วิธีการคำนวณและกำหนดพื้นที่ วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูป พื้นที่ของรูปและสูตร

13.08.202327.05.2017

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต- คุณลักษณะเชิงตัวเลขของรูปทรงเรขาคณิตที่แสดงขนาดของรูปนี้ (ส่วนหนึ่งของพื้นผิวถูกจำกัดด้วยเส้นขอบปิดของรูปนี้) ขนาดของพื้นที่แสดงด้วยจำนวนตารางหน่วยที่มีอยู่

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านละสูง
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมและความยาวของระดับความสูงที่ลากมาทางด้านนี้
สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของเส้นรอบวงวงกลม
สูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสคูณความยาวด้าน
พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้าน
สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสตามแนวยาวแนวทแยง
พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นทแยงมุม
ส= 1 2
2

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพิจารณาจากความยาวและความสูงของด้าน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพิจารณาจากด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง
ข บาป α

สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวและความสูงของด้าน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านกับความยาวของความสูงลดลงมาทางด้านนี้
สูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวด้านและมุม
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของกำลังสองของความยาวของด้านกับไซน์ของมุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
สูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวของเส้นทแยงมุม
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรของนกกระสาสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู
โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
- ความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
- ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู

ในการแก้ปัญหาเรขาคณิต คุณจำเป็นต้องรู้สูตรต่างๆ เช่น พื้นที่ของสามเหลี่ยมหรือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน รวมถึงเทคนิคง่ายๆ ที่เราจะกล่าวถึง

ขั้นแรก เรามาเรียนรู้สูตรสำหรับพื้นที่ของตัวเลขกันก่อน เราได้รวบรวมไว้เป็นพิเศษในตารางที่สะดวก พิมพ์ เรียนรู้ และนำไปใช้!

แน่นอนว่าไม่มีสูตรเรขาคณิตทั้งหมดอยู่ในตารางของเรา เช่น การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและสามมิติในส่วนที่สอง โปรไฟล์การตรวจสอบ Unified Stateในทางคณิตศาสตร์ก็ใช้สูตรอื่นสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วย เราจะบอกคุณเกี่ยวกับพวกเขาอย่างแน่นอน

จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการค้นหาไม่ใช่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหรือสามเหลี่ยม แต่เป็นพื้นที่ของบางส่วน รูปร่างที่ซับซ้อน- มีวิธีการที่เป็นสากล! เราจะแสดงให้พวกเขาเห็นโดยใช้ตัวอย่างจากคลังงาน FIPI

1. จะหาพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่นรูปสี่เหลี่ยมตามอำเภอใจ? เทคนิคง่ายๆ - ลองแบ่งตัวเลขนี้ออกเป็นส่วนที่เรารู้ทุกอย่างแล้วหาพื้นที่ของมัน - เป็นผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้

แบ่งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้ด้วยเส้นแนวนอนออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป โดยมีฐานร่วมเท่ากับ ความสูงของสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากัน และ . จากนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสอง: .

คำตอบ: .

2. ในบางกรณีพื้นที่ของรูปสามารถแสดงเป็นผลต่างของบางพื้นที่ได้

มันไม่ง่ายเลยที่จะคำนวณว่าฐานและความสูงของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับเท่าใด! แต่เราสามารถพูดได้ว่าพื้นที่ของมันเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านหนึ่งด้านกับสามเหลี่ยมมุมฉากสามรูป คุณเห็นพวกเขาในภาพไหม? เราได้รับ: .

คำตอบ: .

3. บางครั้งในงานคุณต้องค้นหาพื้นที่ที่ไม่ใช่ทั้งร่าง แต่เป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ โดยปกติแล้วเรากำลังพูดถึงพื้นที่ของเซกเตอร์ - ส่วนหนึ่งของวงกลม ค้นหาพื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมรัศมีที่มีความยาวส่วนโค้งเท่ากับ .

ในภาพนี้เราเห็นส่วนหนึ่งของวงกลม พื้นที่ของวงกลมทั้งหมดเท่ากับ ยังคงต้องค้นหาว่าส่วนใดของวงกลมที่ปรากฎ เนื่องจากความยาวของวงกลมทั้งหมดเท่ากัน (เนื่องจาก ) และความยาวของส่วนโค้งของเซกเตอร์ที่กำหนดจะเท่ากัน ดังนั้นความยาวของส่วนโค้งจึงน้อยกว่าความยาวของวงกลมทั้งหมดหลายเท่า มุมที่ส่วนโค้งนี้วางอยู่ก็เป็นปัจจัยที่น้อยกว่าวงกลมเต็มวงด้วย (นั่นคือ องศา) ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของเซกเตอร์จะเล็กกว่าพื้นที่ของวงกลมทั้งหมดหลายเท่า

ความรู้เกี่ยวกับวิธีการวัดโลกปรากฏในสมัยโบราณและค่อยๆ เป็นรูปเป็นร่างในศาสตร์แห่งเรขาคณิต คำนี้แปลมาจากภาษากรีกว่า "การสำรวจที่ดิน"

การวัดขอบเขตของพื้นที่เรียบของโลกในด้านความยาวและความกว้างคือพื้นที่ ในคณิตศาสตร์มักจะแสดงด้วยตัวอักษรละติน S (จากภาษาอังกฤษ "สี่เหลี่ยม" - "พื้นที่", "สี่เหลี่ยม") หรือตัวอักษรกรีกσ (ซิกมา) S หมายถึงพื้นที่ของร่างบนระนาบหรือพื้นที่ผิวของร่างกายและ σ คือพื้นที่หน้าตัดของเส้นลวดในฟิสิกส์ เหล่านี้เป็นสัญลักษณ์หลักแม้ว่าอาจมีอย่างอื่นเช่นในด้านความแข็งแกร่งของวัสดุ A คือพื้นที่หน้าตัดของโปรไฟล์

สูตรการคำนวณ

รู้พื้นที่ ตัวเลขง่ายๆคุณสามารถค้นหาพารามิเตอร์ที่ซับซ้อนมากขึ้นได้- นักคณิตศาสตร์โบราณได้พัฒนาสูตรที่สามารถใช้ในการคำนวณได้อย่างง่ายดาย ตัวเลขดังกล่าว ได้แก่ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยม วงกลม

การหาพื้นที่ของรูปทรงระนาบเชิงซ้อนนั้นแบ่งออกเป็นรูปง่ายๆ หลายๆ รูป เช่น สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู หรือสี่เหลี่ยม จากนั้นใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์จะได้สูตรมาสำหรับพื้นที่ของรูปนี้ วิธีการที่คล้ายกันนี้ใช้ไม่เพียงแต่ในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ด้วย เพื่อคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง

สามเหลี่ยม

เริ่มจากรูปที่ง่ายที่สุด - สามเหลี่ยมกันก่อน เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หน้าจั่ว และด้านเท่ากันหมด นำสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ที่มีด้าน AB=a, BC=b และ AC=c (∆ ABC) หากต้องการหาพื้นที่ ให้เรานึกถึงทฤษฎีบทไซน์และโคไซน์ที่รู้จักจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เมื่อละทิ้งการคำนวณทั้งหมดเราจะได้สูตรต่อไปนี้:

S=√ - สูตรของนกกระสาที่ทุกคนรู้จัก โดยที่ p=(a+b+c)/2 คือกึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม
S=a h/2 โดยที่ h คือความสูงลดลงไปทางด้าน a
S=a b (sin γ)/2 โดยที่ γ คือมุมระหว่างด้าน a และ b;
S=a b/2 ถ้า ∆ ABC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ในที่นี้ a และ b เป็นขา)
S=b² (sin (2 β))/2 ถ้า ∆ ABC เป็นหน้าจั่ว (ในที่นี้ b คือหนึ่งใน “สะโพก” β คือมุมระหว่าง “สะโพก” ของรูปสามเหลี่ยม)
S=a² √∆ ถ้า ∆ ABC มีด้านเท่ากันหมด (โดยที่ a คือด้านของสามเหลี่ยม)

จัตุรัส

ให้มีรูปสี่เหลี่ยม ABCD โดยมี AB=a, BC=b, CD=c, AD=d ในการค้นหาพื้นที่ S ของรูป 4 เหลี่ยมใดๆ ก็ตาม คุณต้องหารมันด้วยเส้นทแยงมุมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งโดยทั่วไปแล้วพื้นที่ของ S1 และ S2 นั้นไม่เท่ากัน

จากนั้นใช้สูตรในการคำนวณและเพิ่มเข้าไป เช่น S=S1+S2 อย่างไรก็ตาม หากรูป 4 เหลี่ยมอยู่ในประเภทใดประเภทหนึ่ง พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนั้นก็สามารถหาได้จากสูตรที่รู้จักก่อนหน้านี้:

S=(a+c) h/2=e h หากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (ในที่นี้ a และ c คือฐาน e คือเส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู h คือความสูงที่ลดลงถึงฐานใดฐานหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2 ถ้า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ในที่นี้ φ คือมุมระหว่างด้าน a และ b, h คือความสูงที่ตกไปทางด้าน a, d1 และ d2 เป็นเส้นทแยงมุม)
S=a b=d²/2 ถ้า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (d คือเส้นทแยงมุม)
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 ถ้า ABCD คือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (a คือด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน φ คือมุมหนึ่งของมุมนั้น P คือเส้นรอบรูป)
S=a²=P²/16=d²/2 ถ้า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปหลายเหลี่ยม

ในการค้นหาพื้นที่ของ n-gon นักคณิตศาสตร์จะแบ่งมันออกเป็นตัวเลขเท่ากันที่ง่ายที่สุด - สามเหลี่ยม ค้นหาพื้นที่ของแต่ละรูปแล้วบวกเข้าด้วยกัน แต่ถ้ารูปหลายเหลี่ยมอยู่ในคลาสปกติ ให้ใช้สูตร:

S=a n h/2=a² n/=P²/ โดยที่ n คือจำนวนจุดยอด (หรือด้านข้าง) ของรูปหลายเหลี่ยม a คือด้านของ n-gon, P คือเส้นรอบวงของมัน, h คือเส้นตั้งฉาก กล่าวคือ a ส่วนที่ลากจากศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมไปทางด้านใดด้านหนึ่งด้วยมุม 90°

วงกลม

วงกลมคือรูปหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบซึ่งมีจำนวนด้านเป็นอนันต์- เราจำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัดของนิพจน์ทางด้านขวาในสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้าน n มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในกรณีนี้ เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมจะเปลี่ยนเป็นความยาวของวงกลมรัศมี R ซึ่งจะเป็นขอบเขตของวงกลม และจะเท่ากับ P=2 π R แทนนิพจน์นี้ลงในสูตรข้างต้น เราจะได้รับ:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n บาป (180°/n))

ลองหาลิมิตของนิพจน์นี้ว่า n→∞ เพื่อทำเช่นนี้ เราพิจารณาว่า lim (cos (180°/n)) สำหรับ n→∞ เท่ากับ cos 0°=1 (lim คือเครื่องหมายของขีดจำกัด) และ lim = lim สำหรับ n→∞ คือ เท่ากับ 1/π (เราแปลงหน่วยวัดองศาเรเดียนโดยใช้ความสัมพันธ์ π rad=180° และใช้ตัวแรก ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมลิม (บาป x)/x=1 สำหรับ x→∞) แทนที่ค่าที่ได้รับลงในนิพจน์สุดท้ายของ S เราจะได้สูตรที่รู้จักกันดี:

S=π² R² 1 (1/π)=π R²

หน่วยวัด

มีการใช้หน่วยการวัดที่เป็นระบบและไม่ใช่ระบบ- หน่วยระบบเป็นของ SI (System International) นี่คือตารางเมตร (ตร.ม., ตร.ม.) และหน่วยที่ได้มาจาก: mm², cm², km²

ตัวอย่างเช่นในหน่วยตารางมิลลิเมตร (mm²) พื้นที่หน้าตัดของสายไฟในวิศวกรรมไฟฟ้าจะวัดเป็นตารางเซนติเมตร (cm²) - ส่วนตัดขวางของลำแสงในกลศาสตร์โครงสร้างใน ตารางเมตร(ตรม.) - อพาร์ทเมนท์หรือบ้านในหน่วยตารางกิโลเมตร (กม. ²) - อาณาเขตในภูมิศาสตร์

อย่างไรก็ตาม บางครั้งมีการใช้หน่วยการวัดที่ไม่เป็นระบบ เช่น ลายสาน ar (a) เฮกตาร์ (ฮ่า) และเอเคอร์ (as) ให้เรานำเสนอความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

1 ร้อยตารางเมตร=1 a=100 ตรม.=0.01 เฮกตาร์
1 เฮกตาร์=100 ก=100 เอเคอร์=10,000 ตรม.=0.01 กม.²=2.471 กระแสสลับ;
1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 เอเคอร์ = 0.405 เฮกตาร์

สูตรพื้นที่เป็นสิ่งจำเป็นในการกำหนดพื้นที่ของรูปซึ่งเป็นฟังก์ชันมูลค่าจริงที่กำหนดไว้ในประเภทของตัวเลขบางประเภทของระนาบยุคลิดและเป็นไปตามเงื่อนไข 4 ข้อ:

แง่บวก - พื้นที่ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์
การทำให้เป็นมาตรฐาน - สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีหน่วยด้านข้างมีพื้นที่ 1
ความสอดคล้อง - ตัวเลขที่เท่ากันมีพื้นที่เท่ากัน
บวก - พื้นที่ของการรวมกันของ 2 ตัวเลขที่ไม่มีจุดภายในร่วมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้

สูตรหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

รูปทรงเรขาคณิต	สูตร	การวาดภาพ
ผลลัพธ์ของการเพิ่มระยะห่างระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมนูนจะเท่ากับกึ่งเส้นรอบรูป
ภาควงกลม พื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมเท่ากับผลคูณของส่วนโค้งและรัศมีครึ่งหนึ่ง
ส่วนวงกลม. เพื่อให้ได้พื้นที่ของเซกเตอร์ ASB ก็เพียงพอที่จะลบพื้นที่ของสามเหลี่ยม AOB ออกจากพื้นที่ของเซกเตอร์ AOB	S = 1 / 2 R(s - AC)
พื้นที่ของวงรีเท่ากับผลคูณของความยาวของครึ่งแกนหลักและรองของวงรีและจำนวน pi
วงรี. อีกทางเลือกหนึ่งสำหรับการคำนวณพื้นที่ของวงรีคือผ่านรัศมีสองอัน
สามเหลี่ยม. ผ่านฐานและความสูง สูตรพื้นที่วงกลมโดยใช้รัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลาง
สี่เหลี่ยม . ผ่านทางด้านข้างของเขา พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้าน
สี่เหลี่ยม. ผ่านเส้นทแยงมุม. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นทแยงมุม
รูปหลายเหลี่ยมปกติ. ในการกำหนดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ จำเป็นต้องแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมเท่าๆ กัน ซึ่งจะมีจุดยอดร่วมอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้	S= r พี = 1/2 r n ก