Сопряжением принято называть плавный переход прямой линии в дугу окружности или одной дуги в другую. Общая для этих линий точка называется точкой сопряжения.
В основе алгоритма решения задач на построение сопряжений лежат следующие правила.
Правило 1. Прямая, касательная к окружности, составляет прямой угол с радиусом, проведенным в точку касания.
Правило 2. Геометрическим местом центров окружностей, касательных к данной прямой, является прямая, параллельная заданной прямой и отстоящая от нее на величину радиуса окружности.
Правило 3. Точка касания двух окружностей (точка сопряжения) находится на линии, соединяющей их центры.
В общем случае построение сопряжения двух линий при заданном радиусе сопряжения состоит из следующих этапов:
- 1. Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от первой из сопрягаемых линий.
- 2. Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от второй из сопрягаемых линий.
- 3. Определение на пересечении множества точек центра дуги сопряжения.
Рис. 2.22. Построение прямой, касательной к окружности
Рис. 2.23.
- 4. Определение точки сопряжения на первой (или второй) из сопрягаемых линий.
- 5. Проведение дуги сопряжения в зоне между точками сопряжения.
Построение прямой, касательной к окружности (рис. 2.22). Для построения прямой t, касающейся окружности в заданной точке А, достаточно в соответствии с правилом 1 провести искомую прямую перпендикулярно радиусу О А.
Для проведения касательной к окружности, параллельной заданной прямой Ь, достаточно найти точку сопряжения М на пересечении заданной окружности с перпендикуляром к прямой из центра О: b ± ОВ ; к _L ОВ ; к || Ь.
Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности данного радиуса (рис. 2.23). В соответствии с правилом 2 для нахождения центра О сопрягающей окружности провести вспомогательные прямые, параллельные заданным т и л, на расстоянии, равном радиусу R. Точка
Рис. 2.24.
О пересечения вспомогательных прямых - центр дуги сопряжения. Точки сопряжения Ли В лежат в основаниях перпендикуляров к исходным прямым и ограничивают угловой размер дуги сопряжения.
Если положение одной из точек сопряжения задано (точка А на рис. 2.24), а радиус сопряжения не указан, то искомый центр О находится на пересечении перпендикуляра из точки Л с биссектрисой угла, образованного заданными прямыми (построение биссектрисы см. на рис. 2.10).
Сопряжение трех пересекающихся прямых (рис. 2.25). Положение центра сопрягаемой окружности определяется точкой пересечения биссектрис углов. Радиус окружности (дуги сопряжения) равен длине перпендикуляра, опущенного из центра О на любую из заданных прямых.
Сопряжение дуги окружности и прямой линии дугой заданного радиуса (рис. 2.26). Внешнее касание (рис. 2.26, а). Центр О, дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R x , и дуги радиуса Я + Я, из центра О. Точки сопряжения К и М находятся соответственно в основании перпендикуляра О х К и на пересечении прямой OOj с основной окружностью.
Внутреннее касание (рис. 2.26, б). Центр О х дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R, и дуги радиуса R - центра О. Точки сопряжения - соответственно в основании перпендикуляра О,К и на пересечении продолжения луча ОО х с основной окружностью.
R 3 .Внешнее касание (рис. 2.27, а). Центр О э искомой дуги радиуса
Рис. 2.26.
а - внешнее касание: б - внутреннее касание
R 3 находится на пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О, и 0 2 соответствующими радиусами Я, + Я 3 и R 2 + R 3 .
Рис. 2.28.
Рис. 2.27. Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса: а - внешнее касание; б - внутреннее касание; в - смешанное касание
Внутреннее касание (рис. 2.27, б). Центр 0 3 искомой дуги радиуса R x находится на пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О х и 0 2 соответствующими радиусами R 3 - R x n R 3 - R 2 .
Смешанное касание (внешнее и внутреннее) (рис. 2.27, в). Центр искомой дуги радиуса R 3 находится на пересечении вспомогательных дуг, проведенных из центров О, и 0 2 соответствующими радиусами R 3 - Я, и R 3 + R 2 . Для всех случаев точки сопряжения окружностей К и М по правилу 3 лежат на лучах, соединяющих центры окружностей.
Построение касательной к окружности через заданную внешнюю точку А (рис. 2.28). Точки сопряжения К и К х расположены на окружности при ее пересечении со вспо-
Рис. 2.29. Построение касательной к двум окружностям: а - внешнее касание: б - внутреннее касание
могательной дутой, проведенной через центр исходной окружности О радиусом, равным половине расстояния ОА.
Построение касательной к двум окружностям. Внешнее касание (рис. 2.29, а). Из центра О, большей окружности построить вспомогательную окружность радиусом Я, - Я 2 . Разделить отрезок 0,0 2 пополам в точке К и провести вторую вспомогательную окружность с центром в точке К радиусом Я = /ГО,. Точка В пересечения вспомогательных окружностей определяет направление радиуса О х К х, где К х - искомая точка сопряжения для окружности радиусом Я,. Для построения точки К 2 сопряжения для Я 2 достаточно из центра 0 2 провести радиус 0 2 К 2 параллельно радиусу О х К х.
Внутреннее касание (рис. 2.29, б). Из центра О, большей окружности построить вспомогательную окружность радиусом Я, + Я 2 . Далее воспроизвести построение по рис. 2.29, а.
Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через заданную точку Л на окружности (рис. 2.30).
Рис. 2.30. Сопряжение окружности и прямой при заданной точке сопряжения на окружности: а - внешнее касание; б - внутреннее касание
Рис. 2.31. Сопряжение окружности в заданной точке В с окружностью, проходящей через заданную точку А: а - внешнее касание; б - внутреннее касание
Центр дуги сопряжения определяется точкой пересечения луча ОА, проведенного через точку сопряжения А и центр О заданной окружности, и биссектрисы угла АВК, образованного касательной АВ в точке сопряжения и заданной прямой t. Радиус сопрягающей дуги равен расстоянию О, А; О х К Lt, где К - точка сопряжения на прямой t.
Построение окружности, проходящей через данную точку А и касающейся данной окружности с центром О в заданной точке В
(рис. 2.31). Центр О, дуги сопряжения определяется точкой пере-
Рис. 2.32. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга проходит через точку на прямой: а - внешнее касание; б - внутреннее касание
Рис. 2.33.
Рис. 2.34.
сечения луча, проведенного через центр О и заданную точку сопряжения В, с перпендикуляром, восставленным из середины хорды АВ; О х В - радиус искомой окружности.
Сопряжение окружности данного радиуса и прямой при условии, что дуга сопряжения должна проходить через точку А на прямой t (рис. 2.32). В данной точке А на прямой восставить перпендикуляр т и отложить на нем отрезок АВ, равный радиусу R заданной окружности. Полученную точку В соединить с центром О окружности и из середины отрезка ОВ восставить к нему перпендикуляр п. В точке пересечения перпендикуляров тип отметить точку 0 - центр искомой дуги сопряжения. По правилу 3 точка К - точка сопряжения; О,К - радиус дуги сопряжения.
Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса (рис. 2.33). Центр 0 3 дуги R 3 находится на пересечении двух вспомогательных дут, построенных соответственно из центров Oj и 0 2 радиусами R x + R 3 n R 2 - R 3 . Точки сопряжения КиМ определяются по правилу 3.
Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугами при заданных точках сопряжения (рис. 2.34). Для построения центров сопряжения Oj и 0 2 соединить заданные точки сопряжения А и В отрезком АВ. Отметив на АВ произвольную точку М, восставить срединные перпендикуляры к отрезкам AM и МВ. Искомые центры О х и 0 2 находятся в точках пересечения срединных перпендикуляров с соответствующими перпендикулярами из точек Аи В сопряжения. Радиусы сопрягаемых дуг: R j = О х А; R 2 = 0 2 В. Если AM = МВ, то Ri = R 2 .
Сопряжением называется плавный переход от одной линии к другой. Плавный переход может быть выполнен как с помощью циркульных линий
(дуг окружностей), так и с помощью лекальных кривых (дуг эллипса, параболы или гиперболы). Мы будем рассматривать только случаи сопряжений с помощью дуг окружностей. Из всего многообразия сопряжений различных линий можно выделить такие основные виды сопряжений: сопряжение двух различно расположенных прямых линий с помощью дуги окружности, сопряжение прямой линии с дугой окружности, построение общей касательной к двум окружностям, сопряжение двух окружностей третьей. Любой вид сопряжений следует выполнять в такой последовательности:
– находят центр дуги сопряжения,
– находят точки сопряжения,
– заданным радиусом проводят дугу сопряжения.
Различные виды сопряжений приведены в таблице 2:
Таблица 2
| Графическое построение сопряжений | Краткое объяснение к построению |
| Сопряжение пересекающихся прямых дугой заданного радиуса | |
| Провести прямые, параллельные сторонам угла на расстоянии R. Из точки О, взаимного пересечения этих прямых, опустив перпендикуляры на стороны угла, получим точки сопряжения 1 и 2. Радиусом R провести дугу сопряжения между точками 1 и 2. | |
| Сопряжение окружности и прямой с помощью дуги заданного радиуса | |
 | На расстоянии R провести прямую, параллельную заданной прямой, а из центра О 1 радиусом R+R 1 – дугу окружности. Точка О – центр дуги сопряжения. Точку 2 получим на перпендикуляре, опущенном из точки О на заданную прямую, а точку 1- на пересечении прямой ОО 1 и окружности радиуса R. |
Продолжение таблицы 2
| Сопряжение дуг двух окружностей прямой линией | |
 | Из точки О провести вспомогательную окружность радиусом R-R 1 . Отрезок ОО 1 разделить пополам и из точки О 2 провести окружность радиусом 0,5 ОО 1 .Эта окружность пересекает вспомогательную в точке К 0 . Соединив точку К 0 с точкой О 1 получим направление общей касательной. Точки касания К и К 1 находим на пересечении перпендикуляров из точек О и О 1 с заданными окружностями. |
| Сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса (внешнее сопряжение) | |
 | Из центров О 1 и О 2 провести дуги радиусов R+R 1 и R+R 2. При пересечении этих дуг получаем точку О – центр дуги сопряжения. Соединить точки О 1 и О 2 с точкой О. Точки К и К 1 являются точками сопряжения. Между точками К и К 1 провести дугу сопряжения радиусом R. |
Продолжение таблицы 2
| Сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса (внутреннее сопряжение) | |
 | Из центров О 1 и О 2 провести дуги радиусов R-R 1 и R-R 2 . При пересечении этих дуг получаем точку О – центр дуги сопряжения. Соединить точки О 1 и О 2 с точкой О до пересечения с заданными окружностями. Точки К и К 1 – точки сопряжения. Между точками К и К 1 радиусом R проводим дугу сопряжения. |
| Сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса (смешанное сопряжение) | |
 | Из центров О 1 и О 2 провести дуги радиусов R-R 1 и R+R 2 . При пересечении этих дуг получаем точку О – центр дуги сопряжения. Соединяем точки О 1 и О 2 с точкой О до пересечения с заданными окружностями. Точки 1 и 2 – точки сопряжения. Между точками 1 и 2 радиусом R проводим дугу сопряжения. |
Лист № 4
Цель задания : ознакомление с правилами построения плавного перехода от одной линии к другой.
Выполнить на листе формата А4 задание «Сопряжение», взяв данные по своему варианту из таблицы 6 (стр. 38-41).
Сопряжением линий называется плавный переход по кривой от одной линии к другой. Точкой сопряжения линий называется общая точка двух сопрягаемых линий, это точка в которой одна линия переходит в другую линию.
Построение сопряжений основано на геометрических понятиях о прямых, касательных к окружностям и на свойствах касающихся между собой окружностей.
Для правильного выполнения чертежей необходимо уметь выполнять построения сопряжений, которые основаны на двух положениях:
1. Для сопряжения прямой линии и дуги необходимо, чтобы центр окружности, которой принадлежит дуга, лежал на перпендикуляре к прямой, восстановленном из точки сопряжения (рисунок 38). При сопряжении прямой линии и кривой прямая должна являться одновременно касательной к кривой.
2. Для сопряжения двух дуг необходимо, чтобы центры окружностей, которым принадлежат дуги, лежали на прямой, проходящей через точку сопряжения и перпендикулярной к общей касательной этих дуг (рисунок 38). Точку сопряжения находят на прямой, соединяющей центры окружностей. Точка сопряжения (В) является границей двух линий, здесь кончается одна линия и начинается другая. Следовательно, точки сопряжения являются вместе с тем и точками касания прямой и дуги или двух дуг.
Рисунок 38 – Построение сопряжений
Рассмотрим построение сопряжений сторон угла (острого, тупого, прямого) дугой заданного радиуса R (рисунок 39).
На рисунке 39а выполнено построение сопряжения сторон острого угла дугой, на рисунке 39б – тупого угла, на рисунке 39в – прямого.
Сопряжение выполняется следующим образом: параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые линии. Точка пересечения этих линий будет центром дуги радиуса R, т.е. центром сопряжения. Из центра О описывают дугу, плавно переходящую в прямые – стороны угла. Дугу заканчивают в точках М и N – это точки сопряжения, они являются основаниями перпендикуляров, опущенных из центра О на стороны угла.
Рисунок 39 – Построение сопряжений
Рассмотрим построение сопряжения дуги с дугой.
Сопряжение двух дуг окружностей может быть внутренним, внешним и смешанным.
При внутреннем сопряжении центры О и О 1 сопрягаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги радиуса R (рисунок 40а).
При внешнем сопряжении центры О и О 1 сопрягаемых дуг радиусов R 1 и R 2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R (рисунок 40б).
При смешанном сопряжении центр О 1 одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R, а центр О другой сопрягаемой дуги вне её (рисунок 40в).
а) б) в)
Рисунок 40 – Построение сопряжений
Построение внутреннего сопряжения.
а) радиусы сопрягаемых окружностей R 1 и R 2 ;
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
в) провести дугу сопряжения.
Построение сопряжения показано на рисунке 40а. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О 1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 2 , а из центра О – радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 1 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Для нахождения точек сопряжения точку О 2 соединяют с точками О и О 1 прямыми линиями. Точки пересечения продолжения прямых О 2 О и О 2 О 1 с сопрягаемыми дугами являются искомыми точками сопряжения (точки S и S 1).
Радиусом R из центра О 2 проводят сопрягающую дугу между точками сопряжения S и S 1 .
Построение внешнего сопряжения.
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
а) определить положение центра О 2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения S и S 1 ;
в) провести дугу сопряжения.
Построение внешнего сопряжения показано на рисунке 40б. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R, а из центра О 1 – радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой R 2 и сопрягающей R. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Для нахождения точек сопряжения центры дуг соединяют прямыми линиями ОО 2 и О 1 О 2 . Эти две прямые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряжения S и S1.
Из центра О 2 радиусом R проводят сопрягающую дугу, ограничивая её точками сопряжения S и S 1 .
Построение смешанного сопряжения.
а) радиусы R 1 и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;
б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги.
Требуется:
а) определить положение центра О 2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения S и S 1 ;
в) провести дугу сопряжения.
Пример смешанного сопряжения приведен на рисунке 41 а,б .
а) б)
Рисунок 41 – Построение сопряжений
По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R, а из центра О 1 – радиусом, равным разности радиусов R и R 2 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.
Соединив точки О и О 2 прямой получают точку сопряжения S 1 , соединив точки О 1 и О 2 находят точку сопряжения S. Из центра О 2 проводят дугу сопряжения от S до S 1 .
Таблица 6 – Варианты графической работы на построение сопряжений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8Продолжение таблицы 6
|
|
|
|
|
|
|
|
9
10
11
12
13Модуль: Графическое оформление чертежей.
Результат 1: Уметь оформлять форматы стандартных листов в соответствии с ГОСТ 2.303 – 68. Иметь навыки по вычерчиванию контуров деталей, уметь наносить размеры, уметь выполнять надписи в соответствии с ГОСТ 2.303 – 68.
Результат 2: Знать правила построения и иметь навыки по построению сопряжения. Уметь объяснять правила построения.
1. Правила оформления форматов, правила
заполнения основной надписи в соответствии со
стандартом.
2. Правила нанесения размеров, типы линий.
3. Правила выполнения надписей шрифтами в
соответствии с ГОСТ 2.303 – 68.
4. Правила вычерчивания контуров технических
деталей. Геометрические построения.
5. Правила вычерчивания и построение сопряжений.
Тема урока: Правила построения сопряжений.
Цели:
- Знать определение сопряжения, типы сопряжений.
- Уметь строить сопряжения и объяснять ход построения.
- Развивать техническую грамотность.
- Развивать навыки работы в группе и самостоятельной работы.
- Воспитывать уважительное отношение к выступающему, умение слушать.
ХОД УРОКА
1. Организационно-мотивационный этап – 10 минут.
1.1. Мотивация учащихся:
- связь с другими предметами;
- рассмотрение деталей, геометрических тел из которых состоят детали и сопряжения между ними (плавные переходы одной лини в другую);
1.2. Деление группы на подгруппы по 5-6 человек (на четыре подгруппы).
Всем студентам группы предлагается выбрать из
четырех видов геометрических фигур одну на
выбор, после того, как выбор сделан, студенты
объединяются в подгруппы, для самостоятельной
работы в подгруппах.
Студентам сообщается, какую тему им предстоит
изучить, познакомиться с правилами построения
сопряжений, которые помогут им понять, как
строятся плавные переходы (сопряжения). Каждой
группе предлагается изучить и представить один
из видов сопряжения (преподаватель каждому
раздает материал по теме занятия по разделам).
2. Организация самостоятельной деятельности учащихся по теме урока – 25 минут.
2.1. Понятие сопряжения.
2.2. Общий алгоритм построения сопряжений.
2.3. Виды сопряжения. Правила их построения.
2.3.1. Сопряжение между двух прямых.
2.3.2. Сопряжение внутреннее и внешнее между прямой
и дугой окружности.
2.3.3. Сопряжение внутренне и внешнее между двух
дуг окружностей.
2.3.4. Смешанное сопряжение.
3. Подведение итогов, доклады групп по теме после
самостоятельной работы в подгруппах- 25 минут.
4. Проверка степени усвоения материала – 10 минут.
5. Заполнение дневников (о проведенном занятии) –
5 минут.
6. Оценка деятельности учащихся.
Сопряжение – это плавный переход одной линии в другую.
3. Построить сопряжение (плавный переход одной
линии в другую)
2. 3.1. Построение сопряжения двух сторон угла
окружности заданного радиуса.
Сопряжение двух сторон угла (острого и тупого) дугой заданного радиуса R выполняют следующим образом:
Параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые линии. Точка пересечения этих прямых (точка О) будет центром дуги радиуса R, т.е центром сопряжения. Из точки О описывают дугу, плавно переходящую в прямые – стороны угла. Дугу заканчивают в точках сопряжения n и n1, которые являются основаниями перпендикуляров, опущенных из центра О на стороны угла. При построении сопряжения сторон прямого угла центр дуги сопряжения проще находить с помощью циркуля. Из вершины угла А проводят дугу радиусом R до взаимного пересечения в точке О, являющейся центром сопряжения. Из центра О описывают дугу сопряжения. Построение сопряжения двух сторон угла показано на рис.1.
Общий алгоритм построения сопряжения:
1. Необходимо найти точку сопряжения.
2. Необходимо найти точки сопряжения.
3. Построение сопряжения (плавного перехода одной
линии в другую).
2.3.2 Построение внутреннего и внешнего сопряжения
между прямой и дугой окружности.
Сопряжение прямой с дугой окружности может быть выполнено при помощи дуги с внутренним касанием дуги и внешним касанием. На рисунке 2(а, б) показано сопряжение дуги окружности радиусом Rи прямой линии АВ дугой окружности радиуса r с внешним касанием. Для построения такого сопряжения проводят окружность радиуса R и прямую АВ. Параллельно заданной прямой на расстоянии, равному радиусу r (радиус сопрягающей дуги), проводят прямую ab. Из центра О проводят дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов R и r, до пересечения ее с прямой ab в точке О1. Точка О1 является центром дуги сопряжения. Точку сопряжения с находят на пересечении прямой ОО1 с дугой окружности радиуса R. Точка сопряжения О1 на данную прямую АВ. При помощи аналогичных построений могут быть найдены точки О2, с2, с3. На рисунке 2(а, б) показан кронштейн, при вычерчивании которого необходимо выполнить построения, описанные выше.
При вычерчивании маховика, выполнено сопряжение дуги радиуса R с прямой АВ дугой радиуса r с внутренним касанием. Центр дуги сопряжения О1 находится на пересечении вспомогательной прямой, проведенной параллельно данной прямой на расстоянии r, с дугой вспомогательной окружности, описанной из центра О радиусом, равным разности R-r. Точка сопряжения с 1 является основанием перпендикуляра, опущенного из точки О1 на данную прямую. Точку сопряжения с находят на пересечении прямой ОО1 с сопрягаемой дугой. Пример построения сопряжения прямой с дугой окружности показан на рисунке 3.
Сопряжение – это плавный переход одной лини в другую.
Общий алгоритм построения сопряжения:
1. Необходимо найти центр сопряжения.
2. Необходимо найти точки сопряжения.
3. Построение линии сопряжения (плавного перехода
одной лини в другую).
2.3.3. Построение сопряжения между двух дуг окружностей.
Сопряжение двух дуг окружностей может быть
внутреннее и внешнее.
При внутреннем сопряжении центры О и О1
сопрягаемых дуг находятся внутри сопрягающей
дуги радиуса R. При внешнем сопряжении центры О и
О1 сопрягаемых дуг радиусов R1 и R2 находятся вне
сопрягающей дуги радиуса R.
Построение внешнего сопряжения:
а) радиусы сопрягаемых окружностей R и R1;
Требуется:
Показано на рисунке 4(б) . По заданным расстояниям между центрами на чертеже намечают центры О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R и R1. Из центра О1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой дуги R2, а из центра О – радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой дуги R1. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая и будет искомым центром сопрягающей дуги. Для нахождения точек пересечения продолжения прямых О2О и О2О1 с сопрягаемыми дугами являются искомыми точками сопряжения (точки s и s1).
Построение внутреннего сопряжения:
а) радиусы R и R1 сопрягаемых дуг окружностей;
б) расстояния между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги;
Требуется:
а) определить положение О2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения s и s1;
в) провести дугу сопряжения;
Построение внешнего сопряжения показано на рисунке 4(в). По заданным расстояниям на чертеже находят точки О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R2 и сопрягающей R. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая будет искомым центром сопрягающей дуги. Для нахождения точек сопряжения центры дуг соединяют прямыми линиями ОО2 и О1О2. Эти две прямые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряжения s и s1. Из центра О2 радиусом Rпроводят сопрягающую дугу, ограничивая ее точками S и S1.
2.3.4. Построение смешанного сопряжения.
Пример смешанного сопряжения показан на рисунке 5.
а) Заданы радиусы R и R1 сопрягаемых дуг сопряжения;
б) расстояния между центрами этих дуг;
в) радиус R сопрягающей дуги;
Требуется:
а) определить положение центра О2 сопрягающей дуги;
б) найти точки сопряжения s и s1;
в) провести дугу сопряжения;
По заданным расстояниям между центрами на чертеже намечают центры О и О1, из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R1 и R2. Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R1 и сопрягающей R, а из центра О1 – радиусом, равным разности радиусов R и R2. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О2, которая будет искомым центром сопрягающей дуги. Соединив точки О и О2 прямой, получают точку сопряжения s1; соединив точки О1 и О2, находят точку сопряжения s. Из центра О2 проводят дугу сопряжения от s до s1. На рисунке 5 показан пример построения смешанного сопряжения.
3. Подведение итогов самостоятельной
работы студентов в группах. Доклады студентов по
каждому разделу темы занятия у доски.
4. Проверка степени усвоения знаний учащихся.
Студенты каждой из групп задают вопросы
студентам другой группы.
5. Заполнение дневников. Каждому студенту по
итогам занятия предлагается заполнить дневник.
Для того чтобы получить хороший объем знаний, важно зафиксировать, насколько успешно прошло занятие. Этот дневник дает возможность записывать в течение занятия каждую деталь вашей работы при изучении модуля. Если вы довольны, удовлетворены, разочарованы тем, как пошло ваше занятие, то отметьте ваше отношение к элементам урока в соответствующей клетке анкеты.
| Элементы урока | Довольны |
Удовлетворены |
Разочарованы |
Урок № 23.
Сопряжения
Показать несколько деталей, имеющих скругления.
Рассматривая детали, видим, что в их конструкции часто одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плавными, что повышает прочность деталей и делает их более удобными в работе.
На чертеже поверхности изображаются линиями, которые также плавно переходят одна в другую.
Такой плавный переход одной линии (поверхности) в другую линию (поверхность) называют сопряжением.
При построении сопряжения необходимо определить границу, где кончается одна линия и начинается другая, т.е. найти на чертеже точку перехода, которая называется точкой сопряжения или точкой касания .
Задачи на сопряжения условно можно разделить на 3 группы.
Первая группа задач включает в себя задачи на построение сопряжений, где участвуют прямые линии. Это может быть непосредственное касание прямой и окружности, сопряжение двух прямых дугой заданного радиуса, а также проведение касательной прямой к двум окружностям.
Построим окружность, касательную к прямой.
Построение окружности, касательной к прямой , связано с нахождением точки касания и центра окружности.
Задана горизонтальная прямая АВ , требуется построить окружность радиусом R , касательную к данной прямой (рис. 1).
Точка касания выбирается произвольно.
Так как точка касания не задана, то окружность радиуса R может коснуться данной прямой в любой точке. Таких окружностей можно провести множество. Центры этих окружностей (О 1 , О 2 и т.д.) будут находиться на одинаковом расстоянии от заданной прямой, т.е. на линии, расположенной параллельно заданной прямой АВ на расстоянии, равном радиусу заданной окружности (рис. 1). Назовем эту линию линией центров .
Проведем линию центров параллельно прямой АВ на расстоянии R . Так как центр касательной окружности не задан, возьмем любую точку на линии центров, например, точку О.
Прежде чем проводить касательную окружность, следует определить точку касания. Точка касания будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точки О на прямую АВ . В пересечении перпендикуляра с прямой АВ получим точку К, которая будет точкой касания. Из центра О радиусом R от точки К проведем окружность. Задача решена.
Запишите в свои тетради в клетку следующие правила:
Если в сопряжении участвует прямая линия, то:
1)
центр окружности, касательной к прямой, лежит на прямой (линия центров), проведенной параллельно заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу данной окружности;2) точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к заданной прямой.
Сопряжение двух прямых.
На плоскости две прямые могут располагаться параллельно или под углом друг к другу.
Чтобы построить сопряжение двух прямых, необходимо провести окружность, касательную к этим двум прямым.
Откройте рабочие тетради на странице 31.
Рассмотрим сопряжение двух непараллельных прямых.
Две непараллельные прямые располагаются друг к другу под углом, который может быть прямым, тупым или острым. При выполнении чертежей деталей часто такие углы необходимо скруглить дугой заданного радиуса (рис.1). Скругление углов на чертеже есть не что иное, как сопряжение двух непараллельных прямых дугой окружности заданного радиуса. Для выполнения сопряжения необходимо найти центр дуги сопряжения и точки сопряжения.
Известно, что если в сопряжении участвует прямая линия, то центр дуги сопряжения находится на линии центров, которая проводится параллельно заданной прямой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения.
Поскольку угол образован двумя прямыми, то проводят две линии центров параллельно каждой прямой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения. Точка их пересечения будет центром дуги сопряжения.
Для нахождения точек сопряжения из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямые и получают точки сопряжения К и К 1 . Зная точки и центр сопряжения, из точки О радиусом R проводят дугу сопряжения. При обводке чертежа следует сначала обвести дугу, а затем касательные прямые.
При построении сопряжения прямого угла упрощается проведение линии центров, так как стороны угла взаимно перпендикулярны. От вершины угла откладывают отрезки, равные радиусу R дуги сопряжения, и через полученные точки К и К 1 , которые будут точками касания, проводят две линии центров, параллельные сторонам угла. Они будут являться одновременно и линиями центров, и перпендикулярами, определяющими точки сопряжения К и К 1 (стр. 31, рис.1).
Стр. 31, задание 4. Сопряжение двух параллельных прямых.
Чтобы построить сопряжение двух параллельных прямых, необходимо провести дугу окружности, касательной к этим прямым (рис.3).
Рис.3
Радиус этой окружности будет равен половине расстояния между заданными прямыми. Так как точка касания не задана, подобных окружностей можно провести множество. Центры их будут находиться на прямой, проведенной параллельно заданным прямым на расстоянии, равном половине расстояния между ними. Эта прямая будет линией центров.
Точки касания (К 1 и К 2 ) лежат на перпендикуляре, опущенном из центра касательной окружности на заданные прямые (рис. 3а). Так как центр касательной окружности не задан, перпендикуляр проводится произвольно. Отрезок КК 1 делят пополам (рис.3б), проводят через точки пересечения засечек прямую линию параллельно заданным прямым, на которой будут располагаться центры окружностей, касательных к заданным параллельным прямым, т.е. эта линия будет линией центров. Поставив ножку циркуля в точку О , проводят дугу сопряжения (рис. 3в) от точки К до точки К 1 .
Построение прямых, касательных к окружностям
(Р.Т. стр.33).
Задание 1 . Проведите прямую, касательную к окружности через точку А , лежащую на окружности.
Из точки О проводим прямую OB через точку А . Из точки А любым радиусом проводим окружность. При пересечении с прямой получили точки 1 и 2. Из этих точек любым радиусом проводим дуги до пересечения между собой в точках C и D . Из точки C или D проводим прямую через точку А .
Она и будет касательной к окружности, так как касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Задание 2 .
Это построение аналогично построению перпендикуляра к прямой через заданную точку, которое можно выполнить с помощью двух угольников.
Сначала угольник 1 кладется так, чтобы его гипотенуза совпадала с точками O и A . Затем к угольнику 1 прикладывается угольник 2 , который будет направляющим, т.е. по которому будет сдвигаться угольник 1 . Потом угольник 1 приставляем другим катетом к угольнику 2. Затем катаем угольник 1 по угольнику 2 до тех пор, пока гипотенуза не совпадет с точкой A . И проводим прямую, касательную к окружности через точку A .
Задание 3 . Проведите прямую, касательную к окружности через точку, не лежащую на этой окружности.
Даны окружность радиусом R и точка А , не лежащая на окружности, требуется провести из точки А прямую, касательную к данной окружности в верхней ее части. Для этого необходимо найти точку касания. Мы знаем, что точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к касательной прямой. Следовательно, касательная и перпендикуляр образуют прямой угол.
Зная, что всякий угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, является прямым, соединив точки А и О , принимают отрезок АО за диаметр описанной окружности. В пересечении описанной окружности и окружности радиуса R будет находиться вершина прямого угла (точка К ). Отрезок АО делим пополам при помощи циркуля, получаем точку О 1 (рис.4, б).
Из центра О 1 радиусом, равным отрезку АО 1 , проводим окружность, получаем точки К и К 1 в пересечении с окружностью радиуса R (рис.4 ,в).
Так как нужно провести только одну касательную к верхней части окружности, выбирают нужную точку касания. Этой точкой будет точка К . Точку К соединяем с точками А и О , получаем прямой угол, который опирается на диаметр АО описанной окружности радиусом R 1 . Точка К – вершина этого угла (рис.4, г), отрезки ОК и АК – стороны прямого угла, следовательно, точка К будет искомой точкой касания, а прямая АК – искомой касательной.
Рис.4
Проведение прямой, касательной к двум окружностям.
Даны две окружности радиусами R и R 1 , требуется построить касательную к ним. Возможны два случая касания: внешнее и внутреннее.
При внешнем касании касательная прямая находится с одной стороны от окружностей и не пересекает отрезок, соединяющий центры данных окружностей.
При внутреннем касании касательная прямая находится с разных сторон от окружностей и пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей.
Стр. 33. Задание 5 . Проведите прямую, касательную к двум окружностям. Касание внешнее.
Прежде всего необходимо найти точки касания. Известно, что они должны лежать на перпендикулярах, проведенных из центров окружностей (О и О 1 ) к касательной.
Из точки О проводим окружность радиусом R - R 1 ,так как касание внешнее.
Разделим расстояние ОО 1 пополам и проведем окружность радиусом R =ОО 2 =О 1 О 2
Эта окружность пересекает окружность с радиусом R - R 1 в точке К. Соединяем эту точку с О 1 .
Из точки О через точку К проводим прямую до пересечения с окружностью радиусом R . Получили точку К 1 – первую точку касания.
Из точки О 1 проводим прямую, параллельную КК 1 , до пересечения с окружностью радиусом R 1 . Получили вторую точку касания К 2 . Соединяем точки К 1 и К 2 . Это и есть касательная к двум окружностям.
Задание 6 . Проведите прямую, касательную к двум окружностям. Касание внутреннее.
Построение аналогичное, только при внутреннем касании радиус вспомогательной окружности, проводящейся из точки О равен сумме радиусов окружностей R + R 1 .
Вторая группа задач на сопряжения включает в себя задачи, в которых участвуют только окружности и дуги. Плавный переход одной окружности в другую может происходить или непосредственно касанием, или через третий элемент – дугу окружности.
Касание двух окружностей может быть внешним (РТ: стр.32, рис.3) или внутренним (РТ: стр.32, рис.4).
Задание 3 (стр. 32)
При внешнем касании двух окружностей расстояние между центрами этих окружностей будет равно сумме их радиусов.
Из точки О радиусом R + R C проведем дугу. Из точки О 1 радиусом R 1 + R C О С - центр сопряжения.
Соединяем точки О и О 1 с центром сопряжения О С . На окружностях получили точки касания (сопряжения).
Из точки О С радиусом сопряжения R C 30 соединяем точки касания.
Задание 4 (стр. 32)
При внутреннем касании двух окружностей одна из касательных окружностей находится внутри другой окружности, и расстояние между центрами этих окружностей будет равно разности их радиусов.
Из точки О радиусом (R C – R ) проведем дугу. Из точки О 1 радиусом (R C – R 1 ) проведем дугу до пересечения с первой дугой. Получили точку О С - центр сопряжения.
Центр сопряжения О С соединяем с точками О и О 1 с и продлеваем прямую дальше.
На окружностях получили точки касания (сопряжения).
Из точки О С радиусом сопряжения R C 60 соединяем точки касания.
Третья группа задач на сопряжения включает в себя задачи на сопряжения прямой и дуги окружности дугой заданного радиуса.
Выполняя такое задание, решают как бы две задачи: проведение касательной дуги к прямой и касательной дуги к окружности. Касание в этом случае может быть как внешним, так и внутренним.
РТ: стр. 32. Задание 1. Сопряжение окружности и прямой. Касание внешнее. R C 20 .
Заданы прямая и окружность радиусом R , требуется построить сопряжение дугой радиуса R C 20 .
Так как в сопряжении участвует прямая линия, то центр дуги сопряжения находится на прямой, проведенной параллельно заданной прямой на расстоянии, равном радиусу сопряжения R C 20 . Поэтому параллельно заданной прямой на расстоянии 20 мм проводим еще одну прямую.
А центр дуги сопряжения при внешнем касании двух окружностей находится на окружности радиуса, равного сумме радиусов R и R C . Поэтому из точки О радиусом (R + R C О С
Затем находим точки касания. Первая точка касания - это перпендикуляр, опущенный из центра сопряжения на заданную прямую. Вторую точку сопряжения находим, соединив центр сопряжения О С и центр окружности R . Точка касания будет лежат на первом пересечении с окружностью, так как касание внешнее.
Затем из точки О С радиусом R C 20 соединяем точки сопряжения.
РТ: стр. 32. Задание 2. Сопряжение окружности и прямой. Касание внутреннее. R C 60 .
Параллельно заданной прямой проводим линию центров на расстоянии 60 мм. Из точки О радиусом (R с - R ) проводим дугу до пересечения с новой прямой (линией центров). Получим точку О С , которая является центром сопряжения.
Из О С проводим прямую через центр окружности точку О и перпендикуляр на заданную прямую. Получаем две точки касания. И затем из центра сопряжения радиусом 60 мм соединяем точки касания.
