วิธีค้นหาค่าขีดจำกัด จะแก้ไขขีดจำกัดสำหรับหุ่นจำลองได้อย่างไร? คำตอบเมื่อ x มีแนวโน้มลบอนันต์

• จำกัด, -ก, ม.

  1. ขอบสุดท้าย ส่วนหนึ่งของบางสิ่งบางอย่าง. นี่คือขีดจำกัดสูงสุดของจังหวัดระดับการใช้งาน Mamin-Sibiryak เพื่อน ดูเหมือนว่าจะมีและจะไม่มีข้อจำกัดสำหรับป่าเหล่านี้เบลลอฟ, อีฟส์. - ทรานส์ตอนจบ ตอนจบ ตอนจบของ smth [ผู้ป่วย] ไม่ได้คิดถึงจุดจบที่กำลังใกล้เข้ามา - เกี่ยวกับขีดจำกัดที่เขาต้องรีบเร่งด้วยความเร็วจนเวียนหัวกลัดคอฟ พลังงาน. สำหรับพวกเขา เธอคือคนแก่ที่ใกล้จะบั้นปลายชีวิต โดยเหลือส่วนแบ่งของผู้หญิงคนสุดท้าย นั่นคือ การดูแลมารดา Lavrenev หญิงชรา มีเพียงหายนะเท่านั้นที่สามารถยุติความขัดแย้งของ Nikita กับตัวเขาเองได้เฟดิน พี่น้อง.

  2. กรุณา ชม. (ขีดจำกัด, -ไข่- ลักษณะที่เป็นธรรมชาติหรือธรรมดาที่เป็นขอบเขตของบางสิ่งบางอย่าง ดินแดน; ชายแดน ทางตะวันออกเขา [Svyatoslav] ขยายขอบเขตของดินแดนรัสเซียไปยังพรมแดนเหล่านั้นซึ่งห้าร้อยปีต่อมา Ivan the Terrible ต้องวาดภาพอีกครั้ง A. N. Tolstoy ดินแดนรัสเซียมาจากไหน ชลีปินพบว่าตัวเองอยู่นอกดินแดนของบิดาจึงเสียชีวิตด้วยความคิดถึงบ้านเกิดและโหยหาบ้านเกิด Gribachev, Berezka และมหาสมุทร - อะไรหรือ ที่.ภูมิประเทศ พื้นที่ ล้อมรอบด้วย smb. เส้นขอบ ป่า Ashaga ยอมรับนักล่าเข้าไปในพื้นที่คุ้มครองของพวกเขา Tikhonov สายรุ้งคู่ ในคืนฤดูใบไม้ผลิที่ขาวโพลนนี้ นกไนติงเกลจะดังก้องกังวานไปทั่วทั้งป่าปาสเติร์นัค, ไวท์ไนท์. แชมเบอร์มิวสิคค่อยๆ เคลื่อนตัวออกไปนอกคฤหาสน์ของคนรวยและมีเกียรติ และเริ่มแสดงในห้องแสดงคอนเสิร์ต ซึ่งเรายังคงฟังอยู่จนทุกวันนี้ Kabalevsky ประมาณสามวาฬและอีกมากมาย - ตราด-กวี.ภูมิภาคประเทศ และเจ้าชายก็ใส่ลูกธนูที่เชื่อฟังของพระองค์ด้วยยาพิษนั้น และพระองค์ทรงส่งความตายไปยังเพื่อนบ้านในต่างแดนด้วยลูกศรเหล่านั้นพุชกิน, อันชาร์. ฉันจำได้ว่าดวงอาทิตย์แผดเผาขึ้นสู่ท้องฟ้าฤดูหนาวเมื่อเครื่องบินลำหนึ่งบินจากดินแดนอันห่างไกลไปยังมอสโกวสเมลยาคอฟ เพื่อรำลึกถึงดิมิทรอฟ - ช่วงเวลาหนึ่งที่ถูกจำกัดด้วยบางสิ่ง เงื่อนไข (โดยปกติจะรวมกัน ภายใน). พวกเขาบอกว่าผู้คนเดินทางไป Orenburg ด้วยรถไฟและบางทีฉันจะไป แต่ทุกอย่างจะใช้เวลาภายใน 14 วันแอล. ตอลสตอย จดหมายถึงเอส.เอ. ตอลสตอย 4 กันยายน พ.ศ. 2419

  3. มักจะเป็นพหูพจน์ ชม. (ขีดจำกัด, -ไข่) ทรานส์วัดขอบเขตของบางสิ่งบางอย่าง กรอบ. อยู่ในขอบเขตแห่งความเหมาะสม □ ในที่สุดความอดทนทั้งหมด 365 มีข้อจำกัด Pisarev บทกวีมรณกรรมของ Heine - จนถึงตอนนี้ ฉันยังไม่ได้ไปไกลกว่าสิทธิ์ที่กฎหมายมอบให้ฉันในฐานะผู้บัญชาการกองเรือสเตปานอฟ, พอร์ตอาร์เธอร์. ความรู้ในอดีตของปิตุภูมิของ Fyodor Andreevich นั้นค่อนข้างเรียบง่ายโดยส่วนใหญ่อยู่ในขอบเขตของ "หลักสูตรระยะสั้น" E. Nosov ไม่มีสิบรูเบิล - สูงกว่า ระดับของบางสิ่งบางอย่าง. ขีดจำกัดของความฝัน □ ความเข้มแข็งของประชาชนทั้งกายและศีลธรรมก็หมดลง V. Kozhevnikov พลร่ม ประเทศของฉัน แรงกระตุ้นของคุณวิเศษมากที่จะไปถึงขีดจำกัดสุดท้ายในทุกสิ่ง! Vinokurov "นานาชาติ"

  4. เสื่อ.ปริมาณคงที่ซึ่งปริมาณแปรผันเข้าใกล้ ขึ้นอยู่กับปริมาณผันแปรอื่น โดยมีการเปลี่ยนแปลงบางอย่างในปริมาณหลัง ขีดจำกัดของลำดับหมายเลข

  ที่ขีดจำกัด- 1) มีความเครียดมาก เส้นประสาทอยู่บนขอบ 2) มีอาการระคายเคืองอย่างรุนแรง [กัลยา:] วันนี้ฉันเองก็กลัวเขาเหมือนกัน เขาอยู่ในขอบโพโกดิน ดอกไม้สด.

ที่มา (ฉบับพิมพ์):พจนานุกรมภาษารัสเซีย: ใน 4 เล่ม / RAS สถาบันภาษาศาสตร์ วิจัย; เอ็ด เอ.พี. เยฟเจเนียวา - ฉบับที่ 4, ลบแล้ว. - ม.: มาตุภูมิ ภาษา; ทรัพยากรโพลีกราฟ, 1999;

(เวอร์ชันอิเล็กทรอนิกส์): จะได้สูตรของทฤษฎีบทหลักและคุณสมบัติของขีดจำกัดของฟังก์ชัน ให้คำจำกัดความของขีดจำกัดอันจำกัดและอนันต์ที่จุดจำกัดและที่อนันต์ (สองด้านและด้านเดียว) ตามคำกล่าวของ Cauchy และ Heine พิจารณาคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับอสมการ เกณฑ์การลู่เข้าของคอชี่ ขีด จำกัดฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

- คุณสมบัติของฟังก์ชันขนาดเล็ก ขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุด และฟังก์ชันโมโนโทนิก มีการกำหนดนิยามของฟังก์ชัน

เนื้อหา

คำจำกัดความที่สองตาม Cauchy 0 ขีดจำกัดของฟังก์ชัน (ตาม Cauchy) เนื่องจากอาร์กิวเมนต์ x มีแนวโน้มที่จะ x
เป็นจำนวนจำกัดหรือจุดที่อนันต์ a ซึ่งตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: 0 1) มีย่านที่เจาะทะลุของจุด x ซึ่งฟังก์ชัน f(เอ็กซ์)
มุ่งมั่น; 0 2) สำหรับย่านใกล้เคียงใดๆ ของจุด a ที่เป็นของ จะมีย่านใกล้เคียงที่เจาะทะลุของจุด x
ซึ่งค่าฟังก์ชันเป็นของย่านใกล้เคียงที่เลือกของจุด a:

ที่ . 0 ที่นี่ a และ x
.

อาจเป็นจำนวนจำกัดหรือจุดที่อนันต์ก็ได้ การใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่และความเป็นสากล คำจำกัดความนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

หากเราพิจารณาพื้นที่ใกล้เคียงทางซ้ายหรือขวาของจุดสิ้นสุดเป็นเซต เราจะได้คำจำกัดความของขีดจำกัดคอชีทางด้านซ้ายหรือขวา
ทฤษฎีบท
คำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชันของ Cauchy และ Heine นั้นเทียบเท่ากัน

การพิสูจน์

พื้นที่ใกล้เคียงที่เกี่ยวข้องของจุด
สำหรับจำนวนบวกใด ๆ มีตัวเลข ดังนั้นสำหรับ x ทั้งหมดที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียงที่เจาะทะลุของจุด : ค่าของฟังก์ชันจะอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของจุด a: ,
ที่ไหน , .

คำจำกัดความนี้ไม่สะดวกนัก เนื่องจากย่านใกล้เคียงถูกกำหนดโดยใช้ตัวเลขสี่ตัว

แต่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการแนะนำย่านใกล้เคียงที่มีจุดสิ้นสุดที่เท่ากัน นั่นคือคุณสามารถใส่ , .
.
จากนั้นเราจะได้คำจำกัดความที่ใช้ง่ายกว่าในการพิสูจน์ทฤษฎีบท นอกจากนี้ยังเทียบเท่ากับคำจำกัดความที่ใช้ย่านใกล้เคียงโดยพลการ การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้แสดงไว้ในหัวข้อ “ความเท่าเทียมกันของคำจำกัดความของคอชีของขีดจำกัดของฟังก์ชัน”
; ;
.
จากนั้นเราสามารถให้คำจำกัดความแบบรวมของขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่จุดที่มีขอบเขตและห่างไกลอย่างไม่สิ้นสุด:
; ; .

ที่นี่สำหรับจุดสิ้นสุด

บริเวณใกล้เคียงของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะถูกเจาะ: ซึ่งฟังก์ชัน fขีดจำกัดจำกัดของฟังก์ชันที่จุดสิ้นสุด 0 ตัวเลข a เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f
ที่จุด x
, ถ้า
.

1) ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุดสิ้นสุด
.

2) สำหรับสิ่งใดก็ตามที่มีอยู่ โดยที่ ขึ้นอยู่กับ ว่าสำหรับ x ทั้งหมดซึ่ง ความไม่เท่าเทียมกันถืออยู่
การใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่และความเป็นสากล นิยามของขีดจำกัดของฟังก์ชันสามารถเขียนได้ดังนี้
.
ข้อจำกัดด้านเดียว
.
ขีดจำกัดด้านซ้ายที่จุด (ขีดจำกัดด้านซ้าย):
; .

ขีดจำกัดขวาที่จุด (ขีดจำกัดทางขวา):

ขีด จำกัด ด้านซ้ายและขวามักแสดงดังนี้:
.
.
.

ขีดจำกัดจำกัดของฟังก์ชันที่จุดที่อนันต์

ขีดจำกัดที่จุดที่อนันต์ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน
.
.

ขีดจำกัดฟังก์ชันอนันต์

คุณยังสามารถแนะนำคำจำกัดความของขีดจำกัดอนันต์ของสัญญาณบางอย่างที่เท่ากับ และ :

คุณสมบัติและทฤษฎีบทของขีดจำกัดของฟังก์ชัน

เรายังสันนิษฐานอีกว่าฟังก์ชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณาถูกกำหนดไว้ในย่านที่เจาะทะลุที่สอดคล้องกันของจุด ซึ่งเป็นจำนวนจำกัดหรือสัญลักษณ์ตัวใดตัวหนึ่ง: ซึ่งฟังก์ชัน fนอกจากนี้ยังสามารถเป็นจุดจำกัดด้านเดียว กล่าวคือ มีแบบฟอร์ม หรือ พื้นที่ใกล้เคียงเป็นแบบสองด้านสำหรับขีดจำกัดสองด้าน และด้านเดียวสำหรับขีดจำกัดด้านเดียวคุณสมบัติพื้นฐาน 0 .

ถ้าค่าของฟังก์ชัน f 0 1) มีย่านที่เจาะทะลุของจุด x ซึ่งฟังก์ชัน fเปลี่ยน (หรือทำให้ไม่ได้กำหนด) จำนวนจุด x ที่จำกัด
.

1, x 2, x 3, ... x น 0 จากนั้นการเปลี่ยนแปลงนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อการมีอยู่และความคุ้มค่าของขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่จุดใดก็ได้ x
.
จากนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ จากช่วงเวลา จะมีย่านใกล้เคียงที่เจาะทะลุของจุด x 0 เพื่ออะไร
, ถ้า ;
, ถ้า .

ถ้าในบริเวณใกล้จุดที่ถูกเจาะทะลุของจุด , มีค่าคงที่ แล้ว

หากมีขีดจำกัดจำกัด และและในบริเวณที่เจาะทะลุของจุด x 0
,
ที่ .

ถ้า และในบางพื้นที่ใกล้เคียงของจุด
,
ที่ .
โดยเฉพาะหากอยู่ในละแวกใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่ง
,
แล้วถ้า แล้ว และ ;
ถ้า แล้ว และ .

ถ้าในพื้นที่ใกล้เคียงจุด x ทะลุ 0 :
,
และมีขีดจำกัดที่เท่ากัน (หรืออนันต์ของเครื่องหมายบางตัว):
, ที่
.

หลักฐานคุณสมบัติหลักจะได้รับในหน้า
"คุณสมบัติพื้นฐานของขีดจำกัดของฟังก์ชัน"

ให้ฟังก์ชันและถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงที่เจาะทะลุของจุด
และให้มีขอบเขตอันจำกัด:
และ .
;
;
;
, ถ้า .

และให้ C เป็นค่าคงที่ นั่นคือจำนวนที่กำหนด แล้ว

ถ้าอย่างนั้น.
มีการพิสูจน์คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ในหน้านั้น

"คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของขีดจำกัดของฟังก์ชัน"

หากเราพิจารณาพื้นที่ใกล้เคียงทางซ้ายหรือขวาของจุดสิ้นสุดเป็นเซต เราจะได้คำจำกัดความของขีดจำกัดคอชีทางด้านซ้ายหรือขวา
เกณฑ์ Cauchy สำหรับการมีอยู่ของขีดจำกัดของฟังก์ชัน 0 เพื่อให้ฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุดจำกัดหรือที่จุดอนันต์ x > 0 มีขีดจำกัดจำกัด ณ จุดนี้ มันจำเป็นและเพียงพอสำหรับ ε ใดๆ 0 มีบริเวณที่เจาะทะลุของจุด x
.

สำหรับจุดใดๆ และจากย่านนี้ ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็น:

ขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
ทฤษฎีบทเรื่องขีดจำกัดของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ปล่อยให้ฟังก์ชันมีขีดจำกัดและแมปย่านใกล้เคียงที่มีการเจาะทะลุของจุดหนึ่งๆ ไปยังย่านใกล้เคียงที่มีการเจาะทะลุของจุดหนึ่งๆ
ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกกำหนดในย่านนี้และมีขีดจำกัด
.

นี่คือจุดสุดท้ายหรือจุดที่อยู่ห่างไกลอย่างไม่สิ้นสุด: .
.

บริเวณใกล้เคียงและขีดจำกัดที่สอดคล้องกันสามารถเป็นได้ทั้งแบบสองด้านหรือด้านเดียว
.
ฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะมีขีดจำกัดและมีค่าเท่ากับ:

ทฤษฎีบทขีดจำกัดของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกนำไปใช้เมื่อฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุดใดจุดหนึ่งหรือมีค่าแตกต่างจากขีดจำกัด
ในการใช้ทฤษฎีบทนี้ จะต้องมีขอบเขตที่เจาะทะลุของจุดที่ชุดของค่าของฟังก์ชันไม่มีจุด: ซึ่งฟังก์ชัน fถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุด แสดงว่าเครื่องหมายจำกัดสามารถนำไปใช้กับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันต่อเนื่องได้: 0 ต่อไปนี้เป็นทฤษฎีบทที่สอดคล้องกับกรณีนี้ 0 :
.
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชันต่อเนื่องของฟังก์ชัน 0 ให้มีลิมิตของฟังก์ชัน g
เป็น x → x และมันเท่ากับ tนี่คือจุด x 0 .
อาจมีขอบเขตจำกัดหรือห่างไกลได้ไม่จำกัด: . และปล่อยให้ฟังก์ชัน f(เสื้อ) ต่อเนื่องที่จุด t:
.

แล้วก็มีลิมิตของฟังก์ชันเชิงซ้อน f
"ขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่ซับซ้อน"

ฟังก์ชันที่เล็กและใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด

ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด

คำนิยาม
ฟังก์ชันเรียกว่า infinitesim if
.

ผลรวม ความแตกต่าง และผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันจำนวนจำกัดที่ คือฟังก์ชันจำนวนจำกัดที่

ผลคูณของฟังก์ชันที่มีขอบเขตในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด จนถึงค่าที่น้อยที่สุดที่คือฟังก์ชันที่น้อยที่สุดที่

เพื่อให้ฟังก์ชันมีขีดจำกัดจำกัด จำเป็นและเพียงพอแล้ว
,
โดยที่ฟังก์ชันเล็ก ๆ ของ .

"คุณสมบัติของฟังก์ชันอนันต์".

ฟังก์ชั่นขนาดใหญ่อนันต์

คำนิยาม
ฟังก์ชันจะบอกว่าถ้ามีขนาดใหญ่เป็นอนันต์
.

ผลรวมหรือผลต่างของฟังก์ชันมีขอบเขต บนย่านที่เจาะทะลุของจุด และฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ที่นั้นไม่มีที่สิ้นสุด ฟังก์ชั่นที่ยอดเยี่ยมที่ .

หากฟังก์ชันมีขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดสำหรับ และฟังก์ชันนั้นถูกผูกไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด ดังนั้น
.

หากฟังก์ชัน ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน:
,
และฟังก์ชันจะมีค่าน้อยมากที่:
และ (บริเวณจุดเจาะทะลุบางแห่ง) จากนั้น
.

หลักฐานคุณสมบัติแสดงอยู่ในส่วน
"คุณสมบัติของฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่อนันต์"

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์และฟังก์ชันที่เล็กเป็นอนันต์

จากคุณสมบัติทั้งสองก่อนหน้านี้มีความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์และฟังก์ชันที่เล็กที่สุด

ถ้าฟังก์ชันมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ที่ แสดงว่าฟังก์ชันจะมีขนาดไม่สิ้นสุดที่

ถ้าฟังก์ชันมีค่าน้อยมากสำหรับ และ แสดงว่าฟังก์ชันนั้นมีขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุดสำหรับ

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันขนาดเล็กและฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์สามารถแสดงเป็นสัญลักษณ์ได้:
, .

หากฟังก์ชันที่เล็กที่สุดมีเครื่องหมายที่แน่นอนที่ นั่นคือ มันเป็นค่าบวก (หรือลบ) ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด ข้อเท็จจริงนี้สามารถแสดงได้ดังนี้:
.
ในทำนองเดียวกัน หากฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์มีเครื่องหมายที่แน่นอน ฟังก์ชันนั้นจะเขียนว่า:
.

จากนั้นความเชื่อมโยงเชิงสัญลักษณ์ระหว่างสิ่งจิ๋วและอนันต์ คุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมสามารถเสริมด้วยความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:
, ,
, .

สามารถดูสูตรเพิ่มเติมเกี่ยวกับสัญลักษณ์อนันต์ได้ที่หน้านี้
"จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดและคุณสมบัติของมัน"

ขีดจำกัดของฟังก์ชันโมโนโทนิก

คำนิยาม
ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในบางชุด ตัวเลขจริงเอ็กซ์ เรียกว่า เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดหากทั้งหมดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
.
ตามนั้นสำหรับ ลดลงอย่างเคร่งครัดทำหน้าที่รักษาความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
.
สำหรับ ไม่ลดลง:
.
สำหรับ ไม่เพิ่มขึ้น:
.

ตามมาว่าฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดก็ไม่ลดลงเช่นกัน ฟังก์ชันที่ลดลงอย่างเคร่งครัดก็ไม่เพิ่มขึ้นเช่นกัน

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ซ้ำซากจำเจถ้ามันไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้น

หากเราพิจารณาพื้นที่ใกล้เคียงทางซ้ายหรือขวาของจุดสิ้นสุดเป็นเซต เราจะได้คำจำกัดความของขีดจำกัดคอชีทางด้านซ้ายหรือขวา
ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่ลดลงในช่วงเวลาที่ .
หากถูกผูกไว้ด้านบนด้วยตัวเลข M: แสดงว่ามีจำนวนจำกัด
หากไม่จำกัดจากด้านบนแล้ว .

หากจำกัดจากด้านล่างด้วยตัวเลข m แสดงว่ามีขีดจำกัดจำกัด
หากไม่จำกัดจากด้านล่างแล้ว .

หากจุด a และ b อยู่ที่อนันต์ ดังนั้นในนิพจน์ เครื่องหมายขีด จำกัด จะหมายความว่า
;
.

ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้กระชับยิ่งขึ้น

ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่ลดลงในช่วงเวลาที่ .
;
.

จากนั้นมีขีดจำกัดด้านเดียวที่จุด a และ b:
ทฤษฎีบทที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้น

ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาที่ .

แล้วมีข้อจำกัดด้านเดียว:การพิสูจน์ทฤษฎีบทแสดงอยู่ในหน้านี้ ซึ่งฟังก์ชัน f"ขีดจำกัดของฟังก์ชันโมโนโทนิก"

ความหมายของฟังก์ชัน การทำงานย = ฉ คือกฎ (กฎ) ที่แต่ละองค์ประกอบ x ของเซต X เชื่อมโยงกับองค์ประกอบ y เพียงองค์ประกอบเดียวของเซต Yหรือ องค์ประกอบ x.
∈ เอ็กซ์ เรียกว่าย = ฉ อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันหรือ ตัวแปรอิสระ.

องค์ประกอบ ย ∈ ย.
ค่าฟังก์ชัน เรียกว่าตัวแปรตาม เซต X เรียกว่า.

โดเมนของฟังก์ชัน เซตขององค์ประกอบ yซึ่งมีภาพล่วงหน้าในชุด X เรียกว่า
.
พื้นที่หรือชุดของค่าฟังก์ชัน ฟังก์ชันจริงเรียกว่าจำกัดจากด้านบน (จากด้านล่าง)
.

หากมีตัวเลข M ที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่สำหรับทุกคน:หรือ ฟังก์ชันตัวเลขเรียกว่าจำกัด
ถ้ามีตัวเลข M เช่นนั้นสำหรับทั้งหมด:
.

ขอบบน ขอบเขตบนที่แน่นอนหรือ ฟังก์ชันจริงเรียกว่าจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งจำกัดช่วงของค่าจากด้านบน นั่นคือนี่คือตัวเลข s ซึ่งสำหรับทุกคนและสำหรับทุกคนมีข้อโต้แย้งที่มีค่าฟังก์ชันเกิน s′: . ขอบเขตบนของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ดังนี้: ตามลำดับ
ขอบด้านล่าง
.

แม่นยำ
ขีดจำกัดล่าง
ฟังก์ชันจริงเรียกว่าจำนวนที่มากที่สุดซึ่งจำกัดช่วงของค่าจากด้านล่าง นั่นคือนี่คือตัวเลข i ซึ่งสำหรับทุกคนและทุกคนมีข้อโต้แย้งที่มีค่าฟังก์ชันน้อยกว่า i′:

ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ดังนี้:

อสุรกายของ "ลบอนันต์" วนเวียนอยู่ในบทความนี้มาเป็นเวลานาน ให้เราพิจารณาขีดจำกัดด้วยพหุนามซึ่ง หลักการและวิธีการแก้ปัญหาจะเหมือนกับในส่วนแรกของบทเรียนทุกประการ ยกเว้นความแตกต่างหลายประการ

มาดู 4 เทคนิคที่จำเป็นในการแก้ปัญหาภาคปฏิบัติ:

1) คำนวณขีด จำกัด

ค่าของขีดจำกัดจะขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเท่านั้น เนื่องจากมีมากที่สุด ลำดับสูงการเจริญเติบโต. ถ้าอย่างนั้น โมดูลัสขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดจำนวนลบยกกำลัง EVENในกรณีนี้ – ในข้อที่สี่ มีค่าเท่ากับ “บวกอนันต์”: ค่าคงที่ (“สอง”) เชิงบวกนั่นเป็นเหตุผล:

2) คำนวณขีด จำกัด

นี่ก็รุ่นพี่อีกแล้ว สม่ำเสมอนั่นเป็นเหตุผล: . แต่ข้างหน้ามี "ลบ" ( เชิงลบค่าคงที่ –1) ดังนั้น:

3) คำนวณขีด จำกัด

ค่าขีดจำกัดขึ้นอยู่กับเท่านั้น ดังที่คุณจำได้จากโรงเรียน "ลบ" "กระโดดออกมา" จากต่ำกว่าระดับคี่ โมดูลัสขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดจำนวนลบยกกำลัง ODDเท่ากับ “ลบอนันต์” ในกรณีนี้:
ค่าคงที่ (“สี่”) เชิงบวก, วิธี:

4) คำนวณขีด จำกัด

ผู้ชายคนแรกในหมู่บ้านได้อีกแล้ว แปลกองศานอกจากนี้ในอก เชิงลบคงที่ ซึ่งหมายถึง: ดังนั้น:
.

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาขีดจำกัด

จากประเด็นข้างต้น เราก็ได้ข้อสรุปว่าที่นี่มีความไม่แน่นอน ตัวเศษและส่วนมีลำดับการเติบโตเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเมื่อถึงขีดจำกัด ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนจำกัด มาหาคำตอบด้วยการทิ้งลูกปลาทั้งหมด:

การแก้ปัญหาเป็นเรื่องเล็กน้อย:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาขีดจำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

และตอนนี้อาจเป็นกรณีที่ละเอียดอ่อนที่สุด:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาขีดจำกัด

เมื่อพิจารณาเงื่อนไขหลักๆ เราก็ได้ข้อสรุปว่าที่นี่มีความไม่แน่นอน ตัวเศษมีลำดับการเติบโตที่สูงกว่าตัวส่วน ดังนั้นเราจึงบอกได้ทันทีว่าขีดจำกัดนั้นเท่ากับอนันต์ แต่อนันต์แบบไหน “บวก” หรือ “ลบ”? เทคนิคก็เหมือนกัน - มากำจัดสิ่งเล็กๆ น้อยๆ ในตัวเศษและส่วน:

เราตัดสินใจ:

หารทั้งเศษและส่วนด้วย

มาวิเคราะห์กัน ไม่มีที่สิ้นสุด เงื่อนไขตัวส่วน:

ถ้า แล้วเงื่อนไขด้วย สม่ำเสมอองศาจะมุ่งมั่นเพื่อ ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนบวก (แสดงโดย ) และเงื่อนไขด้วย แปลกองศาจะมุ่งมั่นเพื่อ ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนลบ (แสดงโดย )

ทีนี้ลองถามตัวเองว่าคำใดในสี่คำนี้จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ (ไม่ว่าจะมีเครื่องหมายอะไรก็ตาม) ช้าที่สุด- ขอให้เรานึกถึงเทคนิคไร้เดียงสา: "x" ตัวแรกเท่ากับ –10 จากนั้น –100 จากนั้น –1000 เป็นต้น คำนี้จะเข้าใกล้ศูนย์ช้าที่สุด หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง นี่คือศูนย์ที่ "อ้วนที่สุด" ซึ่ง "ดูดซับ" ศูนย์อื่นๆ ทั้งหมด ด้วยเหตุนี้ รายการจึงปรากฏในขั้นตอนสุดท้าย

ควรสังเกตว่ามีสัญญาณ ไม่มีที่สิ้นสุดเราไม่สนใจเงื่อนไขของตัวเศษเนื่องจากมีการวาดหน่วยคุณภาพดีที่จับต้องได้อยู่ที่นั่น นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันใส่ "แค่ศูนย์" ในตัวเศษ อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายที่ศูนย์ไม่สำคัญในทุกตัวอย่างที่ได้รับจำนวนจำกัดในขีดจำกัด (ตัวอย่างหมายเลข 5, 6)

ไม่มีการเปลี่ยนแปลง นั่นคือสิ่งที่การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มีไว้เพื่อวิเคราะห์ =)

อย่างไรก็ตามโอ้ ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุดทีหลัง ไม่งั้นคุณจะคลิกกากบาทเล็ก ๆ ที่มุมขวาบน =)

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาขีดจำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

โดยปกติแล้วขีด จำกัด ที่น่าทึ่งประการที่สองจะเขียนในรูปแบบนี้:

\begin(สมการ) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(สมการ)

จำนวน $e$ ที่ระบุทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (1) นั้นไม่มีเหตุผล ค่าโดยประมาณของตัวเลขนี้คือ: $e\approx(2(,)718281828459045)$ หากเราทำการแทนที่ $t=\frac(1)(x)$ สูตร (1) จะสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\begin(สมการ) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(สมการ)

สำหรับขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่ง ไม่สำคัญว่านิพจน์ใดจะแทนที่ตัวแปร $x$ ในสูตร (1) หรือแทนที่ตัวแปร $t$ ในสูตร (2) สิ่งสำคัญคือต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขสองประการ:

1. ฐานของระดับ (เช่น นิพจน์ในวงเล็บของสูตร (1) และ (2)) ควรมีแนวโน้มที่จะมีความสามัคคี
2. เลขชี้กำลัง (เช่น $x$ ในสูตร (1) หรือ $\frac(1)(t)$ ในสูตร (2)) จะต้องมีแนวโน้มเป็นอนันต์

ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สองกล่าวกันว่าเผยให้เห็นความไม่แน่นอนของ $1^\infty$ โปรดทราบว่าในสูตร (1) เราไม่ได้ระบุว่าอินฟินิตี้ ($+\infty$ หรือ $-\infty$) ใดที่เรากำลังพูดถึง ในกรณีเหล่านี้ สูตร (1) ถูกต้อง ในสูตร (2) ตัวแปร $t$ สามารถมีแนวโน้มเป็นศูนย์ทั้งด้านซ้ายและด้านขวา

ฉันสังเกตว่ายังมีผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์หลายประการจากขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สองอีกด้วย ตัวอย่างของการใช้ขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่สองตลอดจนผลที่ตามมานั้นเป็นที่นิยมอย่างมากในหมู่ผู้รวบรวมการคำนวณและการทดสอบมาตรฐานมาตรฐาน

ตัวอย่างหมายเลข 1

คำนวณขีดจำกัด $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$

ขอให้เราสังเกตทันทีว่าฐานของระดับ (เช่น $\frac(3x+1)(3x-5)$) มีแนวโน้มที่จะรวมกัน:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. -

ในกรณีนี้ เลขชี้กำลัง (นิพจน์ $4x+7$) มีแนวโน้มที่จะมีค่าอนันต์ กล่าวคือ $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

ฐานของดีกรีมีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพ เลขชี้กำลังมีแนวโน้มที่จะไม่สิ้นสุด เช่น เรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอน $1^\infty$ ลองใช้สูตรเผยให้เห็นความไม่แน่นอนนี้ ที่ฐานของสูตรยกกำลังคือนิพจน์ $1+\frac(1)(x)$ และในตัวอย่างที่เรากำลังพิจารณา ฐานของยกกำลังคือ: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. ดังนั้น การกระทำแรกจะเป็นการปรับนิพจน์ $\frac(3x+1)(3x-5)$ อย่างเป็นทางการให้อยู่ในรูปแบบ $1+\frac(1)(x)$ ขั้นแรก เพิ่มและลบหนึ่งรายการ:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

โปรดทราบว่าคุณไม่สามารถเพิ่มหน่วยได้ง่ายๆ หากเราถูกบังคับให้เพิ่มเราต้องลบออกด้วยเพื่อไม่ให้ค่าของนิพจน์ทั้งหมดเปลี่ยนแปลง เพื่อดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป เราคำนึงถึงสิ่งนั้นด้วย

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5) -

เนื่องจาก $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$ ดังนั้น:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ ซ้าย(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) $$

เรามาปรับกันต่อไป ในนิพจน์ $1+\frac(1)(x)$ ของสูตร ตัวเศษของเศษส่วนคือ 1 และในนิพจน์ $1+\frac(6)(3x-5)$ ตัวเศษคือ $6$ หากต้องการรับ $1$ เป็นตัวเศษ ให้ใส่ $6$ ลงในตัวส่วนโดยใช้การแปลงต่อไปนี้:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

ดังนั้น,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

ดังนั้นพื้นฐานของปริญญาคือ $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$ ปรับเป็นรูปแบบ $1+\frac(1)(x)$ ที่ต้องการในสูตร ตอนนี้เรามาเริ่มทำงานกับเลขชี้กำลังกันดีกว่า โปรดทราบว่าในสูตร นิพจน์ในเลขชี้กำลังและตัวส่วนจะเหมือนกัน:

ซึ่งหมายความว่าในตัวอย่างของเรา เลขยกกำลังและตัวส่วนต้องอยู่ในรูปแบบเดียวกัน เพื่อให้ได้นิพจน์ $\frac(3x-5)(6)$ ในรูปเลขชี้กำลัง เราเพียงคูณเลขชี้กำลังด้วยเศษส่วนนี้ ตามธรรมชาติ เพื่อชดเชยการคูณดังกล่าว คุณจะต้องคูณด้วยเศษส่วนกลับทันที เช่น โดย $\frac(6)(3x-5)$ ดังนั้นเราจึงมี:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5) )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

ให้เราแยกกันพิจารณาขีดจำกัดของเศษส่วน $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ ที่อยู่ในกำลัง:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. -

คำตอบ: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

ตัวอย่างหมายเลข 4

หาลิมิต $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$

เนื่องจากสำหรับ $x>0$ เรามี $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$ ดังนั้น:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ ซ้าย(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

ขยายเศษส่วน $\frac(x+1)(x)$ ไปเป็นผลรวมของเศษส่วน $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ เราจะได้:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. -

คำตอบ: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

ตัวอย่างหมายเลข 5

หาลิมิต $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$

เนื่องจาก $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ และ $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$ จากนั้นเรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ $1^\infty$ คำอธิบายโดยละเอียดมีอยู่ในตัวอย่างที่ 2 แต่เราจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ เท่านั้น เมื่อทำการแทนที่ $t=x-2$ เราจะได้:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(ชิด)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(ชิด)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. -

สามารถแก้ไขได้ ตัวอย่างนี้และในอีกทางหนึ่ง ใช้การแทนที่: $t=\frac(1)(x-2)$ แน่นอนว่าคำตอบจะเหมือนเดิม:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(ชิด)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(ชิด)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3 -

คำตอบ: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

ตัวอย่างหมายเลข 6

หาลิมิต $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $

เรามาดูกันว่านิพจน์ $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ มีแนวโน้มที่จะเป็นอย่างไรภายใต้เงื่อนไข $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. -

ดังนั้น ในขีดจำกัดที่กำหนด เรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ $1^\infty$ ซึ่งเราจะเปิดเผยโดยใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งตัวที่สอง:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1 -

คำตอบ: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

ลองดูตัวอย่างประกอบบางส่วน

ให้ x เป็นตัวแปรตัวเลข X พื้นที่การเปลี่ยนแปลง หากแต่ละจำนวน x ที่เป็นของ X เชื่อมโยงกับจำนวน y จำนวนหนึ่ง พวกเขาบอกว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้บนเซต X และเขียนว่า y = f(x)
ชุด X ในกรณีนี้คือระนาบที่ประกอบด้วยแกนพิกัดสองแกน – 0X และ 0Y ตัวอย่างเช่น ลองพรรณนาฟังก์ชัน y = x 2 แกน 0X และ 0Y สร้าง X - พื้นที่ของการเปลี่ยนแปลง รูปภาพแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไร ในกรณีนี้ เขาบอกว่าฟังก์ชัน y = x 2 ถูกกำหนดไว้บนเซต X

เซต Y ของค่าบางส่วนทั้งหมดของฟังก์ชันเรียกว่าเซตของค่า f(x) กล่าวอีกนัยหนึ่งชุดของค่าคือช่วงเวลาตามแกน 0Y ที่กำหนดฟังก์ชัน พาราโบลาที่แสดงแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่า f(x) > 0 เพราะ x2 > 0 ดังนั้นช่วงของค่าจะเป็น เราดูค่าต่างๆ มากมายด้วย 0Y

เซตของ x ทั้งหมดเรียกว่าโดเมนของ f(x) เราดูคำจำกัดความหลายประการด้วย 0X และในกรณีของเราช่วงของค่าที่ยอมรับได้คือ [-; -

จุด a (a เป็นของหรือ X) เรียกว่าจุดลิมิตของเซต X ถ้าในบริเวณใกล้เคียงของจุด a มีจุดของเซต X แตกต่างจาก a

ถึงเวลาที่จะเข้าใจว่าขีดจำกัดของฟังก์ชันคืออะไร?

ค่า b บริสุทธิ์ที่ฟังก์ชันมีแนวโน้มไปทาง x มีแนวโน้มไปทางตัวเลข a จะถูกเรียก ขีดจำกัดของฟังก์ชัน- สิ่งนี้เขียนดังนี้:

ตัวอย่างเช่น ฉ(x) = x 2 เราจำเป็นต้องค้นหาว่าฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะ (ไม่เท่ากับ) ที่ x 2 อย่างไร ขั้นแรก เราเขียนขีดจำกัด:

มาดูกราฟกัน

ลองวาดเส้นขนานกับแกน 0Y ถึงจุดที่ 2 บนแกน 0X มันจะตัดกราฟของเราที่จุด (2;4) ให้เราทิ้งตั้งฉากจากจุดนี้ไปที่แกน 0Y แล้วไปที่จุดที่ 4 นี่คือสิ่งที่ฟังก์ชันของเรามุ่งมั่นที่ x 2 หากตอนนี้เราแทนค่า 2 ลงในฟังก์ชัน f(x) คำตอบก็จะเหมือนเดิม .

ตอนนี้ก่อนที่เราจะไปต่อ การคำนวณขีดจำกัดให้เราแนะนำคำจำกัดความพื้นฐาน

แนะนำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Augustin Louis Cauchy ในศตวรรษที่ 19

สมมติว่าฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งมีจุด x = A แต่ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องกำหนดค่าของ f(A)

จากนั้น ตามคำจำกัดความของ Cauchy ขีดจำกัดของฟังก์ชัน f(x) จะเป็นตัวเลข B จำนวนหนึ่ง โดยมี x พุ่งไปที่ A ถ้าทุกๆ C > 0 มีตัวเลข D > 0 ซึ่ง

เหล่านั้น. ถ้าฟังก์ชัน f(x) ที่ x A ถูกจำกัดด้วยขีดจำกัด B ฟังก์ชันนี้จะถูกเขียนในรูปแบบ

ขีดจำกัดของลำดับหมายเลข A บางตัวถูกเรียกว่าถ้าสำหรับจำนวนบวกเล็ก ๆ ใด ๆ โดยพลการ B > 0 มีหมายเลข N ซึ่งค่าทั้งหมดในกรณี n > N เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

ขีดจำกัดนี้ดูเหมือนว่า

ลำดับที่มีขีดจำกัดจะเรียกว่ามาบรรจบกัน ถ้าไม่มี เราจะเรียกมันว่าไดเวอร์เจนต์

ดังที่คุณสังเกตเห็นแล้ว ไอคอน lim จะระบุขีดจำกัด ซึ่งมีการเขียนเงื่อนไขบางประการสำหรับตัวแปร จากนั้นจึงเขียนฟังก์ชันเอง ชุดดังกล่าวจะอ่านว่า "ขีดจำกัดของฟังก์ชันที่อยู่ภายใต้..." ตัวอย่างเช่น:

- ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มเป็น 1

นิพจน์ "เข้าใกล้ 1" หมายความว่า x รับค่าที่เข้าใกล้ 1 อย่างต่อเนื่อง

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าในการคำนวณขีด จำกัด นี้ก็เพียงพอที่จะทดแทนค่า 1 สำหรับ x:

นอกจากค่าตัวเลขเฉพาะแล้ว x ยังสามารถมีแนวโน้มเป็นอนันต์ได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น:

นิพจน์ x หมายความว่า x เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและเข้าใกล้อนันต์อย่างไม่มีกำหนด ดังนั้น เมื่อแทนค่าอนันต์ด้วย x จะเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน 1-x มีแนวโน้มที่จะเป็น แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม:

ดังนั้น, การคำนวณขีดจำกัดลงมาเพื่อค้นหาค่าเฉพาะหรือพื้นที่เฉพาะที่ฟังก์ชันถูกจำกัดด้วยขีดจำกัดตก

จากที่กล่าวมาข้างต้น เมื่อคำนวณขีดจำกัด สิ่งสำคัญคือต้องใช้กฎหลายข้อ:

ความเข้าใจ แก่นแท้ของขีดจำกัดและกฎพื้นฐาน จำกัดการคำนวณคุณจะได้รับข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขปัญหาเหล่านั้น หากข้อจำกัดใด ๆ ทำให้คุณประสบปัญหา เขียนความคิดเห็นแล้วเราจะช่วยคุณอย่างแน่นอน

หมายเหตุ: นิติศาสตร์เป็นศาสตร์แห่งกฎหมายซึ่งช่วยในเรื่องความขัดแย้งและความยากลำบากในชีวิตอื่นๆ