.
cos(อาร์คคอส x) = x ;
ส่วนโค้ง(cos x) = x .

อาร์คโคซีนบางครั้งแสดงดังนี้:
.

กราฟของฟังก์ชันอาร์คโคไซน์

กราฟของฟังก์ชัน y = อาร์คคอส x

กราฟอาร์คโคไซน์จะได้มาจากกราฟโคไซน์ ถ้าสลับแกนแอบซิสซาและแกนพิกัด เพื่อขจัดความคลุมเครือ ช่วงของค่าจะถูกจำกัดไว้ที่ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก คำจำกัดความนี้เรียกว่าค่าหลักของอาร์คโคไซน์

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันอาร์คไซน์เป็นเลขคี่:
อาร์คซิน(- x) = อาร์คซิน(-ซิน อาร์คซิน x) = อาร์คซิน(บาป(-อาร์คซิน x)) = - อาร์คซิน x

ฟังก์ชันอาร์คโคไซน์ไม่เป็นคู่หรือคี่:
อาร์คคอส(- x) = อาร์คคอส(-cos อาร์คคอส x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - ส่วนโค้ง x ≠ ± ส่วนโค้ง x

คุณสมบัติ - สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ฟังก์ชันอาร์กไซน์และอาร์กโคไซน์มีความต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของอาร์คไซน์และอาร์คโคซีนแสดงอยู่ในตาราง

	ย= อาร์คซิน x	ย= อาร์คคอส x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
ช่วงของค่า
ขึ้น,ลง	เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อ	ลดลงอย่างน่าเบื่อ
เสียงสูง
ขั้นต่ำ
ศูนย์, y = 0	x= 0	x= 1
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย= 0	ย = π/ 2

ตารางอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์

ตารางนี้แสดงค่าของอาร์กไซน์และอาร์กโคไซน์ในหน่วยองศาและเรเดียนสำหรับค่าบางค่าของอาร์กิวเมนต์

x	อาร์คซิน x		อาร์คคอส x
	ลูกเห็บ	ยินดี.	ลูกเห็บ	ยินดี.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

สูตร

ดูเพิ่มเติมที่: ที่มาของสูตรสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

สูตรผลรวมและผลต่าง

ที่หรือ

ที่และ

ที่และ

ที่หรือ

ที่และ

ที่และ

ที่

ที่

ที่

ที่

นิพจน์ผ่านลอการิทึม จำนวนเชิงซ้อน

ดูเพิ่มเติมที่: การหาสูตร

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

อนุพันธ์

;
.
ดูที่มาของอาร์คไซน์และอนุพันธ์อาร์คโคไซน์ > > >

อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น:
,
พหุนามของดีกรีอยู่ที่ไหน .
;
;
.

ดูที่มาของอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์ > > >

ปริพันธ์

เราทำการทดแทน x = บาป- เราอินทิเกรตทีละส่วน โดยคำนึงถึงว่า -π/ 2 ≤ เสื้อ ≤ π/2, เพราะเสื้อ ≥ 0:
.

ลองแสดงอาร์คโคไซน์ผ่านอาร์คไซน์:
.

การขยายซีรีส์

เมื่อ |x|< 1 การสลายตัวต่อไปนี้เกิดขึ้น:
;
.

ฟังก์ชันผกผัน

ส่วนผกผันของอาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์คือไซน์และโคไซน์ตามลำดับ

สูตรต่อไปนี้ใช้ได้ตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ:
บาป(อาร์กซิน x) = x
cos(อาร์คคอส x) = x .

สูตรต่อไปนี้ใช้ได้กับชุดของค่าอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์เท่านั้น:
อาร์คซิน(บาป x) = xที่
ส่วนโค้ง(cos x) = xที่ .

วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

ดูเพิ่มเติมที่:

ฟังก์ชัน sin, cos, tg และ ctg มักจะมาพร้อมกับอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์ ฟังก์ชันหนึ่งเป็นผลมาจากอีกฟังก์ชันหนึ่ง และคู่ของฟังก์ชันก็มีความสำคัญพอๆ กันสำหรับการทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติ

พิจารณาการวาดวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบกราฟิก

หากเราคำนวณส่วนโค้ง OA, arcos OC, arctg DE และ arcctg MK แล้วพวกมันทั้งหมดจะเท่ากับค่าของมุม α สูตรด้านล่างสะท้อนถึงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานกับส่วนโค้งที่สอดคล้องกัน

เพื่อให้เข้าใจถึงคุณสมบัติของอาร์คไซน์มากขึ้น จำเป็นต้องพิจารณาหน้าที่ของมันด้วย กำหนดการ มีรูปแบบเส้นโค้งไม่สมมาตรผ่านจุดศูนย์กลางพิกัด

คุณสมบัติของอาร์คซีน:

หากเราเปรียบเทียบกราฟ บาปและ อาร์คซินฟังก์ชันตรีโกณมิติสองฟังก์ชันสามารถมีรูปแบบที่เหมือนกันได้

โคไซน์ส่วนโค้ง

ส่วนโค้งของตัวเลขคือค่าของมุม α ซึ่งมีโคไซน์เท่ากับ a

เส้นโค้ง y = ส่วนโค้ง xกระจกเงา กราฟอาร์คซิน x โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่มันผ่านจุด π/2 บนแกน OY

ลองดูฟังก์ชันอาร์คโคไซน์โดยละเอียด:

1. ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา [-1; 1].
2. ODZ สำหรับ arccos - .
3. กราฟจะอยู่ในไตรมาสที่หนึ่งและไตรมาสที่สองทั้งหมด และฟังก์ชันนั้นไม่เป็นคู่หรือคี่
4. Y = 0 ที่ x = 1
5. เส้นโค้งจะลดลงตามความยาวทั้งหมด คุณสมบัติบางอย่างของอาร์คโคไซน์ตรงกับฟังก์ชันโคไซน์

คุณสมบัติบางอย่างของอาร์คโคไซน์ตรงกับฟังก์ชันโคไซน์

บางทีเด็กนักเรียนอาจพบว่าการศึกษา "ส่วนโค้ง" แบบ "ละเอียด" เช่นนี้ไม่จำเป็น อย่างไรก็ตามมิเช่นนั้นก็มีพื้นฐานทั่วไปบางประการ งานสอบ Unified Stateอาจทำให้นักเรียนสับสนได้

ภารกิจที่ 1ระบุฟังก์ชั่นที่แสดงในภาพ

คำตอบ:ข้าว. 1 – 4, รูปที่ 2 – 1.

ในตัวอย่างนี้ เน้นที่สิ่งเล็กๆ น้อยๆ โดยปกติแล้ว นักเรียนจะไม่สนใจการสร้างกราฟและรูปลักษณ์ของฟังก์ชันมากนัก เหตุใดจึงต้องจำประเภทของเส้นโค้งหากสามารถพล็อตโดยใช้จุดที่คำนวณได้เสมอ อย่าลืมว่าภายใต้เงื่อนไขการทดสอบจะใช้เวลาในการวาดภาพ งานง่ายๆจะต้องแก้ไขงานที่ซับซ้อนมากขึ้น

อาร์คแทนเจนต์

อาร์คท์จีตัวเลข a คือค่าของมุม α โดยที่แทนเจนต์ของมุมนั้นเท่ากับ a

หากเราพิจารณากราฟอาร์กแทนเจนต์ เราสามารถเน้นคุณสมบัติต่อไปนี้:

1. กราฟไม่มีที่สิ้นสุดและกำหนดไว้ในช่วงเวลา (- ∞; + ∞)
2. อาร์กแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้น อาร์กแทน (- x) = - อาร์กแทน x
3. Y = 0 ที่ x = 0
4. เส้นโค้งจะเพิ่มขึ้นตลอดช่วงคำจำกัดความทั้งหมด

นี่เป็นเรื่องสั้น การวิเคราะห์เปรียบเทียบ tg x และ arctg x ในรูปแบบตาราง

อาร์กโคแทนเจนต์

ส่วนโค้งของตัวเลข - รับค่า α จากช่วง (0; π) โดยที่โคแทนเจนต์ของมันเท่ากับ a

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์คโคแทนเจนต์:

1. ช่วงคำจำกัดความของฟังก์ชันคืออนันต์
2. ช่วงของค่าที่ยอมรับได้คือช่วง (0; π)
3. F(x) ไม่เป็นคู่หรือคี่
4. กราฟของฟังก์ชันจะลดลงตลอดความยาวทั้งหมด

มันง่ายมากที่จะเปรียบเทียบ ctg x และ arctg x คุณเพียงแค่ต้องสร้างภาพวาดสองภาพและอธิบายพฤติกรรมของเส้นโค้ง

ภารกิจที่ 2จับคู่กราฟและรูปแบบสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน

หากเราคิดอย่างมีเหตุผล จากกราฟจะเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันทั้งสองเพิ่มขึ้น ดังนั้นตัวเลขทั้งสองจึงแสดงฟังก์ชันอาร์คแทนที่แน่นอน จากคุณสมบัติของอาร์กแทนเจนต์ เป็นที่ทราบกันว่า y=0 ที่ x = 0

คำตอบ:ข้าว. 1 – 1, รูปที่. 2 – 4.

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ arcsin, arcos, arctg และ arcctg

ก่อนหน้านี้ เราได้ระบุความสัมพันธ์ระหว่างส่วนโค้งและฟังก์ชันพื้นฐานของตรีโกณมิติแล้ว การพึ่งพานี้สามารถแสดงได้ด้วยสูตรจำนวนหนึ่งที่อนุญาตให้แสดงได้ เช่น ไซน์ของอาร์กิวเมนต์ผ่านอาร์กไซน์ อาร์กโคไซน์ หรือในทางกลับกัน ความรู้เกี่ยวกับอัตลักษณ์ดังกล่าวจะมีประโยชน์เมื่อแก้ไขตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์สำหรับ arctg และ arcctg:

สูตรที่มีประโยชน์อีกคู่หนึ่งจะตั้งค่าสำหรับผลรวมของอาร์คซินและอาร์โกส รวมถึงค่าอาร์ซีทีจีและอาร์ซีทีจีที่มีมุมเดียวกัน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

งานตรีโกณมิติสามารถแบ่งออกเป็นสี่กลุ่ม: คำนวณค่าตัวเลขของนิพจน์เฉพาะ สร้างกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความหรือ ODZ และดำเนินการแปลงเชิงวิเคราะห์เพื่อแก้ตัวอย่าง

เมื่อแก้ไขปัญหาประเภทแรก คุณต้องปฏิบัติตามแผนปฏิบัติการต่อไปนี้:

เมื่อทำงานกับกราฟฟังก์ชัน สิ่งสำคัญคือความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติและ รูปร่างคดเคี้ยว การแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการต้องใช้ตารางข้อมูลประจำตัว ยิ่งนักเรียนจำสูตรได้มากเท่าใด ก็จะยิ่งค้นหาคำตอบของงานได้ง่ายขึ้นเท่านั้น

สมมติว่าใน Unified State Examination คุณต้องค้นหาคำตอบสำหรับสมการเช่น:

หากคุณแปลงนิพจน์ได้อย่างถูกต้องและนำไปเป็นรูปแบบที่ต้องการการแก้ไขจะง่ายและรวดเร็วมาก ก่อนอื่น ลองย้ายอาร์กซิน x ไปทางด้านขวาของค่าเท่ากัน

หากจำสูตรได้ อาร์คซิน (บาป α) = αจากนั้นเราสามารถลดการค้นหาคำตอบในการแก้ระบบสมการสองสมการได้:

ข้อจำกัดของโมเดล x เกิดขึ้นอีกครั้งจากคุณสมบัติของอาร์กซิน: ODZ สำหรับ x [-1; 1]. เมื่อ ≠0 ส่วนหนึ่งของระบบคือสมการกำลังสองที่มีราก x1 = 1 และ x2 = - 1/a เมื่อ a = 0 x จะเท่ากับ 1

(ฟังก์ชันวงกลม ฟังก์ชันส่วนโค้ง) - ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ผกผันกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

โคไซน์ส่วนโค้ง, ฟังก์ชันผกผันกับ cos (x = cos y), ย=อาร์คคอส xถูกกำหนดไว้ที่และมีหลายค่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่งคืนค่ามุมตามค่าของมัน เพราะ.

โคไซน์ส่วนโค้ง(ชื่อ: อาร์คคอส x; อาร์คคอส xคือมุมที่มีโคไซน์เท่ากับ xและอื่น ๆ)

การทำงาน y = cos xต่อเนื่องกันและมีขอบเขตตามเส้นจำนวนทั้งหมด การทำงาน y = อาร์คคอส xกำลังลดลงอย่างรุนแรง

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กซิน

รับฟังก์ชันอาร์คคอส

กำหนดให้มีฟังก์ชัน y = cos x- ตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด มันเป็นแบบโมโนโทนิกแบบชิ้นๆ และด้วยเหตุนี้ จึงเป็นการติดต่อแบบผกผัน y = อาร์คคอส xไม่ใช่ฟังก์ชัน ดังนั้นเราจะพิจารณาส่วนที่ลดลงอย่างเคร่งครัดและรับค่าทั้งหมด - . ในส่วนนี้ y = cos xลดลงอย่างซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดและรับค่าทั้งหมดเพียงครั้งเดียวซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชันผกผันในส่วนนี้ y = อาร์คคอส xซึ่งมีกราฟสมมาตรกับกราฟ y = cos xบนส่วนที่ค่อนข้างตรง ย = x.

ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันมักนำเสนอในการสอบปลายภาคของโรงเรียนและในการสอบเข้าในมหาวิทยาลัยบางแห่ง การศึกษาโดยละเอียดของหัวข้อนี้สามารถทำได้เฉพาะในวิชาเลือกหรือวิชาเลือกเท่านั้น หลักสูตรที่นำเสนอนี้ออกแบบมาเพื่อพัฒนาความสามารถของนักเรียนแต่ละคนอย่างเต็มที่เท่าที่จะเป็นไปได้ และปรับปรุงการเตรียมการทางคณิตศาสตร์ของเขา

หลักสูตรนี้ใช้เวลา 10 ชั่วโมง:

1.ฟังก์ชัน arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ชั่วโมง)

2.การดำเนินการกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (4 ชั่วโมง)

3. การดำเนินการตรีโกณมิติผกผันกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ (2 ชั่วโมง)

บทที่ 1 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: ฟังก์ชัน y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x

เป้าหมาย: ครอบคลุมประเด็นนี้โดยสมบูรณ์

1.ฟังก์ชัน y = อาร์คซิน x

a) สำหรับฟังก์ชัน y = sin x บนเซกเมนต์จะมีฟังก์ชันผกผัน (ค่าเดียว) ซึ่งเราตกลงที่จะเรียกอาร์คไซน์และแสดงว่ามันเป็นดังนี้: y = arcsin x กราฟของฟังก์ชันผกผันจะสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชันหลักเทียบกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัด I - III

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y = อาร์คซิน x

1) โดเมนของคำจำกัดความ: เซ็กเมนต์ [-1; 1];

2)ขอบเขตของการเปลี่ยนแปลง: ส่วน;

3)ฟังก์ชัน y = อาร์คซิน x คี่: อาร์คซิน (-x) = - อาร์คซิน x;

4) ฟังก์ชัน y = arcsin x เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ

5) กราฟตัดแกน Ox, Oy ที่จุดกำเนิด

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา a = arcsin ตัวอย่างนี้สามารถกำหนดรายละเอียดได้ดังนี้ หาข้อโต้แย้ง a ซึ่งอยู่ในช่วงจากถึงซึ่งมีไซน์เท่ากับ

สารละลาย. มีอาร์กิวเมนต์จำนวนนับไม่ถ้วนที่มีไซน์เท่ากับ เช่น: ฯลฯ แต่เราสนใจเฉพาะข้อโต้แย้งที่อยู่ในส่วนนั้นเท่านั้น นี่จะเป็นข้อโต้แย้ง ดังนั้น, .

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา .สารละลาย.เราได้รับข้อโต้แย้งในลักษณะเดียวกับตัวอย่างที่ 1 .

b) การออกกำลังกายในช่องปาก ค้นหา: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0 ตัวอย่างคำตอบ: , เพราะ - นิพจน์สมเหตุสมผลหรือไม่: ; อาร์คซิน 1.5; ?

c) จัดเรียงจากน้อยไปหามาก: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9

ครั้งที่สอง ฟังก์ชัน y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (คล้ายกัน)

บทที่ 2 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน, กราฟ

วัตถุประสงค์: ในบทนี้จำเป็นต้องพัฒนาทักษะในการกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในการสร้างกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันโดยใช้ D (y), E (y) และการแปลงที่จำเป็น

ในบทเรียนนี้ แบบฝึกหัดทั้งหมดประกอบด้วยการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ โดเมนของค่าของฟังก์ชันประเภท: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos

จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชัน: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 อาร์คซิน 2x; c) y = อาร์คซิน;

d) y = อาร์คซิน; e) y = อาร์คซิน; e) y = อาร์คซิน; ก) y = | อาร์คซิน | -

ตัวอย่าง.เรามาพลอต y = arcco กัน

คุณสามารถรวมแบบฝึกหัดต่อไปนี้ในการบ้านของคุณ: สร้างกราฟของฟังก์ชัน: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | -

กราฟของฟังก์ชันผกผัน

บทเรียนที่ 3 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ:

การดำเนินการเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

เป้าหมาย: เพื่อขยายความรู้ทางคณิตศาสตร์ (ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญสำหรับผู้ที่เข้าสู่สาขาวิชาพิเศษและมีข้อกำหนดที่เพิ่มขึ้นสำหรับการฝึกอบรมทางคณิตศาสตร์) โดยแนะนำความสัมพันธ์พื้นฐานสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

วัสดุสำหรับบทเรียน

การดำเนินการตรีโกณมิติอย่างง่ายบางอย่างในฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน: บาป (อาร์คซิน x) = x, ฉัน xi ? 1; cos (arсcos x) = x, ฉัน xi? 1; tg (arctg x)= x , x IR; กะรัต (arcctg x) = x , x I R

แบบฝึกหัด

ก) tg (1.5 + ส่วนโค้ง 5) = - ctg (ส่วนโค้ง 5) = .

CTG (ส่วนโค้ง x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + อาร์คซิน 0.6) = - cos (อาร์คซิน 0.6) ให้ arcsin 0.6 = a, sin a = 0.6;

cos (อาร์คซิน x) = ; บาป (อาร์คคอส x) = .

หมายเหตุ: เราใช้เครื่องหมาย “+” ที่ด้านหน้าของรูทเพราะ a = arcsin x พอใจ

c) บาป (1.5 + อาร์คซิน) คำตอบ: ;

d) ctg ( + arctg 3) คำตอบ: ;

จ) tg ( – arcctg 4). คำตอบ: .

จ) cos (0.5 + อาร์คคอส) คำตอบ: .

คำนวณ:

ก) บาป (2 อาร์คแทน 5) .

ให้ arctan 5 = a แล้ว sin 2 a = หรือบาป (2 อาร์คแทน 5) = ;

b) cos ( + 2 อาร์คซิน 0.8) คำตอบ: 0.28

ค) ส่วนโค้ง + ส่วนโค้ง

ให้ a = อาร์กแทน, b = อาร์กแทน

แล้ว tg(a + b) = .

d) บาป(อาร์คซิน + อาร์คซิน)

e) พิสูจน์ว่าสำหรับทุกคน x ฉัน [-1; 1] อาร์คซิน x + อาร์คคอส x = จริง

การพิสูจน์:

อาร์คซิน x = – อาร์คคอส x

บาป (อาร์คซิน x) = บาป ( – อาร์คคอส x)

x = คอส (อาร์คคอส x)

วิธีแก้ไขด้วยตนเอง:บาป (อาร์คคอส), คอส (อาร์คซิน), คอส (อาร์คซิน ()), บาป (อาร์คท์จี (- 3)), tg (อาร์คคอส), กะรัต (อาร์คคอส)

สำหรับวิธีแก้ปัญหาที่บ้าน: 1) sin (arcsin 0.6 + arctan 0); 2) อาร์คซิน + อาร์คซิน ; 3) CTG ( – อาร์คคอส 0.6); 4) cos (2 ส่วนโค้ง 5) ; 5) บาป (1.5 – อาร์คซิน 0.8); 6) ส่วนโค้ง 0.5 – ส่วนโค้ง 3

บทเรียนที่ 4 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: การดำเนินการเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

เป้าหมาย: ในบทเรียนนี้ สาธิตการใช้อัตราส่วนในการแปลงนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

วัสดุสำหรับบทเรียน

ปากเปล่า:

ก) บาป (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

b) tg (ส่วนโค้ง 5), ctg (ส่วนโค้ง 5);

ค) บาป (arctg -3), cos (arcсtg());

ง) tg (อาร์คคอส), ctg (อาร์คคอส())

เป็นลายลักษณ์อักษร:

1) cos (อาร์คซิน + อาร์คซิน + อาร์คซิน)

2) cos (arctg 5–arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg ( - อาร์คซิน 0.6) = - tg (อาร์คซิน 0.6) =

4)

งานอิสระจะช่วยระบุระดับความเชี่ยวชาญของเนื้อหา

1) tg (อาร์กต์จี 2 – อาร์กต์จี) 2) คอส( - อาร์กแทน2) 3) อาร์คซิน + อาร์คคอส	1) cos (อาร์คซิน + อาร์คซิน) 2) บาป (1.5 - อาร์คแทน 3) 3) arcctg3 – ส่วนโค้ง 2

สำหรับ การบ้านเราสามารถแนะนำ:

1) CTG (อาร์คท์จี + อาร์คท์จี + อาร์คท์จี); 2) บาป 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) บาป (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) บาป(2 อาร์คแทน); 5) tg ( (อาร์ซิน ))

บทเรียนที่ 5 (2 ชั่วโมง) หัวข้อ: การดำเนินการตรีโกณมิติผกผันเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เป้าหมาย: เพื่อสร้างความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับการดำเนินการเกี่ยวกับตรีโกณมิติผกผันในฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยมุ่งเน้นที่การเพิ่มความเข้าใจในทฤษฎีที่กำลังศึกษา

เมื่อศึกษาหัวข้อนี้ ถือว่าปริมาณเนื้อหาทางทฤษฎีที่จะท่องจำนั้นมีจำกัด

สื่อการสอน:

คุณสามารถเริ่มเรียนรู้เนื้อหาใหม่ๆ ได้โดยศึกษาฟังก์ชัน y = arcsin (sin x) และวาดกราฟของมัน

3. แต่ละ x I R เกี่ยวข้องกับ y I เช่น<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่: sin(-x) = - sin x; อาร์คซิน(บาป(-x)) = - อาร์คซิน(บาป x)

6. กราฟ y = arcsin (sin x) บน:

ก) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

ข)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

บาป y = บาป ( – x) = บาป x , 0<= - x <= .

ดังนั้น,

หลังจากสร้าง y = arcsin (sin x) บนแล้ว เราจะดำเนินการต่ออย่างสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดบน [- ; 0] เมื่อพิจารณาจากความแปลกของฟังก์ชันนี้ เมื่อใช้คาบ เราจะดำเนินต่อไปตามเส้นจำนวนทั้งหมด

จากนั้นเขียนความสัมพันธ์บางอย่าง: อาร์คซิน (sin a) = a ถ้า<= a <= ; arccos (cos ก ) = ก ถ้า 0<= a <= - arctg (tg a) = a ถ้า< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

และทำแบบฝึกหัดต่อไปนี้:a) arccos(บาป 2).ตอบ: 2 - ; b) อาร์คซิน (cos 0.6) คำตอบ: - 0.1; c) arctg (tg 2) คำตอบ: 2 - ;

d) arcctg(tg 0.6) ตอบ: 0.9; จ) อาร์คคอส (cos ( - 2)) คำตอบ: 2 - ; e) อาร์คซิน (บาป ( - 0.6)) คำตอบ: - 0.6; ก.) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )) ตอบ: 2 - ; h) arcctg (tg 0.6) คำตอบ: - 0.6; - อาร์คแทน x; จ) อาร์คคอส + อาร์คคอส

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน(ฟังก์ชันวงกลม ฟังก์ชันส่วนโค้ง) - ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ผกผันกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

อาร์คซีน(แสดงเป็น อาร์คซิน x; อาร์คซิน x- นี่คือมุม บาปเท่ากับเขา x).

อาร์คซีน (y = อาร์คซิน x) - ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ถึง บาป (x = บาป y) ซึ่งมีโดเมนและชุดของค่า - กล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่งคืนค่ามุมตามค่าของมัน บาป.

การทำงาน y=บาป xต่อเนื่องกันและมีขอบเขตตามเส้นจำนวนทั้งหมด การทำงาน y=อาร์คซิน x- เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด

คุณสมบัติของฟังก์ชันอาร์กซิน

พล็อตอาร์คไซน์

รับฟังก์ชันอาร์คซิน

มีฟังก์ชั่น y = บาปx- ตลอดทั้งขอบเขตของคำจำกัดความ มันเป็นแบบโมโนโทนิกแบบชิ้นๆ ดังนั้นการโต้ตอบแบบผกผัน y = อาร์คซิน xไม่ใช่ฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงพิจารณาส่วนที่เพิ่มและรับแต่ละค่าของช่วงค่าเท่านั้น - . เพราะ สำหรับฟังก์ชั่น y = บาปxในช่วงเวลานี้ค่าทั้งหมดของฟังก์ชันจะได้รับโดยมีค่าอาร์กิวเมนต์เพียงค่าเดียวซึ่งหมายความว่าในช่วงเวลานี้จะมีฟังก์ชันผกผัน y = อาร์คซิน xซึ่งกราฟมีความสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชัน y = บาปxบนส่วนที่ค่อนข้างตรง ย = x.