कार्यात्मक श्रृंखला और उनका अभिसरण: एक समान और गैर-समान। अभिसरण का कार्यात्मक श्रृंखला डोमेन, समान अभिसरण, वीयरस्ट्रैस परीक्षण, समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला के गुणों का परीक्षण, समान अभिसरण कार्यात्मक का वीयरस्ट्रैस परीक्षण

- शायद जटिल इतना जटिल नहीं निकलेगा;) और इस लेख का शीर्षक भी कपटपूर्ण है - जिन श्रृंखलाओं पर आज चर्चा की जाएगी, वे जटिल नहीं, बल्कि "दुर्लभ पृथ्वी" हैं। हालाँकि, अंशकालिक छात्र भी इनसे अछूते नहीं हैं, और इसलिए इस अतिरिक्त प्रतीत होने वाले पाठ को अत्यंत गंभीरता से लिया जाना चाहिए। आख़िरकार, इस पर काम करने के बाद, आप लगभग किसी भी "जानवर" से निपटने में सक्षम होंगे!

आइए शैली के क्लासिक्स से शुरू करें:

उदाहरण 1

सबसे पहले, ध्यान दें कि यह कोई पावर श्रृंखला नहीं है (मैं आपको याद दिला दूं कि ऐसा दिखता है). और, दूसरी बात, यहां मूल्य तुरंत ध्यान आकर्षित करता है, जिसे स्पष्ट रूप से श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र में शामिल नहीं किया जा सकता है। और यह पहले से ही अध्ययन की एक छोटी सी सफलता है!

लेकिन फिर भी बड़ी सफलता कैसे प्राप्त करें? मैं आपको खुश करने की जल्दबाजी करता हूं - ऐसी श्रृंखला को बिल्कुल उसी तरह से हल किया जा सकता है शक्ति- डी'अलेम्बर्ट के चिन्ह या रैडिकल कॉची के चिन्ह पर आधारित!

समाधान: मान श्रृंखला के अभिसरण की सीमा के भीतर नहीं है। यह एक महत्वपूर्ण तथ्य है, और इस पर ध्यान दिया जाना चाहिए!

मूल एल्गोरिदम मानक के रूप में काम करता है। डी'अलेम्बर्ट की कसौटी का उपयोग करते हुए, हम श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल पाते हैं:

श्रृंखला पर एकत्रित होती है। आइए मॉड्यूल को ऊपर ले जाएं:

आइए तुरंत "खराब" बिंदु की जाँच करें: मान श्रृंखला के अभिसरण की सीमा में शामिल नहीं है।

आइए हम अंतरालों के "आंतरिक" सिरों पर श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें:
तो अगर
तो अगर

दोनों संख्या श्रृंखलाएं अलग-अलग हैं क्योंकि अभिसरण का आवश्यक संकेत.

उत्तर: अभिसरण का क्षेत्र:

आइए थोड़ा विश्लेषणात्मक जाँच करें। आइए सही अंतराल से कुछ मान को कार्यात्मक श्रृंखला में प्रतिस्थापित करें, उदाहरण के लिए:
- पर एकत्रित होता है डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह.

बाएं अंतराल से मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के मामले में, अभिसरण श्रृंखला भी प्राप्त की जाती है:
तो अगर ।

और अंत में, यदि, तो श्रृंखला - वास्तव में विचलन होता है।

वार्म अप करने के लिए कुछ सरल उदाहरण:

उदाहरण 2

कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए

उदाहरण 3

कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए

"नए" से निपटने में विशेष रूप से अच्छे रहें मापांक– यह आज 100,500 बार घटित होगा!

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

उपयोग किए गए एल्गोरिदम सार्वभौमिक और परेशानी मुक्त प्रतीत होते हैं, लेकिन वास्तव में यह मामला नहीं है - कई कार्यात्मक श्रृंखलाओं के लिए वे अक्सर "फिसल जाते हैं" और यहां तक ​​​​कि गलत निष्कर्ष भी निकालते हैं (मैं ऐसे उदाहरणों पर भी विचार करूंगा).

परिणामों की व्याख्या के स्तर पर खुरदरापन पहले से ही शुरू हो जाता है: उदाहरण के लिए, श्रृंखला पर विचार करें। यहां हमें जो सीमा मिलती है (इसे स्वयं जांचें), और सिद्धांत रूप में आपको यह उत्तर देने की आवश्यकता है कि श्रृंखला एक बिंदु पर एकत्रित होती है। हालाँकि, मुद्दा "खेला गया" है, जिसका अर्थ है कि हमारा "रोगी" हर जगह अलग हो जाता है!

और एक श्रृंखला के लिए, "स्पष्ट" कॉची समाधान कुछ भी नहीं देता है:
- "x" के किसी भी मान के लिए।

और सवाल उठता है कि क्या करें? हम उस पद्धति का उपयोग करते हैं जिसके लिए पाठ का मुख्य भाग समर्पित होगा! इसे इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:

विभिन्न मानों के लिए संख्या श्रृंखला का प्रत्यक्ष विश्लेषण

वास्तव में, हमने पहले ही उदाहरण 1 में ऐसा करना शुरू कर दिया है। सबसे पहले, हम एक विशिष्ट "X" और संबंधित संख्या श्रृंखला की जांच करते हैं। यह मूल्य लेना चाहता है:
- परिणामी संख्या श्रृंखला अलग हो जाती है।

और यह तुरंत विचार को प्रेरित करता है: क्या होगा यदि यही बात अन्य बिंदुओं पर भी होती है?
की जाँच करें किसी श्रृंखला के अभिसरण का एक आवश्यक संकेतके लिए मनमानाअर्थ:

उपरोक्त बात को ध्यान में रखा गया है, बाकी सभी के लिए "एक्स"हम मानक के अनुसार व्यवस्था करेंगे दूसरी अद्भुत सीमा:

निष्कर्ष: श्रृंखला संपूर्ण संख्या रेखा के अनुदिश विचलन करती है

और यह समाधान सबसे कारगर विकल्प है!

व्यवहार में, कार्यात्मक श्रृंखला की तुलना अक्सर की जानी चाहिए सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला :

उदाहरण 4

समाधान: सबसे पहले, आइए निपटें परिभाषा का क्षेत्र: इस मामले में, मूल अभिव्यक्ति सख्ती से सकारात्मक होनी चाहिए, और, इसके अलावा, श्रृंखला के सभी पद मौजूद होने चाहिए, 1 से शुरू होकर। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि:
. इन मानों के साथ, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला प्राप्त की जाती है:
वगैरह।

अन्य "x" उपयुक्त नहीं हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, जब हमें एक अवैध मामला मिलता है जहां श्रृंखला के पहले दो पद मौजूद नहीं हैं।

यह सब अच्छा है, यह सब स्पष्ट है, लेकिन एक और महत्वपूर्ण प्रश्न बना हुआ है - निर्णय को सही ढंग से कैसे औपचारिक रूप दिया जाए? मैं एक ऐसी योजना का प्रस्ताव करता हूं जिसे बोलचाल की भाषा में संख्या श्रृंखला में "तीरों का अनुवाद" कहा जा सकता है:

चलो गौर करते हैं मनमानाअर्थ और संख्या श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन करें। दिनचर्या लीबनिज़ का लक्षण:

1) यह शृंखला परिवर्तनशील है।

2) - श्रृंखला के पद मापांक में घटते हैं। श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य पिछले वाले की तुलना में कम मॉड्यूलो है: , जिसका अर्थ है कि कमी नीरस है।

निष्कर्ष: श्रृंखला लीबनिज़ की कसौटी के अनुसार अभिसरण करती है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यहां अभिसरण सशर्त है - श्रृंखला के कारण – विचलन.

बिल्कुल ऐसे ही - साफ-सुथरा और सही! क्योंकि "अल्फ़ा" के पीछे हमने चतुराई से सभी अनुमेय संख्या श्रृंखलाओं को छिपा दिया।

उत्तर: कार्यात्मक श्रृंखला मौजूद है और सशर्त रूप से परिवर्तित होती है।

स्वतंत्र समाधान के लिए एक समान उदाहरण:

उदाहरण 5

एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

पाठ के अंत में अंतिम असाइनमेंट का एक अनुमानित नमूना।

आपकी "कार्य परिकल्पना" के लिए बहुत कुछ! - कार्यात्मक श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है!

2) एक सममित अंतराल के साथ सब कुछ पारदर्शी है, विचार करें मनमानामान और हमें प्राप्त होता है:- पूर्णतः अभिसारी संख्या श्रृंखला।

3) और अंत में, "मध्य"। यहां भी, दो अंतरालों को उजागर करना सुविधाजनक है।

हम विचार कर रहे हैं मनमानाअंतराल से मान और हमें एक संख्या श्रृंखला मिलती है:

! पुनः - यदि यह कठिन है , उदाहरण के लिए, किसी विशिष्ट संख्या को प्रतिस्थापित करें। हालाँकि... आप कठिनाइयाँ चाहते थे =)

"एन" के सभी मूल्यों के लिए किया गया , मतलब:
- इस प्रकार, के अनुसार तुलनाश्रृंखला अनंत रूप से घटती प्रगति के साथ एक साथ मिलती है।

अंतराल से "x" के सभी मानों के लिए हम प्राप्त करते हैं - बिल्कुल अभिसारी संख्या श्रृंखला।

सभी "एक्स" का पता लगाया जा चुका है, अब कोई "एक्स" नहीं है!

उत्तर: श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र:

मुझे कहना होगा, एक अप्रत्याशित परिणाम! और यह भी जोड़ा जाना चाहिए कि यहां डी'अलेम्बर्ट या कॉची के संकेतों का उपयोग निश्चित रूप से भ्रामक होगा!

प्रत्यक्ष मूल्यांकन गणितीय विश्लेषण का "एरोबेटिक्स" है, लेकिन निस्संदेह, इसके लिए अनुभव और कुछ मामलों में अंतर्ज्ञान की भी आवश्यकता होती है।

या शायद किसी को कोई आसान रास्ता मिल जाएगा? लिखना! वैसे, मिसालें हैं - कई बार पाठकों ने अधिक तर्कसंगत समाधान प्रस्तावित किए, और मैंने उन्हें खुशी के साथ प्रकाशित किया।

सफल लैंडिंग हो :)

उदाहरण 11

कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए

समाधान का मेरा संस्करण बहुत करीब है.

अतिरिक्त कट्टर में पाया जा सकता है अनुभाग VI (रैंक)कुज़नेत्सोव का संग्रह (समस्याएँ 11-13).इंटरनेट पर तैयार समाधान मौजूद हैं, लेकिन यहां मुझे आपकी जरूरत है चेतावनी देना- उनमें से कई अपूर्ण, गलत, या यहां तक ​​कि पूरी तरह से ग़लत हैं। और, वैसे, यह एक कारण था कि इस लेख का जन्म क्यों हुआ।

आइए तीन पाठों को संक्षेप में प्रस्तुत करें और अपने उपकरणों को व्यवस्थित करें। इसलिए:

किसी फ़ंक्शन श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल को खोजने के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं:

1) डी'एलेम्बर्ट का चिन्ह या कॉची का चिन्ह. और यदि पंक्ति नहीं है गंभीर- प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा प्राप्त परिणाम का विश्लेषण करते समय हम अधिक सावधानी बरतते हैं विभिन्न अर्थ.

2) एकसमान अभिसरण के लिए वीयरस्ट्रैस परीक्षण. मत भूलो!

3) मानक संख्या श्रृंखला के साथ तुलना- सामान्य मामले में नियम.

तब पाए गए अंतरालों के सिरों की जांच करें (यदि ज़रूरत हो तो)और हम श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र प्राप्त करते हैं।

अब आपके पास काफी गंभीर शस्त्रागार है जो आपको लगभग किसी भी विषयगत कार्य से निपटने की अनुमति देगा।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान: मान श्रृंखला के अभिसरण की सीमा के भीतर नहीं है।
हम डी'अलेम्बर्ट चिह्न का उपयोग करते हैं:


श्रृंखला इस पर मिलती है:

इस प्रकार, कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल: .
आइए हम अंतिम बिंदुओं पर श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें:
तो अगर ;
तो अगर .
दोनों संख्या श्रृंखलाएं अलग-अलग हैं, क्योंकि आवश्यक अभिसरण मानदंड पूरा नहीं हुआ है।

उत्तर : अभिसरण का क्षेत्र:

मान लीजिए कि फ़ंक्शन को डोमेन में परिभाषित किया गया है

परिभाषा।अभिव्यक्ति

बुलाया कार्यात्मकपास में।

उदाहरण।

कुछ मानों के लिए श्रृंखला अभिसरित हो सकती है, अन्य मानों के लिए यह भिन्न हो सकती है।

उदाहरण।

श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए। यह श्रृंखला मानों के लिए परिभाषित है

यदि तब, श्रृंखला विचलन करती है, क्योंकि श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड संतुष्ट नहीं है; यदि श्रृंखला अलग हो जाती है; यदि एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है।

इस श्रृंखला की तुलना अभिसारी श्रृंखला से करने से अध्ययनाधीन श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र पता चलता है।

कार्यात्मक श्रृंखला के मानों से एक संख्यात्मक श्रृंखला प्राप्त होती है

यदि संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, तो बिंदु कहा जाता है अभिसरण बिंदुकार्यात्मक सीमा.

किसी श्रृंखला के अभिसरण के सभी बिंदुओं का समुच्चय उसके अभिसरण क्षेत्र का निर्माण करता है। अभिसरण क्षेत्र आमतौर पर अक्ष का कुछ अंतराल होता है।

यदि संख्या श्रृंखला प्रत्येक बिंदु पर अभिसरित होती है, तो कार्यात्मक श्रृंखला कहलाती है संमिलितक्षेत्र में ।

एक कार्यात्मक श्रृंखला का योग श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र में परिभाषित एक चर का कुछ कार्य है

यदि श्रृंखला के सदस्यों के गुण ज्ञात हैं, तो कार्यों में क्या गुण हैं।

कार्यों की निरंतरता निरंतरता के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त नहीं है।

निरंतर कार्यों की एक श्रृंखला का एक सतत कार्य में अभिसरण एक अतिरिक्त शर्त द्वारा सुनिश्चित किया जाता है जो एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण की एक महत्वपूर्ण विशेषता को व्यक्त करता है।

परिभाषा. एक कार्यात्मक श्रृंखला को क्षेत्र में अभिसरण कहा जाता है यदि इस श्रृंखला के आंशिक योग की एक सीमा है, अर्थात।

परिभाषा. एक कार्यात्मक श्रृंखला को एक डोमेन में समान रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि, किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए, ऐसी संख्या होती है जो असमानता सभी के लिए होती है।

एकसमान अभिसरण का ज्यामितीय अर्थ

यदि आप किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को एक पट्टी से घेरते हैं", संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है, तो ग्राफ़ सब लोगसुविधाएँ पर्याप्त से शुरू होती हैं काफी महत्व की , पूरी तरह सेसीमा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के चारों ओर इस "- पट्टी" में स्थित हों।

एक समान रूप से अभिसरण श्रृंखला के गुण .

1. निरंतर कार्यों से बने एक निश्चित डोमेन में एक समान रूप से अभिसरण श्रृंखला का योग इस डोमेन में एक सतत कार्य है।

2. ऐसी श्रृंखला को पद दर पद विभेदित किया जा सकता है

3. श्रृंखला को पद दर पद एकीकृत किया जा सकता है

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक कार्यात्मक श्रृंखला समान रूप से अभिसरण है, किसी को पर्याप्त वीयरस्ट्रैस अभिसरण परीक्षण का उपयोग करना चाहिए।

परिभाषा. कार्यात्मक श्रृंखला कहलाती है प्रमुखीकरणपरिवर्तन के किसी क्षेत्र में, यदि सकारात्मक पदों वाली एक अभिसरण संख्या श्रृंखला है, जिससे इस क्षेत्र के सभी लोगों के लिए असमानताएं संतुष्ट हो जाती हैं।

वीयरस्ट्रैस चिन्ह(कार्यात्मक श्रृंखला का एकसमान अभिसरण)।

कार्यात्मक सीमा समान रूप से अभिसरित होता हैअभिसरण के क्षेत्र में यदि यह इस क्षेत्र में प्रमुखता योग्य है।

दूसरे शब्दों में, यदि किसी निश्चित क्षेत्र में फ़ंक्शन निरपेक्ष मान में संबंधित सकारात्मक संख्याओं से अधिक नहीं होते हैं और यदि संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इस क्षेत्र में कार्यात्मक श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है।

उदाहरण. कार्यात्मक श्रृंखला का एकसमान अभिसरण सिद्ध करें।

समाधान. . आइए हम इस श्रृंखला के सामान्य सदस्य को संख्यात्मक श्रृंखला के एक सामान्य सदस्य से प्रतिस्थापित करें, लेकिन निरपेक्ष मूल्य में श्रृंखला के प्रत्येक सदस्य से अधिक। ऐसा करने के लिए, यह निर्धारित करना आवश्यक है, जिस पर श्रृंखला का कुल पद अधिकतम होगा।

परिणामी संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, जिसका अर्थ है कि कार्यात्मक श्रृंखला वीयरस्ट्रैस मानदंड के अनुसार समान रूप से अभिसरण करती है।

उदाहरण. श्रृंखला का योग ज्ञात कीजिये.

किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करने के लिए, हम ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं

सूत्र (1) के बाएँ और दाएँ पक्षों में अंतर करते हुए, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं

आइए गणना के लिए योग में पहले और दूसरे डेरिवेटिव के आनुपातिक शब्दों का चयन करें:

आइए डेरिवेटिव की गणना करें:

बिजली की श्रृंखला।

कार्यात्मक श्रृंखला के बीच शक्ति और त्रिकोणमितीय श्रृंखला का एक वर्ग है।

परिभाषा. प्रपत्र की कार्यात्मक श्रृंखला

शक्तियों द्वारा शक्ति कहा जाता है. अभिव्यक्तियाँ स्थिर संख्याएँ हैं।

यदि श्रृंखला घातों में एक घात श्रृंखला है।

शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र. हाबिल का प्रमेय.

प्रमेय. यदि कोई शक्ति श्रृंखला किसी बिंदु पर अभिसरण करती है, तो यह अभिसरण करती है और, इसके अलावा, बिल्कुल किसी भी मूल्य के लिए जो निरपेक्ष मूल्य में छोटा है, यानी या अंतराल में।

सबूत।

रेड के अभिसरण के कारण, इसका सामान्य पद शून्य होना चाहिए, इसलिए इस श्रृंखला के सभी पद समान रूप से सीमित हैं: प्रत्येक असमानता के लिए एक ऐसी स्थिर सकारात्मक संख्या होती है, जो बिंदु पर केंद्र वाले सभी के लिए होती है

अभिसरण का क्षेत्र एक कार्यात्मक श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसके सदस्य संख्या अक्ष के एक निश्चित सेट ई पर कार्य / परिभाषित होते हैं। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला के पद एक अंतराल पर परिभाषित होते हैं, और एक श्रृंखला के पद एक अंतराल पर परिभाषित होते हैं। एक कार्यात्मक श्रृंखला (1) को बिंदु हो € ई पर अभिसरण कहा जाता है यदि यह कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरण क्षेत्र एक समान हो जाती है। अभिसरण वीयरस्ट्रैस परीक्षण समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला संख्यात्मक श्रृंखला के गुण यदि श्रृंखला (1) सेट डी सी ई के प्रत्येक बिंदु x पर अभिसरण करती है और प्रत्येक बिंदु पर विचलन करती है जो सेट डी से संबंधित नहीं है, तो वे कहते हैं कि श्रृंखला सेट डी पर अभिसरण करती है , और D को श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र कहा जाता है। एक श्रृंखला (1) को एक सेट डी पर पूर्ण रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि श्रृंखला इस सेट पर अभिसरण करती है। एक सेट डी पर एक श्रृंखला (1) के अभिसरण के मामले में, इसका योग एस डी पर परिभाषित एक फ़ंक्शन होगा। कुछ कार्यात्मक श्रृंखलाओं के अभिसरण का क्षेत्र सकारात्मक शब्दों वाली श्रृंखला के लिए स्थापित ज्ञात पर्याप्त मानदंडों का उपयोग करके पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, डैपामबर्ट का परीक्षण, कॉची का परीक्षण। उदाहरण 1. श्रृंखला एम के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात करें चूंकि संख्यात्मक श्रृंखला पी > 1 के लिए अभिसरण करती है और पी ^ 1 के लिए विचलन करती है, तो, पी - आईजीएक्स मानते हुए, हम इस श्रृंखला को प्राप्त करते हैं। जो Igx > T अर्थात पर अभिसरण होगा। यदि x > 10, और Igx ^ 1 होने पर विचलन, अर्थात। 0 पर< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >पंक्ति 0 विचलन करती है, चूँकि A =। x = 0 पर श्रृंखला का विचलन स्पष्ट है। उदाहरण 3. श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए। दी गई श्रृंखला के पद सेट पर परिभाषित और निरंतर हैं। कसौटी कोष का उपयोग करते हुए, हम किसी के लिए पाते हैं। नतीजतन, श्रृंखला x के सभी मानों के लिए विचलन करती है। आइए हम कार्यात्मक श्रृंखला (1) के nवें आंशिक योग को Sn(x) से निरूपित करें। यदि यह श्रृंखला समुच्चय D पर अभिसरण करती है और इसका योग 5(g) के बराबर है, तो इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है कि श्रृंखला का योग समुच्चय D पर अभिसरित होता है जिसे कहा जाता है एन-एम शेषकार्यात्मक श्रृंखला (1). x € D के सभी मानों के लिए संबंध और इसलिए कायम है। अर्थात्, एक अभिसरण श्रृंखला का शेष Rn(x) n oo के रूप में शून्य हो जाता है, जो भी x 6 D. समान अभिसरण सभी अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखलाओं के बीच, तथाकथित समान रूप से अभिसरण श्रृंखला एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। मान लीजिए कि सेट D पर अभिसरण एक फ़ंक्शन श्रृंखला दी गई है जिसका योग S(x) के बराबर है। आइए इसकी nवीं आंशिक राशि परिभाषा लें। कार्यात्मक श्रृंखला कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरण का क्षेत्र समान अभिसरण वीयरस्ट्रैस परीक्षण समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला के गुणों को सेट PS1 पर समान रूप से अभिसरण कहा जाता है) यदि किसी संख्या ई > ओ के लिए एक संख्या Γ > ओ है जैसे कि असमानता सभी संख्याओं के लिए है n > N और सेट fI से सभी x के लिए। टिप्पणी। यहां संख्या N सभी x € Yu के लिए समान है, अर्थात। z पर निर्भर नहीं है, बल्कि संख्या e की पसंद पर निर्भर करता है, इसलिए हम N = N(e) लिखते हैं। सेट ft पर फ़ंक्शन S(x) के लिए कार्यात्मक श्रृंखला £ /n(®) के समान अभिसरण को अक्सर निम्नानुसार दर्शाया जाता है: सेट ft पर श्रृंखला /n(x) के समान अभिसरण की परिभाषा लिखी जा सकती है तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके अधिक संक्षेप में: आइए ज्यामितीय रूप से एक समान अभिसरण कार्यात्मक सीमा का अर्थ समझाएं। आइए खंड [ए, 6] को सेट फीट के रूप में लें और फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं। असमानता |, जो संख्याओं n > N और सभी a के लिए है; जी [ए, बी], को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। प्राप्त असमानताओं से पता चलता है कि सभी फ़ंक्शन y = 5n(x) के ग्राफ n > N के साथ पूरी तरह से वक्र y द्वारा सीमित £-बैंड के भीतर समाहित होंगे। = एस(एक्स) - ई और वाई = 5(जी) + ई (चित्र 1)। उदाहरण 1 अंतराल पर समान रूप से अभिसरण करता है यह श्रृंखला संकेत में वैकल्पिक है, किसी भी x € [-1,1] के लिए लीबनिज़ मानदंड की शर्तों को पूरा करती है और इसलिए, अंतराल (-1,1] पर अभिसरण करती है। मान लीजिए S(x) ) इसका योग हो, और Sn (x) - उसका n-मैं आंशिक जोड़। निरपेक्ष मूल्य में श्रृंखला का शेष भाग इसके पहले पद के निरपेक्ष मूल्य से अधिक नहीं है: और चूँकि हम कोई ई लेते हैं तो असमानता | निष्पादित किया जाएगा यदि. यहां से हमें पता चलता है कि n > \. यदि हम एक संख्या लेते हैं (यहां [ए] सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो ए से अधिक नहीं है), तो असमानता | e सभी संख्याओं n > N और सभी x € [-1,1) के लिए धारण करेगा। इसका मतलब यह है कि यह श्रृंखला अंतराल [-1,1) पर समान रूप से परिवर्तित होती है। I. सेट D पर अभिसरण करने वाली प्रत्येक कार्यात्मक श्रृंखला उदाहरण 2 पर समान रूप से अभिसरण नहीं होती है। आइए हम दिखाते हैं कि श्रृंखला एक अंतराल पर अभिसरण करती है, लेकिन समान रूप से नहीं। 4 आइए श्रृंखला के nवें आंशिक योग £„(*) की गणना करें। यदि अंतर S(x) - 5„(x) (श्रृंखला का शेष) का निरपेक्ष मान बराबर है तो हमारे पास यह श्रृंखला खंड और उसके योग पर कहां केंद्रित होती है। चलिए एक संख्या e ऐसे लेते हैं. आइए हम n के संबंध में असमानता को हल करें, जहां से (चूंकि, और Inx से विभाजित करने पर, असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाता है)। असमानता कब संतुष्ट होगी. इसलिए, x से स्वतंत्र एक ऐसी संख्या N(e) है कि खंड से सभी x के लिए असमानता प्रत्येक) के लिए संतुष्ट हो जाती है। , मौजूद नहीं होना। यदि हम खंड 0 को एक छोटे खंड से प्रतिस्थापित करते हैं, तो बाद में यह श्रृंखला समान रूप से फ़ंक्शन S0 में परिवर्तित हो जाएगी। वास्तव में, के लिए, और इसलिए सभी x के लिए एक साथ §3। वीयरस्ट्रैस का परीक्षण किसी कार्यात्मक श्रृंखला के एक समान अभिसरण के लिए पर्याप्त परीक्षण वीयरस्ट्रैस के प्रमेय द्वारा दिया गया है। प्रमेय 1 (वीयरस्ट्रैस परीक्षण)। मान लें कि समुच्चय Q से सभी x के लिए कार्यात्मक श्रृंखला के पद निरपेक्ष मान में अभिसरण संख्यात्मक श्रृंखला P = 1 के संगत सदस्यों से सकारात्मक पदों से अधिक नहीं हैं, अर्थात सभी x € Q के लिए। फिर कार्यात्मक श्रृंखला (1) ) समुच्चय P पर पूर्णतया और समान रूप से अभिसरित होता है। और टेक चूंकि, प्रमेय की शर्तों के अनुसार, श्रृंखला की शर्तें (1) पूरे सेट क्यू पर शर्त (3) को संतुष्ट करती हैं, तो तुलना करके श्रृंखला 2 \fn(x)\ किसी भी x € I के लिए अभिसरण करती है, और , परिणामस्वरूप, श्रृंखला (1) बिल्कुल पी पर अभिसरण करती है। आइए हम श्रृंखला (1) का एकसमान अभिसरण सिद्ध करें। मान लीजिए Sn(x) और an क्रमशः श्रृंखला (1) और (2) के आंशिक योग को दर्शाते हैं। हमारे पास कोई भी (मनमाने ढंग से छोटी) संख्या ई > 0 है। फिर संख्या श्रृंखला (2) के अभिसरण से यह एक संख्या एन = एन (ई) के अस्तित्व का अनुसरण करता है, इसलिए, सभी संख्याओं के लिए -ई एन > एन (ई) और सभी एक्सबीपी के लिए, यानी। श्रृंखला (1) समुच्चय पी पर समान रूप से अभिसरित होती है। टिप्पणी। कार्यात्मक श्रृंखला (1) के लिए संख्या श्रृंखला (2) को अक्सर प्रमुखीकरण या प्रमुख कहा जाता है। उदाहरण 1. एकसमान अभिसरण के लिए श्रृंखला की जाँच करें। असमानता सभी के लिए है। और हर किसी के लिए. संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है। वीयरस्ट्रैस मानदंड के आधार पर, विचाराधीन कार्यात्मक श्रृंखला संपूर्ण अक्ष पर बिल्कुल और समान रूप से अभिसरण करती है। उदाहरण 2. एकसमान अभिसरण के लिए श्रृंखला की जाँच करें। श्रृंखला के पद परिभाषित हैं और अंतराल पर निरंतर हैं [-2,2|। चूंकि अंतराल पर [-2,2) किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, तो इस प्रकार, असमानता कायम रहती है। चूंकि संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, तो, वीयरस्ट्रैस के मानदंड के अनुसार, मूल कार्यात्मक श्रृंखला खंड पर बिल्कुल और समान रूप से अभिसरण करती है। टिप्पणी। कार्यात्मक श्रृंखला (1) उस स्थिति में सेट पिव पर समान रूप से अभिसरण कर सकती है जब कोई संख्यात्मक प्रमुख श्रृंखला (2) न हो, यानी, वीयरस्ट्रैस मानदंड केवल समान अभिसरण के लिए पर्याप्त मानदंड है, लेकिन आवश्यक नहीं है। उदाहरण। जैसा कि ऊपर दिखाया गया था (उदाहरण), श्रृंखला खंड 1-1,1] पर समान रूप से परिवर्तित होती है। हालाँकि, इसके लिए कोई प्रमुख अभिसरण संख्या श्रृंखला (2) नहीं है। वास्तव में, सभी प्राकृतिक n और सभी x € [-1,1) के लिए असमानता संतुष्ट है और समानता प्राप्त की जाती है। इसलिए, वांछित प्रमुख श्रृंखला (2) के सदस्यों को निश्चित रूप से शर्त को पूरा करना होगा लेकिन संख्या श्रृंखला कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरण का क्षेत्र समान अभिसरण वीयरस्ट्रैस परीक्षण समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला के गुण अलग हो जाते हैं। इसका मतलब यह है कि श्रृंखला £op भी अलग हो जाएगी। समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला के गुण समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं। प्रमेय 2. यदि अंतराल [ए, बी] पर समान रूप से अभिसरण करने वाली श्रृंखला के सभी पदों को [ए, 6] से बंधे समान फ़ंक्शन डी (एक्स) से गुणा किया जाता है, तो परिणामी कार्यात्मक श्रृंखला समान रूप से परिवर्तित हो जाएगी। मान लीजिए अंतराल पर [a, b\ श्रृंखला £ fn(x) समान रूप से फ़ंक्शन 5(x) में परिवर्तित हो जाती है, और फ़ंक्शन d(x) परिबद्ध हो जाता है, यानी, एक स्थिरांक C > 0 मौजूद होता है जैसे कि परिभाषा के अनुसार किसी भी संख्या e > 0 के लिए श्रृंखला के समान अभिसरण में एक संख्या N होती है जैसे कि सभी n > N और सभी x € [a, b] के लिए असमानता संतुष्ट हो जाएगी जहां 5n(ar) का आंशिक योग है श्रृंखला पर विचार चल रहा है। इसलिए, हम इसे सभी के लिए रखेंगे। श्रृंखला समान रूप से [ए, बी| फ़ंक्शन प्रमेय 3 के लिए। मान लें कि कार्यात्मक श्रृंखला के सभी पद fn(x) निरंतर हैं और श्रृंखला अंतराल [a, b\ पर समान रूप से अभिसरण करती है। फिर श्रृंखला का योग S(x) इस अंतराल पर निरंतर है। एम आइए खंड [ओ, बी] पर दो मनमाना बिंदु x + Ax लें। चूँकि यह श्रृंखला अंतराल [a, b] पर समान रूप से अभिसरित होती है, तो किसी भी संख्या e > O के लिए एक संख्या N = N(e) होती है, जिससे कि सभी i > N के लिए असमानताएँ संतुष्ट होती हैं जहाँ 5„(g) हैं श्रृंखला का आंशिक योग fn (x)। ये आंशिक योग 5n(x) अंतराल [a, 6] पर निरंतर हैं, जो कि [a, 6] पर निरंतर fn(x) कार्यों की एक सीमित संख्या के योग के रूप में हैं। इसलिए, एक निश्चित संख्या संख्या > N(e) और एक दी गई संख्या e के लिए, एक संख्या 6 = 6(e) > 0 है जैसे कि वेतन वृद्धि के लिए Ax शर्त को संतुष्ट करता है |, असमानता होगी: वेतन वृद्धि AS योग S(x) को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है: से। असमानताओं (1) और (2) को ध्यान में रखते हुए, वेतन वृद्धि के लिए एक्स शर्त को संतुष्ट करता है |, हम प्राप्त करते हैं इसका मतलब है कि योग छह) बिंदु x पर निरंतर है। चूँकि x खंड [a, 6] का एक मनमाना बिंदु है, तो 5(x) |a, 6| पर निरंतर है। टिप्पणी। एक कार्यात्मक श्रृंखला जिसके पद अंतराल [ए, 6] पर निरंतर हैं, लेकिन जो (ए, 6] पर असमान रूप से परिवर्तित होते हैं, एक योग के रूप में एक असंतत कार्य हो सकता है। उदाहरण 1। अंतराल पर एक कार्यात्मक श्रृंखला पर विचार करें |0,1 ). आइए इसके nवें आंशिक योग की गणना करें, इसलिए, यह खंड पर असंतत है, हालाँकि श्रृंखला की शर्तें इस पर निरंतर हैं। सिद्ध प्रमेय के आधार पर, यह श्रृंखला अंतराल पर समान रूप से अभिसरण नहीं है। उदाहरण 2. श्रृंखला पर विचार करें जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, यह श्रृंखला अभिसरण करती है, श्रृंखला वीयरस्ट्रैस के परीक्षण के अनुसार समान रूप से अभिसरण करेगी, क्योंकि 1 और संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है। परिणामस्वरूप, किसी भी x > 1 के लिए इस श्रृंखला का योग सतत है। टिप्पणी। फ़ंक्शन को रोम फ़ंक्शन कहा जाता है (यह फ़ंक्शन संख्या सिद्धांत में एक बड़ी भूमिका निभाता है)। प्रमेय 4 (एक कार्यात्मक श्रृंखला के शब्द-दर-अवधि एकीकरण पर)। माना कि श्रृंखला के सभी पद fn(x) सतत हैं और श्रृंखला अंतराल [a, b] पर फ़ंक्शन S(x) पर समान रूप से परिवर्तित होती है। फिर समानता कायम है: फ़ंक्शन f„(x) की निरंतरता और अंतराल [a, 6] पर इस श्रृंखला के समान अभिसरण के कारण, इसका योग 5(x) निरंतर है और इसलिए, पर पूर्णांक है। आइए अंतर पर विचार करें [o, b] पर श्रृंखला के समान अभिसरण से यह पता चलता है कि किसी भी e > 0 के लिए एक संख्या N(e) > 0 है जैसे कि सभी संख्याओं के लिए n > N(e) और सभी के लिए x € [a, 6] असमानता संतुष्ट हो जाएगी यदि श्रृंखला fn(0 समान रूप से अभिसरण नहीं है, तो, आम तौर पर बोलते हुए, इसे पद दर पद एकीकृत नहीं किया जा सकता है, यानी प्रमेय 5 (एक कार्यात्मक श्रृंखला के पद दर पद विभेदन पर) मान लें कि अभिसरण श्रृंखला 00 के सभी पदों में निरंतर व्युत्पन्न हैं और इन व्युत्पन्नों से बनी श्रृंखला, अंतराल [ए, बी] पर समान रूप से अभिसरण करती है, तो किसी भी बिंदु पर समानता सत्य है, यानी, इस श्रृंखला को विभेदित किया जा सकता है निरंतर कार्यों की एक समान रूप से अभिसरण श्रृंखला के योग के रूप में पद। इसलिए, समानता को अलग करने से हमें अभ्यास प्राप्त होता है। इन कार्यात्मक श्रृंखलाओं के अभिसरण के क्षेत्रों का पता लगाएं: वीयरस्ट्रैस परीक्षण का उपयोग करके, संकेतित अंतरालों पर इन कार्यात्मक श्रृंखलाओं के एक समान अभिसरण को साबित करें:

कार्यात्मक सीमा औपचारिक रूप से लिखित अभिव्यक्ति कहलाती है

यू1 (एक्स) + यू 2 (एक्स) + यू 3 (एक्स) + ... + यूएन ( एक्स) + ... , (1)

कहाँ यू1 (एक्स), यू 2 (एक्स), यू 3 (एक्स), ..., यूएन ( एक्स), ... - स्वतंत्र चर से कार्यों का क्रम एक्स.

सिग्मा के साथ एक कार्यात्मक श्रृंखला का संक्षिप्त संकेतन:।

कार्यात्मक श्रृंखला के उदाहरणों में शामिल हैं :

(2)

(3)

स्वतंत्र चर देना एक्सकुछ मूल्य एक्स0 और इसे कार्यात्मक श्रृंखला (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम संख्यात्मक श्रृंखला प्राप्त करते हैं

यू1 (एक्स 0 ) + यू 2 (एक्स 0 ) + यू 3 (एक्स 0 ) + ... + यूएन ( एक्स 0 ) + ...

यदि परिणामी संख्यात्मक श्रृंखला अभिसरण करती है, तो कार्यात्मक श्रृंखला (1) को अभिसरण कहा जाता है एक्स = एक्स0 ; यदि यह विचलन करता है, तो क्या कहा जाता है कि श्रृंखला (1) विचलन करती है एक्स = एक्स0 .

उदाहरण 1. एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें(2) मूल्यों पर एक्स= 1 और एक्स = - 1 .
समाधान। पर एक्स= 1 हमें एक संख्या श्रृंखला प्राप्त होती है

जो लीबनिज की कसौटी पर अभिसरित होता है। पर एक्स=-1 हमें एक संख्या श्रृंखला प्राप्त होती है

,

जो एक अपसारी हार्मोनिक श्रृंखला के उत्पाद के रूप में - 1 द्वारा अपसरित होता है। इसलिए, श्रृंखला (2) पर अभिसरित होती है एक्स= 1 और पर विचलन करता है एक्स = - 1 .

यदि कार्यात्मक श्रृंखला (1) के अभिसरण की ऐसी जाँच उसके सदस्यों की परिभाषा के क्षेत्र से स्वतंत्र चर के सभी मूल्यों के संबंध में की जाती है, तो इस डोमेन के बिंदुओं को दो सेटों में विभाजित किया जाएगा: मूल्यों के लिए एक्स, उनमें से एक में लिया गया, श्रृंखला (1) अभिसरण करती है, और दूसरे में यह विचलन करती है।

स्वतंत्र चर के मानों का वह समुच्चय जिस पर कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरित होती है, उसका कहलाता है अभिसरण का क्षेत्र .

उदाहरण 2. कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए

समाधान। श्रृंखला के पद संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं और हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं क्यू= पाप एक्स. इसलिए श्रृंखला अभिसरण करती है यदि

और यदि अलग हो जाता है

(मान संभव नहीं है). लेकिन मूल्यों के लिए और अन्य मूल्यों के लिए एक्स. इसलिए, श्रृंखला सभी मूल्यों के लिए अभिसरण करती है एक्स, के अलावा । इसके अभिसरण का क्षेत्र इन बिंदुओं को छोड़कर, संपूर्ण संख्या रेखा है।

उदाहरण 3. कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात करें

समाधान। श्रृंखला के पद हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं क्यू=एल.एन एक्स. इसलिए, श्रृंखला यदि, या, जहां से अभिसरित होती है। यह इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र है।

उदाहरण 4. एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। आइए एक मनमाना मूल्य लें। इस मान से हमें एक संख्या श्रृंखला प्राप्त होती है

(*)

आइए इसके सामान्य पद की सीमा ज्ञात करें

नतीजतन, श्रृंखला (*) मनमाने ढंग से चुने गए के लिए अलग हो जाती है, यानी। किसी भी कीमत पर एक्स. इसका अभिसरण क्षेत्र रिक्त समुच्चय है।

एक कार्यात्मक श्रृंखला और उसके गुणों का एकसमान अभिसरण

आइए अवधारणा पर आगे बढ़ें कार्यात्मक श्रृंखला का एकसमान अभिसरण . होने देना एस(एक्स) इस श्रृंखला का योग है, और एसएन ( एक्स) - जोड़ एनइस शृंखला के पहले सदस्य. कार्यात्मक सीमा यू1 (एक्स) + यू 2 (एक्स) + यू 3 (एक्स) + ... + यूएन ( एक्स) + ... अंतराल पर समान रूप से अभिसरण कहा जाता है [ ए, बी] , यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी संख्या के लिए ε > 0 एक ऐसी संख्या है एनवो सबके सामने एन ≥ एनअसमानता पूरी होगी

|एस(एक्स) − एसएन ( एक्स)| < ε

किसी के लिए भी एक्सखंड से [ ए, बी] .

उपरोक्त संपत्ति को ज्यामितीय रूप से निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें य = एस(एक्स) . आइए इस वक्र के चारों ओर 2 चौड़ाई की एक पट्टी बनाएं ε एन, यानी हम वक्र बनाएंगे य = एस(एक्स) + ε एनऔर य = एस(एक्स) − ε एन(नीचे चित्र में वे हरे हैं)।

फिर किसी के लिए ε एनकिसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एसएन ( एक्स) पूरी तरह से विचाराधीन पट्टी में स्थित होगा। उसी पट्टी में बाद के सभी आंशिक योगों के ग्राफ़ होंगे।

कोई भी अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला जिसमें ऊपर वर्णित विशेषता नहीं है वह असमान रूप से अभिसरण है।

आइए समान रूप से अभिसरण कार्यात्मक श्रृंखला की एक और संपत्ति पर विचार करें:

एक निश्चित अंतराल पर समान रूप से परिवर्तित होने वाले निरंतर कार्यों की श्रृंखला का योग [ ए, बी], इस अंतराल पर एक फलन सतत है.

उदाहरण 5.निर्धारित करें कि कार्यात्मक श्रृंखला का योग सतत है या नहीं

समाधान। आइए राशि ज्ञात करें एनइस शृंखला के प्रथम सदस्य:

अगर एक्स> 0, तो

,

अगर एक्स < 0 , то

अगर एक्स= 0, तो

और इसलिए ।

हमारे शोध से पता चला है कि इस श्रृंखला का योग एक असंतत फलन है। इसका ग्राफ नीचे चित्र में दिखाया गया है।

कार्यात्मक श्रृंखला के एकसमान अभिसरण के लिए वीयरस्ट्रैस परीक्षण

हम अवधारणा के माध्यम से वीयरस्ट्रैस मानदंड तक पहुंचते हैं कार्यात्मक श्रृंखला की प्रमुखता . कार्यात्मक सीमा

यू1 (एक्स) + यू 2 (एक्स) + यू 3 (एक्स) + ... + यूएन ( एक्स) + ...