फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें f x x। सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मान

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों की अवधारणा।

उच्चतम और निम्नतम मानों की अवधारणा किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु की अवधारणा से निकटता से संबंधित है।

परिभाषा 1

$ x_0 $ को फ़ंक्शन का एक महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है $ f (x) $ if:

1) $ x_0 $ - परिभाषा के डोमेन का आंतरिक बिंदु;

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ या मौजूद नहीं है।

आइए अब हम सबसे बड़े और सबसे छोटे फ़ंक्शन मानों की परिभाषाएँ पेश करते हैं।

परिभाषा २

समारोह $ y \u003d f (x) $, $ $ X के अंतराल पर परिभाषित किया गया है, अगर इसकी अधिकतम कीमत तक पहुँच जाता है अगर X $ $ में एक बिंदु $ x_0 \\ है तो सभी $ x \\ के लिए X $ असमानता में।

परिभाषा ३

समारोह $ y \u003d f (x) $, $ $ X के अंतराल पर परिभाषित किया गया है, अगर इसकी कीमत $ X_0 \\ X में है, तो इसकी सबसे छोटी कीमत तक पहुँच जाता है, जैसे कि $ $ X के लिए X $ असमानता में।

एक अंतराल पर एक सतत कार्य पर वीयरस्ट्रैस का प्रमेय

आरंभ करने के लिए, हम एक खंड पर एक सतत कार्य की अवधारणा प्रस्तुत करते हैं:

परिभाषा ४

एक फ़ंक्शन $ f \\ left (x \\ right) $ को सेगमेंट $ $ पर निरंतर कहा जाता है यदि यह अंतराल $ (a, b) $ के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है, और बिंदु $ x \u003d $ a पर दाईं ओर निरंतर है और बिंदु $ x पर बाईं ओर है \u003d ख $।

एक अंतराल पर एक सतत कार्य पर एक प्रमेय तैयार करते हैं।

प्रमेय १

वीयरस्ट्रैस प्रमेय

फ़ंक्शन $ f \\ left (x \\ right) $ $ खंड पर निरंतर $ $ इस सेगमेंट पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्य तक पहुंचता है, अर्थात्, $ $ अल्फा, \\ beta \\ $ में ऐसे होते हैं जैसे कि सभी $ x \\ के लिए $ असमानता $ f (\\ alpha) \\ le f (x) \\ le f (\\ beta) $।

प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या चित्र 1 में दिखाई गई है।

यहां फ़ंक्शन $ f (x) $ बिंदु $ x \u003d \\ अल्फा $ पर अपने सबसे छोटे मूल्य तक पहुंच जाता है और बिंदु $ x \u003d \\ beta $ पर अपने सबसे बड़े मूल्य तक पहुंच जाता है।

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए योजना $ f (x) $ खंड $ $ पर

1) व्युत्पन्न $ f का पता लगाएं ”(x) $;

2) उन बिंदुओं का पता लगाएं जिस पर व्युत्पन्न $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

3) उन बिंदुओं का पता लगाएं जिस पर व्युत्पन्न $ f "(x) $ मौजूद नहीं है;

4) अंक 2 और 3 में प्राप्त अंकों से चयन करें जो खंड $ $ से संबंधित हैं;

5) चरण 4 में प्राप्त बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करें, साथ ही साथ खंड $ $ के अंत में;

6) प्राप्त मूल्यों से उच्चतम और निम्नतम मूल्य का चयन करें।

एक खंड पर एक समारोह का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की समस्याएं

उदाहरण 1

एक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

फेसला।

1) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

2) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ 2 \\ in, बाएं, $ 3 \\ _ में;

5) मान:

\ \ \ \

6) सबसे बड़ा पाया गया मूल्य $ 33 $ है, जो सबसे छोटा मूल्य है वह $ 1 $ है। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर: $ अधिकतम \u003d 33, \\ मिनट \u003d 1 $।

उदाहरण 2

खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मान ज्ञात करें: $ f \\ left (x \\ right) \u003d x ^ 3-3x ^ 2-45x + 225 $

फेसला।

उपरोक्त योजना के अनुसार समाधान किया जाएगा।

1) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 3x ^ 2-6x-45 $;

2) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

3) $ f "(x) $ डोमेन के सभी बिंदुओं पर मौजूद है;

4) $ -3 \\ notin \\ left, $ 5 \\ _ में;

5) मान:

\ \ \

6) सबसे बड़ा पाया गया मूल्य $ 225 है, जो सबसे छोटा मूल्य है वह $ 50 $ है। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर: $ अधिकतम \u003d 225, \\ मिनट \u003d $ 50।

उदाहरण 3

खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मान ज्ञात करें [-2,2]: $ f \\ left (x \\ right) \u003d \\ frac (x ^ 2-6x + 9) (x-1) $

फेसला।

उपरोक्त योजना के अनुसार समाधान किया जाएगा।

1) $ f "\\ बाएँ (x \\ दाएँ) \u003d \\ frac (\\ बाएँ (2x-6 \\ दाएँ) \\ बाएँ (x-1 \\ दाएँ) - (x ^ 2-6x + 9)) () (x- 1)) ^ 2) \u003d \\ frac (x ^ 2-2x-3) (((x-1)) ^ 2) $;

2) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\\ [\\ frac (x ^ 2-2x-3) (((x-1)) ^ 2) \u003d 0 \\ "\\ \\

3) $ f "(x) $ बिंदु $ x \u003d 1 $ पर मौजूद नहीं है

4) $ 3 \\ notin \\ left [-2,2 \\ right], \\ -1 \\ in \\ left [-2,2 \\ right], \\ 1 \\ in \\ left [-2,2 \\ right] $, लेकिन 1 परिभाषा के डोमेन से संबंधित नहीं है;

5) मान:

\ \ \

6) सबसे बड़ा पाया गया मूल्य $ 1 $ है, जो सबसे छोटा मूल्य है वह $ -8 \\ frac (1) (3) $ है। इस प्रकार, हमें मिलता है: \\ end (enumerate)

उत्तर: $ अधिकतम \u003d 1, \\ मिनट \u003d\u003d - 8 \\ frac (1) (3) $।

कार्य करने दें य \u003dच (एक्स) खंड पर जारी है [ ए, बी]। जैसा कि ज्ञात है, इस तरह का फ़ंक्शन इस सेगमेंट पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंचता है। समारोह इन मूल्यों को या तो खंड के आंतरिक बिंदु पर ले जा सकता है [ ए, बी], या खंड सीमा पर।

सेगमेंट पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए [ ए, बी] आप की जरूरत है:

1) अंतराल में फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं ( ए, बी);

2) पाया महत्वपूर्ण बिंदुओं पर समारोह के मूल्यों की गणना;

3) सेगमेंट के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें, जो कि, के लिए है एक्स= तथा और x \u003d ख;

4) फ़ंक्शन के सभी गणना मूल्यों से, सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें।

उदाहरण। सबसे बड़े और सबसे छोटे फ़ंक्शन मान का पता लगाएं

खंड पर।

महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:

ये बिंदु रेखा खंड के अंदर स्थित हैं; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

बिंदु पर एक्स\u003d 3 और बिंदु पर एक्स= 0.

उत्तलता और विभक्ति बिंदु के लिए कार्य की जांच।

समारोह y = च (एक्स) बुलाया उत्तल करना के बीच में (ए, ख) यदि इसका ग्राफ इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा के नीचे है, और इसे कहा जाता है उत्तल नीचे (अवतल)अगर इसका ग्राफ स्पर्शरेखा के ऊपर है।

बिंदु, जब गुजरता है, जिसके माध्यम से उत्तलता को समतलता या इसके विपरीत बदल दिया जाता है, कहा जाता है संक्रमण का बिन्दु.

उत्तलता और विभक्ति बिंदु के लिए अनुसंधान एल्गोरिथ्म:

1. दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं, अर्थात्, जिन बिंदुओं पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।

2. संख्या रेखा पर महत्वपूर्ण बिंदुओं को ड्रा करें, इसे अंतराल में विभाजित करें। प्रत्येक अंतराल पर दूसरे व्युत्पन्न का संकेत प्राप्त करें; यदि, तो फ़ंक्शन उत्तल ऊपर की ओर है, यदि, तो फ़ंक्शन उत्तल नीचे की ओर है।

3. यदि, दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, संकेत बदलता है और इस बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, तो यह बिंदु विभक्ति बिंदु का अनुपस्थिति है। उसका समन्वय खोजें।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का असममित होना। असममितता के लिए कार्य की जांच।

परिभाषा।किसी फंक्शन के ग्राफ के asymptote को कहा जाता है सीधे, जिसकी संपत्ति है कि ग्राफ पर किसी भी बिंदु से इस सीधी रेखा की दूरी ग्राफ बिंदु की उत्पत्ति से असीमित दूरी के साथ शून्य हो जाती है।

तीन प्रकार के स्पर्शोन्मुख हैं: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और झुका हुआ।

परिभाषा। सीधी रेखा को कहा जाता है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटफंक्शन ग्राफिक्स y \u003d f (x)यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन की एक-तरफा सीमाओं में से कम से कम एक अनंतता के बराबर है, अर्थात

फ़ंक्शन का विच्छेदन बिंदु कहां है, अर्थात यह परिभाषा के डोमेन से संबंधित नहीं है।

उदाहरण।

डी ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

एक्स\u003d 2 - ब्रेक प्वाइंट।

परिभाषा।सीधे य \u003dए बुलाया समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा फंक्शन ग्राफिक्स y \u003d f (x) पर, अगर

उदाहरण।

एक्स
y

परिभाषा।सीधे य \u003dकx +ख (कCalled 0) कहा जाता है तिरछा स्पर्श फंक्शन ग्राफिक्स y \u003d f (x) कहां पर

कार्यों और साजिश के अध्ययन के लिए सामान्य योजना।

समारोह अनुसंधान एल्गोरिथ्मy \u003d f (x) :

1. फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें डी (y).

2. (यदि संभव हो) कोऑर्डिनेट कुल्हाड़ियों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को ढूंढें (यदि संभव हो) एक्स \u003d 0 और के लिए y = 0).

3. समारोह की समरूपता और विषमता की जांच करें ( y (‒ एक्स) = y (एक्स) ‒ समानता; y(‒ एक्स) = ‒ y (एक्स) ‒ विचित्रता)।

4. फ़ंक्शन के ग्राफ़ के asymptotes का पता लगाएं।

5. फ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल का पता लगाएं।

6. समारोह की विलुप्तता का पता लगाएं।

7. फ़ंक्शन ग्राफ के उत्तलता (समतलता) और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल का पता लगाएं।

8. किए गए शोध के आधार पर, फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण।फ़ंक्शन की जांच करें और इसे प्लॉट करें।

1) डी (y) =

एक्स \u003d 4 - ब्रेक प्वाइंट।

२) जब एक्स = 0,

(0; - 5) - चौराहे बिंदु के साथ oy.

कब y = 0,

3) y(‒ एक्स)= सामान्य कार्य (न तो और न ही विषम)।

4) asymptotes के लिए जाँच करें।

a) वर्टिकल

b) क्षैतिज

ग) तिरछा स्पर्शोन्मुख खोजें जहां

- तिर्यक स्पर्शोन्मुख समीकरण

5) इस समीकरण में, फ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल को खोजने की आवश्यकता नहीं है।

6)

ये महत्वपूर्ण बिंदु अंतराल (˗; 2), ((2; 4), (4; 10) और (10; + ∞) पर फ़ंक्शन के पूरे डोमेन को विभाजित करते हैं। निम्नलिखित तालिका के रूप में प्राप्त परिणामों को प्रस्तुत करना सुविधाजनक है:

				कोई अतिरिक्त नहीं

तालिका से पता चलता है कि बिंदु एक्स \u003d \u003d2 - अधिकतम बिंदु, बिंदु पर एक्स \u003d 4 - कोई चरम सीमा नहीं, एक्स \u003d 10 - न्यूनतम बिंदु।

समीकरण में मान (- 3) को प्रतिस्थापित करें:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

इस फ़ंक्शन का अधिकतम है

(- 2; - 4) - अधिकतम चरम।

इस फ़ंक्शन का न्यूनतम है

(10; 20) - न्यूनतम चरम सीमा।

7) फ़ंक्शन के ग्राफ की उत्तलता और विभक्ति बिंदु के लिए जांच

व्यवहार में, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना काफी आम है। हम इस क्रिया को करते हैं जब हम लागत को कम करने, मुनाफे में वृद्धि करने, उत्पादन पर इष्टतम भार की गणना करने आदि का पता लगाते हैं, अर्थात् उन मामलों में जब किसी भी पैरामीटर के इष्टतम मूल्य को निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसी समस्याओं को सही ढंग से हल करने के लिए, आपको अच्छी तरह से समझने की जरूरत है कि सबसे बड़े और सबसे छोटे फ़ंक्शन मान क्या हैं।

आमतौर पर, हम इन मूल्यों को एक निश्चित अंतराल x के भीतर परिभाषित करते हैं, जो फ़ंक्शन या इसके भाग के संपूर्ण डोमेन के अनुरूप हो सकता है। यह एक खंड की तरह हो सकता है [ए; बी], और एक खुला अंतराल (ए; बी), (ए; बी), [ए; बी), एक अनंत अंतराल (ए, बी), (ए; बी), [ए; बी) या एक अनंत अंतराल - open; a, (-,; a], [a; +,), (- +; + ∞)।

इस लेख में, हम वर्णन करेंगे कि एक चर y \u003d f (x) y \u003d f (x) के साथ स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे गणना किया जाता है।

मूल परिभाषाएँ

आइए, हमेशा की तरह, आधारभूत परिभाषाएँ तैयार करके शुरू करें।

परिभाषा 1

कुछ अंतराल x पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) का सबसे बड़ा मान मूल्य maxy \u003d f (x 0) x any X है, जो किसी भी मूल्य के लिए xx ∈ X, x 0 x 0 असमानता को बनाता है f (x) function f (x) 0)।

परिभाषा २

कुछ अंतराल x पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) का सबसे छोटा मान मान minx y X y \u003d f (x 0) है, जो किसी भी मान x, X के लिए है, x 0 x 0 असमानता f (X f (x)) बनाता है च (x ०)।

ये परिभाषाएँ काफी हद तक स्पष्ट हैं। यह कहना और भी सरल है: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान x 0 पर ज्ञात अंतराल में उसका सबसे बड़ा मूल्य है, और सबसे छोटा x 0 पर समान अंतराल में सबसे छोटा स्वीकृत मान है।

परिभाषा ३

स्थिर बिंदु एक फ़ंक्शन के तर्क के मूल्य हैं, जिस पर इसका व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

हमें यह जानने की आवश्यकता है कि स्थिर बिंदु क्या हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, किसी को फ़र्मेट के प्रमेय को याद करना चाहिए। यह इस प्रकार है कि एक स्थिर बिंदु एक बिंदु है जिस पर विभेदक फ़ंक्शन का चरम स्थित है (यानी, इसका स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम)। नतीजतन, फ़ंक्शन कुछ अंतराल पर सबसे छोटे या सबसे बड़े मूल्य को स्थिर बिंदुओं में से एक पर ले जाएगा।

एक अन्य फ़ंक्शन उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ले सकता है, जिस पर फ़ंक्शन स्वयं निश्चित है, और इसका पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

इस विषय का अध्ययन करते समय पहला प्रश्न जो उठता है: सभी मामलों में, क्या हम किसी दिए गए सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान निर्धारित कर सकते हैं? नहीं, हम ऐसा नहीं कर सकते हैं जब किसी दिए गए अंतराल की सीमाएँ परिभाषा के डोमेन की सीमाओं के साथ मेल खाती हैं, या यदि हम एक अनंत अंतराल से निपट रहे हैं। ऐसा भी होता है कि किसी दिए गए सेगमेंट में या अनन्तता में एक फंक्शन असीम रूप से छोटे या असीम रूप से बड़े मान लेगा। इन मामलों में, उच्चतम और / या सबसे कम मूल्य निर्धारित करना संभव नहीं है।

रेखांकन पर दिखाए जाने के बाद ये बिंदु स्पष्ट हो जाएंगे:

पहला आंकड़ा हमें एक फ़ंक्शन दिखाता है जो खंड पर स्थित स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान (एम ए एक्स वाई और एम आई एन वाई) लेता है; 6]।

आइए हम दूसरे ग्राफ में इंगित मामले की विस्तार से जांच करते हैं। आइए खंड के मूल्य को बदलकर [1] करें; 6] और हम पाते हैं कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य एक बिंदु पर अंतराल की सही सीमा में एब्सिस्सा के साथ प्राप्त किया जाएगा, और सबसे छोटा - एक स्थिर बिंदु पर।

तीसरे आंकड़े में, बिंदुओं की अनुपस्थिति सेगमेंट की सीमा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है [- 3; 2]। वे दिए गए फ़ंक्शन के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों के अनुरूप हैं।

अब चौथे आंकड़े पर नजर डालते हैं। इसमें, कार्य खुले अंतराल पर स्थिर बिंदुओं पर x x (सबसे बड़ा मान) और m i n y (सबसे छोटा मान) लेता है (- 6; 6)।

यदि हम अंतराल लेते हैं [1; 6), तो हम कह सकते हैं कि इस पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा। हम उच्चतम मूल्य नहीं जान पाएंगे। यदि x \u003d 6 अंतराल का है, तो फ़ंक्शन 6 के बराबर x पर अपना सबसे बड़ा मूल्य ले सकता है। यह विशेष मामला ग्राफ 5 में दर्शाया गया है।

ग्राफ 6 पर, यह फ़ंक्शन अंतराल की दाहिनी सीमा में सबसे छोटा मान प्राप्त करता है (- 3; 2], और हम सबसे बड़े मूल्य के बारे में निश्चित निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं।

चित्र 7 में, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन में एक स्थिर बिंदु पर एक x y होगा जिसमें 1 के बराबर एक फरसाची है। फ़ंक्शन दाईं ओर अंतराल की सीमा पर अपने सबसे छोटे मूल्य तक पहुंच जाएगा। माइनस इनफिनिटी पर, फ़ंक्शन के मानों को समान रूप से y \u003d 3 तक पहुंचना होगा।

यदि हम अंतराल x; 2 लेते हैं; + +, फिर हम देखेंगे कि दिए गए फ़ंक्शन को न तो सबसे छोटा और न ही उस पर सबसे बड़ा मूल्य लगेगा। यदि x 2 पर जाता है, तो फ़ंक्शन का मान शून्य से अनंत हो जाएगा, क्योंकि सीधी रेखा x \u003d 2 ऊर्ध्वाधर असममित है। यदि एब्सिसा प्लस इन्फिनिटी के लिए जाता है, तो फ़ंक्शन के मूल्य एसिमोटोटिकली y \u003d 3 तक पहुंच जाएंगे। यह ऐसा मामला है जिसे चित्र 8 में दर्शाया गया है।

इस खंड में, हम एक निश्चित खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए क्रियाओं का एक क्रम देंगे।

1. सबसे पहले, चलिए फ़ंक्शन का डोमेन खोजें। आइए हम जांच करें कि क्या शर्त में निर्दिष्ट खंड इसमें शामिल है।
2. अब इस खंड में निहित बिंदुओं की गणना करते हैं, जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। ज्यादातर वे उन कार्यों में पाए जा सकते हैं जिनके तर्क को मापांक चिह्न के तहत, या बिजली के कार्यों में लिखा जाता है, जिसके प्रतिपादक एक भिन्नात्मक रूप से तर्कसंगत संख्या है।
3. इसके बाद, आइए जानें कि दिए गए सेगमेंट में कौन से स्थिर बिंदु आते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है, फिर इसे 0 के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें, और फिर उपयुक्त जड़ों को चुनें। यदि हमें कोई स्थिर बिंदु नहीं मिलता है या वे दिए गए सेगमेंट में नहीं आते हैं, तो हम अगले चरण पर जाते हैं।
4. हम निर्धारित करते हैं कि दिए गए स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन क्या मान लेगा (यदि कोई है), या उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई है), या हम x \u003d a और x \u003d b के लिए मानों की गणना करते हैं।
5. 5. हमें फ़ंक्शन मानों की एक श्रृंखला मिली, जिसमें से अब हमें सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करने की आवश्यकता है। ये फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य होंगे जो हमें खोजने की आवश्यकता है।

आइए देखें कि समस्याओं को हल करते समय इस एल्गोरिदम को सही तरीके से कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण 1

स्थिति: फ़ंक्शन y \u003d x 3 + 4 x 2 दिया गया है। खंडों पर इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य निर्धारित करें [1; 4] और [- 4; - १]।

फेसला:

आइए इस फ़ंक्शन के डोमेन को खोजने के द्वारा शुरू करें। इस स्थिति में, यह 0 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समूह होगा। दूसरे शब्दों में, डी (y): x words (- 0; 0) (0; + ∞। शर्त में निर्दिष्ट दोनों खंड परिभाषा क्षेत्र के अंदर होंगे।

अब हम भिन्न को अलग करने के नियम के अनुसार फलन की व्युत्पत्ति की गणना करते हैं:

y "\u003d x 3 + 4 x 2" \u003d x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 \u003d \u003d 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 \u003d x 3 - 8 x 3

हमने सीखा कि फ़ंक्शन के व्युत्पन्न सेगमेंट के सभी बिंदुओं पर मौजूद होंगे [1; 4] और [- 4; - १]।

अब हमें फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को परिभाषित करने की आवश्यकता है। हम इसे समीकरण x 3 - 8 x 3 \u003d 0 का उपयोग करके करते हैं। इसकी केवल एक वैध जड़ है, जो 2 है। यह फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु होगा और पहले सेगमेंट में आएगा [1; ४]।

हम पहले खंड के अंत में और दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं, अर्थात्। x \u003d 1, x \u003d 2 और x \u003d 4 के लिए:

y (1) \u003d 1 3 + 4 1 2 \u003d 5 y (2) \u003d 2 3 + 4 2 2 \u003d 3 y (4) \u003d 4 3 + 4 4 2 \u003d 4 1 4

हमने पाया है कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान m a x y x 1 [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3 x \u003d 1 पर प्राप्त किया जाएगा, और सबसे कम मी i n y x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3 - x \u003d 2 के लिए।

दूसरे खंड में कोई स्थिर बिंदु शामिल नहीं है, इसलिए हमें दिए गए खंडों के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है:

y (- 1) \u003d (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 \u003d 3

इसलिए, मी ए एक्स वाई एक्स ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 1) \u003d 3, m i n y x - [- 4; - 1] \u003d y (- 4) \u003d - 3 3 4।

उत्तर:खंड के लिए [1; 4] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3, m i n y x 1 [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3, सेगमेंट के लिए [- 4; - 1] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [- 4; - 1] \u003d y (- 1) \u003d 3, m i n y x - [- 4; - 1] \u003d y (- 4) \u003d - 3 3 4।

तस्वीर देखो:

इस पद्धति का अध्ययन करने से पहले, हम आपको दोहराने की सलाह देते हैं कि एक तरफा सीमा और अनन्तता पर सीमा की सही गणना कैसे करें, साथ ही उन्हें खोजने के लिए बुनियादी तरीकों को जानें। किसी खुले या अनंत अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और / या सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए, निम्न चरणों को क्रम से करें।

1. सबसे पहले, आपको यह जांचने की आवश्यकता है कि निर्दिष्ट अंतराल इस फ़ंक्शन के दायरे का सबसेट होगा या नहीं।
2. आइए उन सभी बिंदुओं को निर्धारित करें जो आवश्यक अंतराल में निहित हैं और जिसमें पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। वे आमतौर पर उन कार्यों में पाए जाते हैं जहां तर्क मापांक चिह्न में संलग्न होता है, और विद्युत कार्यों में आंशिक रूप से तर्कसंगत घातांक होता है। यदि ये बिंदु गायब हैं, तो आप अगले चरण पर आगे बढ़ सकते हैं।
3. अब हम यह निर्धारित करेंगे कि दिए गए अंतराल में कौन से स्थिर बिंदु आते हैं। सबसे पहले, हम व्युत्पन्न को 0 से बराबर करते हैं, समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त जड़ें पाते हैं। यदि हमारे पास एक भी स्थिर बिंदु नहीं है या वे निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं आते हैं, तो हम तुरंत आगे की कार्रवाई के लिए आगे बढ़ते हैं। वे अंतराल के प्रकार से निर्धारित होते हैं।

• यदि अंतराल [ए; ख), तो हमें बिंदु x \u003d a और एक तरफा सीमा x x + b - 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल के पास फॉर्म (ए; बी) है, तो हमें बिंदु x \u003d b और एक तरफा सीमा लिम x → a + 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल में फॉर्म (ए; बी) है, तो हमें एक्स-बी - 0 एफ (एक्स), लिम एक्स → ए + 0 एफ (एक्स) की एकतरफा सीमा की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल फॉर्म का है [a; + +), तब बिंदु x पर मूल्य की गणना करना आवश्यक है \u003d a और प्लस इनफिनिटी लिम x → + → f (x) पर सीमा।
• यदि अंतराल (- inter; बी] की तरह दिखता है, तो बिंदु x \u003d b पर मान की गणना करें और ऋण अनंत सीमा x → - (f (x) पर सीमा।
• यदि - ∞; b, तो हम मान लेते हैं कि एक तरफा सीमा लिम x → b - 0 f (x) और माइनस इनफिनिटी लिम x → lim f (x) की सीमा
• यदि - ∞; + +, तब हम माइनस और प्लस इनफिनिटी लिम x → + (f (x), लिम x → - → f (x) की सीमा पर विचार करते हैं।

1. अंत में, आपको प्राप्त फ़ंक्शन मानों और सीमाओं के आधार पर निष्कर्ष निकालना होगा। यहां बहुत संभावनाएं हैं। इसलिए, यदि एक तरफा सीमा माइनस इनफिनिटी या प्लस इन्फिनिटी के बराबर है, तो यह तुरंत स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्य के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है। नीचे हम एक विशिष्ट उदाहरण का विश्लेषण करेंगे। विस्तृत विवरण आपको यह समझने में मदद करेंगे कि क्या है। यदि आवश्यक हो, तो आप सामग्री के पहले भाग में आंकड़े 4 - 8 पर लौट सकते हैं।

उदाहरण 2

शर्त: एक फ़ंक्शन y \u003d 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 दिया गया। अंतराल में इसके उच्चतम और निम्नतम मूल्यों की गणना करें - lowest; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + +, [4; + ∞)।

फेसला

पहला चरण फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढना है। अंश के हर में एक वर्ग ट्रिनोमियल होता है, जिसे गायब नहीं होना चाहिए:

x 2 + x - 6 \u003d 0 D \u003d 1 2 - 4 1 (- 6) \u003d 25 x 1 \u003d - 1 - 5 2 \u003d - 3 x 2 \u003d - 1 + 5 2 \u003d 2 ⇒ D (y): x x (- ∞; - 3) - (- 3; 2) 2 (2; + ∞);

हमें फ़ंक्शन का डोमेन मिला है, जिसमें शर्त में निर्दिष्ट सभी अंतराल हैं।

अब चलो फंक्शन को अलग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

y "\u003d 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" \u003d 3 e 1 x 2 + x - 6 "\u003d 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" \u003d 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "· x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 \u003d - 3 · (2 \u200b\u200bx + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

नतीजतन, फ़ंक्शन का डेरिवेटिव इसकी परिभाषा के पूरे डोमेन पर मौजूद है।

चलो स्थिर बिंदुओं को खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न x \u003d - 1 2 पर गायब हो जाता है। यह अंतराल में स्थित एक स्थिर बिंदु है (- 3; 1] और (- 3; 2)।

हम अंतराल के लिए x \u003d - 4 पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करते हैं (- -; - 4], साथ ही साथ माइनस इनफिनिटी पर सीमा:

y (- 4) \u003d 3 ई 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 ई 1 6 - 4 - - 0। 456 लिम x → - e 3 e 1 x 2 + x - 6 \u003d 3 e 0 - 4 \u003d - 1

3 ई 1 6 6 - 4\u003e - 1 के बाद से, इसका मतलब है कि मैक्सिमेक्स - (- 1; - 4] \u003d y (- 4) \u003d 3 ई 1 6 - 4. यह हमें फ़ंक्शन के सबसे छोटे मूल्य को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति नहीं देता है। हम केवल यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि नीचे कोई सीमा है - 1 नीचे, क्योंकि फ़ंक्शन इस मान को न्यूनतम रूप से अनन्तता पर पहुंचाता है।

दूसरे अंतराल की एक विशेषता यह है कि इसमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं है और एक भी सख्त सीमा नहीं है। इसलिए, हम फ़ंक्शन के सबसे बड़े या सबसे छोटे मान की गणना नहीं कर सकते हैं। माइनस इनफिनिटी में सीमा निर्धारित करने और तर्क के अनुसार - 3 बाईं ओर, हमें केवल मानों की श्रेणी मिलेगी:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 \u003d 3 e 1 (- 3 - 0) + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 e 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 e + + - 4 \u003d + x लिम x → - e 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d 3 ई ० - ४ \u003d - १

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन के मान अंतराल में स्थित होंगे - 1; + ∞

तीसरे अंतराल में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करने के लिए, स्थिर बिंदु x \u003d - 1 2 पर इसका मान निर्धारित करें, यदि x \u003d 1। हमें उस मामले के लिए एकतरफा सीमा जानने की जरूरत है जब तर्क दायीं ओर - 3 पर जाता है:

y - 1 2 \u003d 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 e 4 25 - 4। - 1। 444 y (1) \u003d 3 ई 1 1 2 + 1 - 6 - 4 1 - 1। 644 लिम x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d लिम x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 ई 1 (- 0) - 4 \u003d 3 ई - + - 4 \u003d 3 0 - 4 \u003d - 4

हमने पाया है कि फ़ंक्शन स्थिर बिंदु पर सबसे अधिक मूल्य लेगा अधिकतम बिंदु that (3; 1] \u003d y - 1 2 \u003d 3 e - 4 25 - 4. सबसे छोटे मूल्य के लिए, हम इसे निर्धारित नहीं कर सकते हैं। , नीचे से 4 - एक प्रतिबंध की उपस्थिति है।

अंतराल (- 3; 2) के लिए, हम पिछली गणना के परिणामों को लेते हैं और फिर से गणना करते हैं कि बाईं ओर 2 के लिए झुकाव की सीमा क्या है।

y - 1 2 \u003d 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 e - 4 25 - 4। - 1। 444 लिम x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 e 1 - 0 - 4 \u003d 3 e - (- 4 \u003d 3 0 - 4 \u003d - 4

इसलिए, m a x y x ∈ (- 3; 2) \u003d y - 1 2 \u003d 3 e - 4 25 - 4, और सबसे छोटा मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है, और फ़ंक्शन के मान नीचे से संख्या - 4 से बंधे हैं।

पिछले दो गणनाओं में हमें जो मिला है, उसके आधार पर हम कह सकते हैं कि अंतराल [1] पर; 2) फ़ंक्शन x \u003d 1 पर सबसे बड़ा मान लेगा, और सबसे छोटा खोजना असंभव है।

अंतराल (2; + ∞) पर, फ़ंक्शन न तो सबसे बड़े और न ही सबसे छोटे मूल्य तक पहुंच जाएगा, अर्थात। यह अंतराल से मान लेगा - 1; + ∞।

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 e 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 e 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 e + ∞ - 4 \u003d + \u003d लिम x → + e 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d 3 e 0 - 4 \u003d - 1

X \u003d 4 के लिए फ़ंक्शन का मान क्या होगा, इसकी गणना करने पर, हमें पता चलता है कि m a x y x ∈ [4; + 1) \u003d y (4) \u003d 3 e 1 14 - 4, और प्लस इनफिनिटी पर दिया गया फंक्शन असमान रूप से लाइन y \u003d - 1 को अप्रोच करेगा।

आइए तुलना करें कि हमें दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ के साथ प्रत्येक गणना में क्या मिला है। आकृति में, असममित को एक बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है।

यही सब हम आपको सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मान खोजने के बारे में बताना चाहते थे। हमारे द्वारा दिए गए कार्यों के अनुक्रम आपको आवश्यक गणनाओं को जल्दी और आसानी से संभव बनाने में मदद करेंगे। लेकिन याद रखें कि अक्सर यह पता लगाना उपयोगी होता है कि किस अंतराल में कार्य घटेगा और किस अंतराल में यह बढ़ेगा, जिसके बाद आप आगे के निष्कर्ष निकाल सकते हैं। इस प्रकार, आप फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य को अधिक सटीक रूप से निर्धारित कर सकते हैं और परिणामों को सही ठहरा सकते हैं।

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गणित में परीक्षा से कार्य B14 में, आपको एक चर के फ़ंक्शन का सबसे छोटा या सबसे बड़ा मान खोजने की आवश्यकता है। यह गणितीय विश्लेषण से एक काफी तुच्छ समस्या है, और यह इस कारण से है कि प्रत्येक हाई स्कूल स्नातक को सामान्य रूप से हल करना सीखना चाहिए। आइए हम कई उदाहरणों की जांच करें कि स्कूली बच्चों ने गणित में नैदानिक \u200b\u200bकार्य के दौरान हल किया, जो 7 दिसंबर 2011 को मॉस्को में हुआ था।

अंतराल पर निर्भर करता है, जिस पर आप फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान प्राप्त करना चाहते हैं, इस समस्या को हल करने के लिए निम्न मानक एल्गोरिदम में से एक का उपयोग किया जाता है।

I. किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिथम:

• फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
• एक अतिसूक्ष्म के संदिग्ध बिंदुओं में से चुनें, जो कि दिए गए सेगमेंट और फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं।
• मूल्यों की गणना करें कार्यों (व्युत्पन्न नहीं!) इन बिंदुओं पर।
• प्राप्त मूल्यों में से सबसे बड़ा या सबसे छोटा चुनें, यह वांछित होगा।

उदाहरण 1। सबसे छोटा फ़ंक्शन मान ज्ञात करें
y = एक्स 3 – 18एक्स 2 + 81एक्स + 23 खंड पर।

फेसला:हम किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं:

• फ़ंक्शन का दायरा सीमित नहीं है: डी (y) = आर
• फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है: y ' = 3एक्स 2 – 36एक्स + 81. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा का डोमेन भी सीमित नहीं है: D (y ') = आर
• व्युत्पन्न शून्य: y ' = 3एक्स 2 – 36एक्स + 81 \u003d 0, इसलिए एक्स 2 – 12एक्स + 27 \u003d 0, जहाँ एक्स \u003d 3 और एक्स \u003d 9, हमारे अंतराल में केवल शामिल हैं एक्स \u003d 9 (एक चरम सीमा का एक बिंदु)।
• एक चरम सीमा के संदिग्ध बिंदु पर और अंतराल के किनारों पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें। गणना की सुविधा के लिए, हम निम्न कार्य करते हैं: y = एक्स 3 – 18एक्स 2 + 81एक्स + 23 = एक्स(एक्स-9) 2 +23:
  • y(() \u003d; ()- ९) २: १३ \u003d ३१;
  • y(9) \u003d 9 (9-9) 2 13: \u003d 23;
  • y(13) \u003d 13 (13-9) 2 13: \u003d 231।

तो, प्राप्त मूल्यों में, सबसे छोटा 23 है। उत्तर: 23

द्वितीय। सबसे बड़ा या सबसे छोटा फ़ंक्शन मान खोजने के लिए एल्गोरिथम:

• फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें।
• फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
• एक एक्सट्रीम के संदिग्ध बिंदुओं को निर्धारित करें (वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है, और उन बिंदुओं पर जो दो तरफा परिमित व्युत्पन्न नहीं है)।
• इन बिंदुओं और फ़ंक्शन के डोमेन को संख्या रेखा पर चिह्नित करें और संकेत निर्धारित करें यौगिक (कार्य नहीं!) परिणामी अंतराल पर।
• मूल्यों को परिभाषित करें कार्यों (नहीं व्युत्पन्न!) न्यूनतम के बिंदुओं पर (वे बिंदु जिन पर ऋणात्मक से प्लस में व्युत्पन्न परिवर्तन का संकेत है), इन मूल्यों में से सबसे छोटा फ़ंक्शन का सबसे छोटा मूल्य होगा। यदि कोई न्यूनतम अंक नहीं हैं, तो फ़ंक्शन का कोई न्यूनतम मूल्य नहीं है।
• मूल्यों को परिभाषित करें कार्यों (व्युत्पन्न नहीं!) अधिकतम बिंदुओं पर (वे बिंदु जिन पर प्लस से माइनस में व्युत्पन्न परिवर्तन के संकेत हैं), इनमें से सबसे बड़ा मान फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य होगा। यदि अधिकतम अंक नहीं हैं, तो फ़ंक्शन का अधिकतम मूल्य नहीं है।

उदाहरण 2। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें।

इस सेवा के साथ आप कर सकते हैं सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मान ज्ञात करें वर्ड में समाधान के डिजाइन के साथ एक चर एफ (एक्स)। यदि फ़ंक्शन f (x, y) दिया गया है, इसलिए, दो चर के फ़ंक्शन के चरम को खोजना आवश्यक है। आप फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल को भी पा सकते हैं।

प्रवेश के नियम:

एक चर के एक समारोह के चरम के लिए एक आवश्यक शर्त

समीकरण f "0 (x *) \u003d 0 एक चर के एक फ़ंक्शन के चरम के लिए एक आवश्यक शर्त है, यानी बिंदु x पर * फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाना चाहिए। यह स्थिर बिंदु x c का चयन करता है, जिसके कारण फ़ंक्शन में वृद्धि या कमी नहीं होती है। ...

एक चर के एक समारोह के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति

सेट 0 से संबंधित x के संबंध में f 0 (x) को दो बार भिन्न माना जा सकता है। यदि बिंदु x * पर स्थिति संतुष्ट है:

एफ "0 (एक्स *) \u003d 0
f "" 0 (x *)\u003e 0

बिंदु x * स्थानीय (वैश्विक) फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

यदि बिंदु x * पर स्थिति संतुष्ट है:

एफ "0 (एक्स *) \u003d 0
f "" 0 (x *)< 0

फिर बिंदु x * स्थानीय (वैश्विक) अधिकतम है।

उदाहरण 1। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें: खंड पर।
फेसला।

एक महत्वपूर्ण बिंदु x 1 \u003d 2 (f '(x) \u003d 0)। यह बिंदु लाइन सेगमेंट का है। (बिंदु x \u003d 0 महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि 0।)।
हम खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं।
f (1) \u003d 9, f (2) \u003d 5/2, f (3) \u003d 3 8/81
उत्तर: f \u003d 5/2 x \u003d 2 पर; f अधिकतम \u003d 9 x \u003d 1 पर

उदाहरण # 2। उच्च आदेशों के डेरिवेटिव का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन y \u003d x-2sin (x) के चरम को ढूंढें।
फेसला।
फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं: y '\u003d 1-2cos (x)। महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: 1-cos (x) \u003d 2, cos (x) \u003d x, x \u003d ± 1/3 + 2πk, k∈Z। हम y '' \u003d 2sin (x) की गणना करते हैं, इसलिए x \u003d 3/3 + 2πk, k minimumZ फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु हैं; , इसलिए x \u003d - + / 3 + 2 xk, k areZ फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु हैं।

उदाहरण संख्या 3। बिंदु x \u003d 0 के आसपास के क्षेत्र में समारोह के चरम का अन्वेषण करें।
फेसला। यहां आपको फ़ंक्शन की एक्स्ट्रेमा खोजने की आवश्यकता है। यदि एक्सटम एक्स \u003d 0 है, तो इसके प्रकार (न्यूनतम या अधिकतम) का पता लगाएं। यदि पाया बिंदुओं के बीच कोई x \u003d 0 नहीं है, तो फ़ंक्शन f (x \u003d 0) के मान की गणना करें।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब किसी दिए गए बिंदु के प्रत्येक पक्ष पर व्युत्पन्न अपने संकेत को नहीं बदलता है, तो संभावित स्थितियों को अलग-अलग कार्यों के लिए भी समाप्त नहीं किया जाता है: ऐसा हो सकता है कि बिंदु x 0 के एक तरफ एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस के लिए या दोनों पक्षों में व्युत्पन्न परिवर्तन हो। संकेत। इन बिंदुओं पर, किसी को एक्सट्रीम के कार्यों का अध्ययन करने के लिए अन्य तरीकों को लागू करना पड़ता है।

उदाहरण संख्या 4। संख्या 49 को दो शब्दों में विभाजित करें, जिनमें से उत्पाद सबसे बड़ा होगा।
फेसला। पहले शब्द के रूप में x को निरूपित करते हैं। तब (49-x) दूसरा शब्द है।
उत्पाद अधिकतम होगा: x (49-x) → अधिकतम