U nastavku teme, jednadžba prave na ravni zasnovana je na proučavanju prave linije iz časova algebre. Ovaj članak daje općenite informacije o temi jednadžbe prave linije s nagibom. Razmotrimo definicije, dobijemo samu jednačinu i identifikujemo vezu sa drugim vrstama jednačina. O svemu će se raspravljati na primjerima rješavanja problema.
Prije pisanja ovakve jednadžbe potrebno je definirati ugao nagiba prave prema osi Ox sa njihovim ugaonim koeficijentom. Pretpostavimo da je dat kartezijanski koordinatni sistem Ox na ravni.
Definicija 1
Ugao nagiba prave linije prema osi O x, koji se nalazi u Dekartovom koordinatnom sistemu O x y na ravni, ovo je ugao koji se meri od pozitivnog smera O x do prave linije u smeru suprotnom od kazaljke na satu.
Kada je prava paralelna sa O x ili se u njoj poklapa, ugao nagiba je 0. Tada je ugao nagiba date prave α definisan na intervalu [ 0 , π) .
Definicija 2
Direktan nagib je tangenta ugla nagiba date prave linije.
Standardna oznaka je k. Iz definicije nalazimo da je k = t g α . Kada je prava paralelna sa Ox, kažu da nagib ne postoji, jer ide u beskonačnost.
Nagib je pozitivan kada se graf funkcije povećava i obrnuto. Na slici su prikazane različite varijacije u položaju pravog ugla u odnosu na koordinatni sistem sa vrednošću koeficijenta.
Za pronalaženje ovog ugla potrebno je primijeniti definiciju kutnog koeficijenta i izračunati tangens ugla nagiba u ravnini.
Rješenje
Iz uslova imamo da je α = 120°. Po definiciji, nagib se mora izračunati. Nađimo ga iz formule k = t g α = 120 = - 3.
odgovor: k = - 3 .
Ako je ugaoni koeficijent poznat, a potrebno je pronaći ugao nagiba prema osi apscise, tada treba uzeti u obzir vrijednost kutnog koeficijenta. Ako je k > 0, tada je pravi ugao oštar i nalazi se po formuli α = a r c t g k. Ako je k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Primjer 2
Odrediti ugao nagiba date prave na Ox sa ugaonim koeficijentom 3.
Rješenje
Iz uslova imamo da je ugaoni koeficijent pozitivan, što znači da je ugao nagiba prema O x manji od 90 stepeni. Proračuni se vrše pomoću formule α = a r c t g k = a r c t g 3.
Odgovor: α = a r c t g 3 .
Primjer 3
Nađite ugao nagiba prave linije prema O x osi ako je nagib = - 1 3.
Rješenje
Ako uzmemo slovo k kao oznaku kutnog koeficijenta, onda je α ugao nagiba na datu pravu liniju u pozitivnom smjeru O x. Dakle, k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
odgovor: 5 π 6 .
Jednačina oblika y = k x + b, gdje je k nagib, a b neki realni broj, naziva se jednačina prave sa nagibom. Jednačina je tipična za svaku pravu liniju koja nije paralelna sa O y osom.
Ako detaljno razmotrimo pravu liniju na ravni u fiksnom koordinatnom sistemu, koja je određena jednačinom sa ugaonim koeficijentom koji ima oblik y = k x + b. U ovom slučaju, to znači da jednačina odgovara koordinatama bilo koje tačke na pravoj. Ako koordinate tačke M, M 1 (x 1, y 1) zamenimo u jednačinu y = k x + b, onda će u ovom slučaju prava proći kroz ovu tačku, inače tačka ne pripada pravoj.
Primjer 4
Zadana je prava linija sa nagibom y = 1 3 x - 1. Izračunajte da li tačke M 1 (3, 0) i M 2 (2, - 2) pripadaju datoj pravoj.
Rješenje
Potrebno je zamijeniti koordinate tačke M 1 (3, 0) u datu jednačinu, tada se dobija 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Jednakost je tačna, što znači da tačka pripada pravoj.
Ako zamijenimo koordinate tačke M 2 (2, - 2), onda ćemo dobiti netačnu jednakost oblika - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Možemo zaključiti da tačka M 2 ne pripada pravoj.
odgovor: M 1 pripada liniji, ali M 2 ne.
Poznato je da je prava definisana jednačinom y = k · x + b, prolazeći kroz M 1 (0, b), supstitucijom smo dobili jednakost oblika b = k · 0 + b ⇔ b = b. Iz ovoga možemo zaključiti da jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom y = k x + b na ravni definiše pravu liniju koja prolazi kroz tačku 0, b. Formira ugao α sa pozitivnim smerom ose O x, gde je k = t g α.
Razmotrimo, kao primjer, ravnu liniju definiranu korištenjem ugaonog koeficijenta specificiranog u obliku y = 3 x - 1. Dobijamo da će prava prolaziti kroz tačku sa koordinatom 0, - 1 sa nagibom od α = a r c t g 3 = π 3 radijana u pozitivnom smjeru ose O x. Ovo pokazuje da je koeficijent 3.
Jednačina prave linije sa nagibom koja prolazi kroz datu tačku
Potrebno je riješiti zadatak gdje je potrebno dobiti jednačinu prave linije sa datim nagibom koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1).
Jednakost y 1 = k · x + b može se smatrati validnom, jer prava prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1). Da biste uklonili broj b, potrebno je oduzeti jednačinu sa nagibom s lijeve i desne strane. Iz ovoga slijedi da je y - y 1 = k · (x - x 1) . Ova jednakost se naziva jednačina prave linije sa datim nagibom k, koja prolazi kroz koordinate tačke M 1 (x 1, y 1).
Primjer 5
Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku M 1 sa koordinatama (4, - 1), sa ugaonim koeficijentom jednakim - 2.
Rješenje
Po uslovu imamo da je x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Odavde će jednačina prave biti zapisana na sljedeći način: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
odgovor: y = - 2 x + 7 .
Primjer 6
Napišite jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom koji prolazi kroz tačku M 1 sa koordinatama (3, 5), paralelno sa pravom linijom y = 2 x - 2.
Rješenje
Pod uslovom imamo da paralelne prave imaju identične uglove nagiba, što znači da su ugaoni koeficijenti jednaki. Da biste pronašli nagib iz ove jednadžbe, morate zapamtiti njegovu osnovnu formulu y = 2 x - 2, iz čega slijedi da je k = 2. Napravimo jednačinu sa koeficijentom nagiba i dobijemo:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
odgovor: y = 2 x - 1 .
Prelazak sa pravolinijske jednadžbe sa nagibom na druge vrste pravolinijskih jednačina i nazad
Ova jednačina nije uvijek primjenjiva za rješavanje problema, jer nije baš zgodno napisana. Da biste to učinili, morate ga predstaviti u drugom obliku. Na primjer, jednadžba oblika y = k x + b ne dozvoljava nam da zapišemo koordinate vektora smjera prave linije ili koordinate vektora normale. Da biste to učinili, morate naučiti predstavljati s jednadžbama drugačijeg tipa.
Možemo dobiti kanonsku jednačinu prave na ravni koristeći jednadžbu prave sa ugaonim koeficijentom. Dobijamo x - x 1 a x = y - y 1 a y . Potrebno je pomjeriti pojam b na lijevu stranu i podijeliti sa izrazom rezultirajuće nejednakosti. Tada dobijamo jednačinu oblika y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Jednačina prave sa nagibom postala je kanonska jednačina ove prave.
Primjer 7
Dovedite jednadžbu prave linije sa ugaonim koeficijentom y = - 3 x + 12 u kanonski oblik.
Rješenje
Izračunajmo ga i predstavimo u obliku kanonske jednadžbe prave linije. Dobijamo jednačinu oblika:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odgovor: x 1 = y - 12 - 3.
Opću jednačinu prave je najlakše dobiti iz y = k · x + b, ali za to je potrebno izvršiti transformacije: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Izvršen je prijelaz sa opće jednačine linije na jednačine drugog tipa.
Primjer 8
Zadana je jednačina pravolinijske forme y = 1 7 x - 2 . Saznajte da li je vektor sa koordinatama a → = (- 1, 7) normalan vektor linije?
Rješenje
Za rješavanje potrebno je prijeći na drugi oblik ove jednadžbe, za to pišemo:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Koeficijenti ispred varijabli su koordinate vektora normale prave. Zapišimo to ovako: n → = 1 7, - 1, dakle 1 7 x - y - 2 = 0. Jasno je da je vektor a → = (- 1, 7) kolinearan vektoru n → = 1 7, - 1, pošto imamo fer odnos a → = - 7 · n →. Iz toga slijedi da je originalni vektor a → = - 1, 7 normalni vektor prave 1 7 x - y - 2 = 0, što znači da se smatra normalnim vektorom za pravu y = 1 7 x - 2.
odgovor: Is
Hajde da riješimo inverzni problem ovog.
Od opšteg oblika jednačine A x + B y + C = 0, gde je B ≠ 0, potrebno je preći na jednačinu sa ugaonim koeficijentom. Da bismo to učinili, rješavamo jednačinu za y. Dobijamo A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Rezultat je jednačina sa nagibom jednakim - A B .
Primjer 9
Zadata je jednačina pravolinijske forme 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Dobiti jednačinu date linije sa ugaonim koeficijentom.
Rješenje
Na osnovu uvjeta potrebno je riješiti za y, tada dobijamo jednačinu oblika:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odgovor: y = 1 6 x + 1 4 .
Na sličan način rješava se jednačina oblika x a + y b = 1, koja se naziva jednačina prave u segmentima, ili kanonska oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y. Moramo to riješiti za y, tek tada ćemo dobiti jednačinu sa nagibom:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Kanonska jednadžba se može svesti na oblik sa ugaonim koeficijentom. Za ovo:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Primjer 10
Postoji prava linija data jednadžbom x 2 + y - 3 = 1. Svesti na oblik jednačine sa ugaonim koeficijentom.
Rješenje.
Na osnovu uslova potrebno je izvršiti transformaciju, tada se dobija jednačina oblika _formula_. Obje strane jednačine se moraju pomnožiti sa -3 da bi se dobila jednačina traženog nagiba. Transformirajući, dobijamo:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
odgovor: y = 3 2 x - 3 .
Primjer 11
Reduciramo jednačinu pravolinijske forme x - 2 2 = y + 1 5 na oblik sa ugaonim koeficijentom.
Rješenje
Potrebno je izračunati izraz x - 2 2 = y + 1 5 kao proporciju. Dobijamo da je 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Sada ga morate potpuno omogućiti, da biste to učinili:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odgovor: y = 5 2 x - 6 .
Za rješavanje ovakvih problema, parametarske jednadžbe prave oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ treba svesti na kanonsku jednačinu prave, tek nakon toga se može pristupiti jednadžbi sa koeficijent nagiba.
Primjer 12
Pronađite nagib prave ako je zadan parametarskim jednačinama x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Rješenje
Neophodan je prelazak sa parametarskog pogleda na nagib. Da bismo to uradili, nalazimo kanonsku jednačinu iz date parametarske:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Sada je potrebno riješiti ovu jednakost u odnosu na y da bi se dobila jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom. Da bismo to uradili, zapišimo to na ovaj način:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Iz toga slijedi da je nagib prave 2. Ovo se piše kao k = 2.
odgovor: k = 2.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Slika prikazuje ugao nagiba ravne linije i označava vrijednost kutnog koeficijenta za različite opcije za lokaciju ravne linije u odnosu na pravokutni koordinatni sistem.
Pronalaženje nagiba prave linije sa poznatim uglom nagiba prema osi Ox ne predstavlja nikakve poteškoće. Da biste to učinili, dovoljno je podsjetiti se na definiciju kutnog koeficijenta i izračunati tangens kuta nagiba.
Primjer.
Nađite nagib prave ako je njen ugao nagiba prema osi apscise jednak .
Rješenje.
Po uslovu. Zatim, po definiciji nagiba prave linije, izračunavamo 
.
odgovor:
Zadatak pronalaženja ugla nagiba prave linije prema x-osi s poznatim nagibom je malo složeniji. Ovdje je potrebno uzeti u obzir znak nagiba. Kada je ugao nagiba prave linije oštar i nalazi se kao . Kada je ugao nagiba prave linije tup i može se odrediti formulom 
.
Primjer.
Odrediti ugao nagiba prave linije prema osi apscise ako je njen nagib jednak 3.
Rješenje.
Pošto je po uslovu ugaoni koeficijent pozitivan, ugao nagiba prave linije prema Ox osi je oštar. Izračunavamo ga pomoću formule.
odgovor:
Primjer.
Nagib prave linije je . Odrediti ugao nagiba prave linije prema Ox osi.
Rješenje.
Označimo k je ugaoni koeficijent prave linije, - ugao nagiba ove prave linije prema pozitivnom pravcu ose Ox. Jer 
, tada koristimo formulu da pronađemo ugao nagiba linije sledećeg oblika . U njega zamjenjujemo podatke iz uslova: .
odgovor:
Jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom.
Jednačina prave linije sa nagibom ima oblik , gdje je k nagib prave, b je neki realan broj. Koristeći jednadžbu ravne linije sa ugaonim koeficijentom, možete odrediti bilo koju pravu liniju koja nije paralelna sa Oy osi (za pravu liniju paralelnu sa ordinatnom osom, ugaoni koeficijent nije definisan).
Hajde da shvatimo značenje izraza: "prava linija na ravni u fiksnom koordinatnom sistemu data je jednadžbom sa ugaonim koeficijentom oblika "." To znači da je jednačina zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, a ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje druge tačke na ravni. Dakle, ako se prilikom zamjene koordinata tačke dobije tačna jednakost, tada prava linija prolazi kroz ovu tačku. Inače, tačka ne leži na pravoj.
Primjer.
Prava linija je data jednadžbom sa nagibom. Da li i tačke pripadaju ovoj pravoj?
Rješenje.
Zamenimo koordinate tačke u originalnu jednadžbu prave linije sa nagibom: 
. Dobili smo tačnu jednakost, dakle, tačka M 1 leži na pravoj.
Prilikom zamjene koordinata tačke dobijamo netačnu jednakost: 
. Dakle, tačka M 2 ne leži na pravoj.
odgovor:
Dot M 1 pripada liniji, M 2 ne.
Treba napomenuti da kroz tačku prolazi prava linija koja je definisana jednadžbom prave linije sa ugaonim koeficijentom, jer kada njene koordinate zamenimo u jednačinu dobijamo tačnu jednakost: .
Dakle, jednadžba ravne linije s kutnim koeficijentom definira na ravni ravnu liniju koja prolazi kroz tačku i formira ugao s pozitivnim smjerom x-ose, i .
Kao primjer, predočimo ravnu liniju definiranu jednadžbom prave linije s kutnim koeficijentom oblika . Ova linija prolazi kroz tačku i ima nagib 
radijana (60 stepeni) u pozitivnom smeru ose Ox. Njegov nagib je jednak .
Jednačina prave linije sa nagibom koja prolazi kroz datu tačku.
Sada ćemo riješiti vrlo važan problem: dobićemo jednačinu prave linije sa datim nagibom k i koja prolazi kroz tačku .
Pošto prava prolazi kroz tačku, jednakost je tačna 
. Ne znamo broj b. Da bismo ga se riješili, oduzimamo lijevu i desnu stranu posljednje jednakosti od lijeve i desne strane jednadžbe prave linije s koeficijentom nagiba, respektivno. U ovom slučaju dobijamo 
. Ova jednakost je jednadžba prave linije sa datim nagibom k, koja prolazi kroz datu tačku.
Pogledajmo primjer.
Primjer.
Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku, nagib ove prave je -2.
Rješenje.
Iz stanja koje imamo 
. Tada će jednadžba prave linije sa ugaonim koeficijentom dobiti oblik .
odgovor:
Primjer.
Napišite jednadžbu prave ako je poznato da ona prolazi kroz tačku i da je kut nagiba u pozitivnom smjeru ose Ox jednak .
Rješenje.
Prvo, izračunajmo nagib prave čiju jednačinu tražimo (ovaj problem smo riješili u prethodnom pasusu ovog članka). A-prioritet 
. Sada imamo sve podatke da zapišemo jednadžbu ravne linije sa ugaonim koeficijentom:
odgovor:
Primjer.
Napišite jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom koja prolazi kroz tačku paralelnu sa pravom.
Rješenje.
Očigledno je da se uglovi nagiba paralelnih linija prema osi Ox poklapaju (ako je potrebno, pogledajte članak Paralelnost linija), stoga su ugaoni koeficijenti paralelnih linija jednaki. Tada je nagib prave linije, čiju jednačinu treba da dobijemo, jednak 2, jer je nagib prave jednak 2. Sada možemo kreirati traženu jednadžbu ravne linije sa nagibom:
odgovor:
Prelazak sa jednadžbe prave sa ugaonim koeficijentom na druge tipove jednadžbe prave i obrnuto.
Unatoč svim poznatim, jednadžba ravne linije s kutnim koeficijentom nije uvijek zgodna za korištenje pri rješavanju problema. U nekim slučajevima, probleme je lakše riješiti kada se jednačina prave predstavi u drugačijem obliku. Na primjer, jednadžba ravne linije s kutnim koeficijentom ne dopušta vam da odmah zapišete koordinate usmjeravajućeg vektora ravne linije ili koordinate vektora normale prave linije. Zbog toga bi trebalo da naučite da pređete sa jednadžbe prave linije sa ugaonim koeficijentom na druge vrste jednačina ove prave.
Iz jednadžbe prave linije sa ugaonim koeficijentom lako je dobiti kanonsku jednačinu prave linije na ravni oblika 
. Da bismo to učinili, pomjerimo pojam b s desne strane jednačine na lijevu stranu sa suprotnim predznakom, a zatim podijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti nagibom k: . Ove akcije nas vode od jednadžbe prave sa ugaonim koeficijentom do kanonske jednačine prave.
Primjer.
Dajte jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom 
kanonskom obliku.
Rješenje.
Izvršimo potrebne transformacije: .
odgovor:
Primjer.
Prava linija je data jednadžbom prave linije sa ugaonim koeficijentom. Da li je vektor normalan vektor ove prave?
Rješenje.
Da bismo riješili ovaj problem, prijeđimo sa jednadžbe prave linije sa ugaonim koeficijentom na opštu jednadžbu ove prave: 
. Znamo da su koeficijenti varijabli x i y u opštoj jednačini prave odgovarajuće koordinate vektora normale ove prave, odnosno vektor normale prave 
. Očigledno je da je vektor kolinearan vektoru, pošto je relacija važeća (ako je potrebno, pogledajte članak). Dakle, originalni vektor je također normalan vektor linije , i stoga je normalni vektor i originalna linija.
odgovor:
Da, jeste.
A sada ćemo riješiti inverzni problem - problem svođenja jednadžbe prave linije na ravni na jednadžbu ravne linije sa ugaonim koeficijentom.
Iz opće pravolinijske jednačine oblika 
, u kojem je vrlo lako prijeći na jednadžbu sa koeficijentom nagiba. Da biste to učinili, morate riješiti opštu jednadžbu prave u odnosu na y. U ovom slučaju dobijamo . Rezultirajuća jednakost je jednadžba prave linije sa ugaonim koeficijentom jednakim .
U prethodnom poglavlju je pokazano da, izborom određenog koordinatnog sistema na ravni, možemo analitički izraziti geometrijska svojstva koja karakterišu tačke razmatrane prave jednačinom između trenutnih koordinata. Tako dobijamo jednačinu prave. Ovo poglavlje će se baviti pravolinijskim jednadžbama.
Da biste kreirali jednadžbu za pravu liniju u Dekartovim koordinatama, morate nekako postaviti uslove koji određuju njen položaj u odnosu na koordinatne ose.
Prvo ćemo uvesti pojam ugaonog koeficijenta prave, koji je jedna od veličina koje karakterišu položaj prave na ravni.
Nazovimo ugao nagiba prave prema osi Ox ugao za koji treba zarotirati os Ox tako da se poklopi sa datom linijom (ili je paralelna s njom). Kao i obično, ugao ćemo uzeti u obzir uzimajući u obzir znak (znak je određen smjerom rotacije: suprotno od kazaljke na satu ili u smjeru kazaljke na satu). Budući da će dodatna rotacija ose Ox kroz ugao od 180° ponovo poravnati nju sa pravom linijom, ugao nagiba prave linije prema osi ne može se izabrati jednoznačno (u okviru člana, višekratnik ).
Tangenta ovog ugla određuje se jednoznačno (pošto se promenom ugla ne menja njegova tangenta).
Tangens ugla nagiba prave na os Ox naziva se ugaoni koeficijent prave linije.
Ugaoni koeficijent karakterizira smjer prave linije (ovdje ne razlikujemo dva međusobno suprotna smjera prave linije). Ako je nagib prave nula, tada je prava paralelna sa x-osi. Sa pozitivnim ugaonim koeficijentom, ugao nagiba prave linije prema Ox osi će biti oštar (ovde razmatramo najmanju pozitivnu vrednost ugla nagiba) (Sl. 39); Štaviše, što je veći ugaoni koeficijent, veći je ugao njegovog nagiba prema Ox osi. Ako je kutni koeficijent negativan, tada će ugao nagiba prave linije prema osi Ox biti tup (slika 40). Imajte na umu da prava linija okomita na osu Ox nema ugaoni koeficijent (tangenta ugla ne postoji).
U matematici, jedan od parametara koji opisuje položaj prave na Dekartovoj koordinatnoj ravni je ugaoni koeficijent ove prave. Ovaj parametar karakterizira nagib prave linije prema osi apscise. Da biste razumjeli kako pronaći nagib, prvo se prisjetite općeg oblika jednadžbe prave linije u XY koordinatnom sistemu.
Općenito, bilo koja linija se može predstaviti izrazom ax+by=c, gdje su a, b i c proizvoljni realni brojevi, ali a 2 + b 2 ≠ 0.
Koristeći jednostavne transformacije, takva jednadžba se može dovesti u oblik y=kx+d, u kojem su k i d realni brojevi. Broj k je nagib, a jednačina prave ovog tipa naziva se jednačina sa nagibom. Ispostavilo se da da biste pronašli nagib, jednostavno trebate svesti izvornu jednadžbu na gore naveden oblik. Za potpunije razumijevanje, razmotrite konkretan primjer:
Problem: Pronađite nagib prave date jednadžbom 36x - 18y = 108
Rješenje: Transformirajmo originalnu jednačinu.
Odgovor: Potreban nagib ove prave je 2.
Ako smo tokom transformacije jednadžbe dobili izraz kao što je x = const i kao rezultat toga ne možemo predstaviti y kao funkciju od x, onda imamo posla s pravom linijom koja je paralelna s osom X. Ugaoni koeficijent takvog prava linija je jednaka beskonačnosti.
Za linije izražene jednačinom kao što je y = const, nagib je nula. Ovo je tipično za ravne linije paralelne sa osom apscise. Na primjer:
Problem: Pronađite nagib prave date jednadžbom 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Rješenje: Dovedite originalnu jednačinu u njen opći oblik
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Nemoguće je izraziti y iz rezultirajućeg izraza, stoga je kutni koeficijent ove linije jednak beskonačnosti, a sama linija će biti paralelna s Y osom.
Geometrijsko značenje
Za bolje razumijevanje, pogledajmo sliku:
Na slici vidimo graf funkcije kao što je y = kx. Da pojednostavimo, uzmimo koeficijent c = 0. U trouglu OAB, omjer stranice BA prema AO će biti jednak kutnom koeficijentu k. Istovremeno, omjer BA/AO je tangent oštrog ugla α u pravokutnom trokutu OAB. Ispada da je ugaoni koeficijent ravne linije jednak tangentu ugla koji ta ravna linija čini sa osom apscisa koordinatne mreže.
Rješavajući problem kako pronaći kutni koeficijent prave linije, nalazimo tangentu ugla između nje i X ose koordinatne mreže. Granični slučajevi, kada je dotična prava paralelna sa koordinatnim osama, potvrđuju gore navedeno. Zaista, za pravu liniju opisanu jednadžbom y=const, ugao između nje i ose apscise je nula. Tangens nultog ugla je takođe nula i nagib je takođe nula.
Za prave linije okomite na x-osu i opisane jednačinom x=const, ugao između njih i X-ose je 90 stepeni. Tangens pravog ugla jednak je beskonačnosti, a ugaoni koeficijent sličnih pravih takođe je jednak beskonačnosti, što potvrđuje gore napisano.
Tangentni nagib
Uobičajeni zadatak koji se često susreće u praksi je i pronalaženje nagiba tangente na graf funkcije u određenoj tački. Tangenta je prava linija, stoga je koncept nagiba također primjenjiv na nju.
Da bismo shvatili kako pronaći nagib tangente, morat ćemo se prisjetiti koncepta derivacije. Derivat bilo koje funkcije u određenoj tački je konstanta brojčano jednaka tangentu ugla koji se formira između tangente u navedenoj tački na graf ove funkcije i ose apscise. Ispada da za određivanje ugaonog koeficijenta tangente u tački x 0 trebamo izračunati vrijednost derivacije originalne funkcije u ovoj tački k = f"(x 0). Pogledajmo primjer:
Problem: Pronađite nagib tangente linije na funkciju y = 12x 2 + 2xe x na x = 0,1.
Rješenje: Pronađite izvod originalne funkcije u općem obliku
y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1
Odgovor: Traženi nagib u tački x = 0,1 je 4,831
