आर्कसिन एक्स प्लॉट। उलटा त्रिकोणमितीय कार्य

परिभाषा और अंकन

आर्कसिन (y = आर्कसिन x) ज्या का प्रतिलोम फलन है (x = पापी -1 एक्स ≤ 1और मूल्यों का सेट -π /2 y /2.
पाप (आर्कसिन x) = x ;
आर्कसिन (पाप x) = x .

आर्क्सिन को कभी-कभी कहा जाता है:
.

आर्क्सिन फ़ंक्शन का ग्राफ

फलन का ग्राफ y = आर्कसिन x

एब्सिस्सा और कोर्डिनेट एक्सिस को इंटरचेंज करके साइन प्लॉट से आर्क्सिन प्लॉट प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मानों की सीमा उस अंतराल तक सीमित होती है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक होता है। इस परिभाषा को आर्क्साइन का मुख्य मान कहा जाता है।

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

परिभाषा और अंकन

चाप कोसाइन (y = आर्ककोस x) कोज्या का व्युत्क्रम है (x = क्योंकि आप) इसका दायरा है -1 एक्स ≤ 1और कई मूल्य 0 y.
cos(arccos x) = x ;
आर्ककोस (cos x) = x .

आर्ककोसाइन को कभी-कभी कहा जाता है:
.

आर्ककोसाइन फलन का ग्राफ

फलन का ग्राफ y = आर्ककोस x

आर्ककोसाइन प्लॉट कोसाइन प्लॉट से एब्सिस्सा और कोर्डिनेट एक्सिस को इंटरचेंज करके प्राप्त किया जाता है। अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, मानों की सीमा उस अंतराल तक सीमित होती है जिस पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक होता है। इस परिभाषा को चाप कोसाइन का मुख्य मान कहा जाता है।

समानता

आर्क्सिन फ़ंक्शन विषम है:
आर्कसिन (-x) = आर्क्सिन (-सिन आर्क्सिन x) = आर्कसिन (पाप (-आर्कसिन एक्स)) = - आर्क्सिन x

आर्ककोसाइन फ़ंक्शन सम या विषम नहीं है:
आर्ककोस (-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - आर्ककोस x ± आर्ककोस x

गुण - चरम, वृद्धि, कमी

आर्क्साइन और आर्ककोसाइन फलन उनकी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर होते हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। आर्क्साइन और आर्ककोसाइन के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

	वाई = आर्कसिन x	वाई = आर्ककोस x
दायरा और निरंतरता	- 1 एक्स 1	- 1 एक्स 1
मूल्यों की श्रृंखला
चढ़ते क्रम में उतरते क्रम में	एकरसता से बढ़ता है	नीरस रूप से घटता है
अधिकतम
चढ़ाव
शून्य, y= 0	एक्स = 0	एक्स = 1
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	वाई = 0	वाई = / 2

आर्क्साइन और आर्ककोसाइन की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए, डिग्री और रेडियन में, आर्क्साइन और आर्ककोसाइन के मूल्यों को दिखाती है।

एक्स	आर्कसिन x		आर्ककोस x
	डिग्री	प्रसन्न।	डिग्री	प्रसन्न।
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

सूत्रों

यह सभी देखें: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति

योग और अंतर सूत्र

or . पर

पर और

पर और

or . पर

पर और

पर और

पर

पर

पर

पर

लघुगणक, सम्मिश्र संख्याओं के रूप में व्यंजक

यह सभी देखें: सूत्रों की व्युत्पत्ति

अतिपरवलयिक कार्यों के संदर्भ में व्यंजक

संजात

;
.
आर्क्साइन और आर्ककोसाइन डेरिवेटिव्स की व्युत्पत्ति देखें > > >

उच्च आदेशों के डेरिवेटिव:
,
जहां डिग्री का बहुपद है। यह सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
;
.

आर्क्साइन और आर्ककोसाइन के उच्च कोटि के व्युत्पन्नों की व्युत्पत्ति देखें > > >

अभिन्न

हम एक प्रतिस्थापन करते हैं x = पाप करने के लिए. हम भागों द्वारा एकीकृत करते हैं, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि -π/ 2 टी ≤ /2, क्योंकि टी ≥ 0:
.

हम आर्ककोसाइन को आर्क्साइन के रूप में व्यक्त करते हैं:
.

श्रृंखला में विस्तार

|x| . के लिए< 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:
;
.

उलटा कार्य

आर्क्साइन और आर्ककोसाइन के व्युत्क्रम क्रमशः साइन और कोसाइन हैं।

निम्नलिखित सूत्र परिभाषा के पूरे क्षेत्र में मान्य हैं:
पाप (आर्कसिन x) = x
cos(arccos x) = x .

निम्नलिखित सूत्र केवल आर्क्साइन और आर्ककोसाइन के मानों के समुच्चय पर मान्य हैं:
आर्कसिन (पाप x) = xपर
आर्ककोस (cos x) = xपर ।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

यह सभी देखें:

sin, cos, tg, और ctg फ़ंक्शंस हमेशा एक आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट के साथ होते हैं। एक दूसरे का परिणाम है, और त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए कार्यों के जोड़े समान रूप से महत्वपूर्ण हैं।

एक यूनिट सर्कल के ड्राइंग पर विचार करें, जो ग्राफिक रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को प्रदर्शित करता है।

यदि आप चाप OA, चाप OC, चाप DE और चाप MK की गणना करते हैं, तो वे सभी कोण α के मान के बराबर होंगे। नीचे दिए गए सूत्र मुख्य त्रिकोणमितीय फलनों और उनके संगत चापों के बीच संबंध दर्शाते हैं।

आर्क्सिन के गुणों के बारे में अधिक समझने के लिए, इसके कार्य पर विचार करना आवश्यक है। अनुसूची निर्देशांक के केंद्र से गुजरने वाले एक असममित वक्र का रूप है।

आर्कसिन गुण:

अगर हम रेखांकन की तुलना करते हैं पापतथा चाप पाप, दो त्रिकोणमितीय फलन सामान्य पैटर्न ढूंढ सकते हैं।

चाप कोसाइन

संख्या a का चाप कोण α का मान है, जिसकी कोज्या a के बराबर है।

वक्र y = आर्कोस xआर्क्सिन एक्स के प्लॉट को प्रतिबिंबित करता है, केवल अंतर यह है कि यह ओए अक्ष पर बिंदु π/2 से गुजरता है।

आर्ककोसाइन फ़ंक्शन पर अधिक विस्तार से विचार करें:

1. फ़ंक्शन को खंड [-1; पर परिभाषित किया गया है; एक]।
2. आर्ककोस के लिए ODZ - .
3. ग्राफ़ पूरी तरह से I और II क्वार्टर में स्थित है, और फ़ंक्शन स्वयं न तो सम और न ही विषम है।
4. वाई = 0 x = 1 के लिए।
5. वक्र अपनी पूरी लंबाई के साथ घटता जाता है। चाप कोज्या के कुछ गुण कोज्या फलन के समान हैं।

चाप कोज्या के कुछ गुण कोज्या फलन के समान हैं।

यह संभव है कि "मेहराब" का ऐसा "विस्तृत" अध्ययन स्कूली बच्चों के लिए अतिश्योक्तिपूर्ण होगा। हालाँकि, अन्यथा, कुछ प्राथमिक विशिष्ट USE कार्य छात्रों को एक मृत अंत तक ले जा सकते हैं।

अभ्यास 1।चित्र में दिखाए गए कार्यों को निर्दिष्ट करें।

उत्तर:चावल। 1 - 4, अंजीर। 2 - 1।

इस उदाहरण में, छोटी चीज़ों पर ज़ोर दिया गया है। आमतौर पर, छात्र रेखांकन के निर्माण और कार्यों की उपस्थिति के प्रति बहुत असावधान होते हैं। दरअसल, वक्र के रूप को याद क्यों करें, अगर इसे हमेशा गणना किए गए बिंदुओं से बनाया जा सकता है। यह मत भूलो कि परीक्षण की स्थिति में, अधिक जटिल कार्यों को हल करने के लिए एक साधारण कार्य के लिए ड्राइंग पर लगने वाले समय की आवश्यकता होगी।

आर्कटिक

आर्कटिकसंख्या a, कोण α का ऐसा मान है कि इसकी स्पर्श रेखा a के बराबर होती है।

यदि हम चाप स्पर्शरेखा के भूखंड पर विचार करते हैं, तो हम निम्नलिखित गुणों में अंतर कर सकते हैं:

1. ग्राफ अनंत है और अंतराल (- ; + ∞) पर परिभाषित है।
2. आर्कटैंगेंट एक विषम फलन है, इसलिए, आर्कटैन (- x) = - आर्कटैन x।
3. वाई = 0 x = 0 के लिए।
4. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में वक्र बढ़ता है।

आइए एक तालिका के रूप में tg x और arctg x का संक्षिप्त तुलनात्मक विश्लेषण दें।

चाप स्पर्शरेखा

संख्या a का चाप - अंतराल (0; ) से α का ऐसा मान लेता है कि इसका कोटैंजेंट a के बराबर होता है।

चाप कोटेंगेंट फ़ंक्शन के गुण:

1. फ़ंक्शन परिभाषा अंतराल अनंत है।
2. स्वीकार्य मूल्यों की सीमा अंतराल (0; ) है।
3. F(x) न तो सम है और न ही विषम।
4. इसकी पूरी लंबाई के दौरान, फ़ंक्शन का ग्राफ़ कम हो जाता है।

सीटीजी एक्स और आर्कटजी एक्स की तुलना करना बहुत आसान है, आपको केवल दो चित्र बनाने और वक्रों के व्यवहार का वर्णन करने की आवश्यकता है।

कार्य 2.ग्राफ और फ़ंक्शन के रूप को सहसंबंधित करें।

तार्किक रूप से, रेखांकन दिखाते हैं कि दोनों कार्य बढ़ रहे हैं। इसलिए, दोनों आंकड़े कुछ आर्कटीजी फ़ंक्शन प्रदर्शित करते हैं। चाप स्पर्शरेखा के गुणों से ज्ञात होता है कि x = 0 के लिए y=0,

उत्तर:चावल। 1 - 1, अंजीर। 2-4.

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ आर्कसिन, आर्कोस, आर्कटग और आर्कसीटीजी

पहले, हम पहले ही मेहराब और त्रिकोणमिति के मुख्य कार्यों के बीच संबंध की पहचान कर चुके हैं। इस निर्भरता को कई फ़ार्मुलों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जो व्यक्त करने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, इसके आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, या इसके विपरीत के माध्यम से एक तर्क की ज्या। विशिष्ट उदाहरणों को हल करने में ऐसी सर्वसमिकाओं का ज्ञान उपयोगी हो सकता है।

Arctg और arcctg के लिए भी अनुपात हैं:

सूत्रों की एक और उपयोगी जोड़ी एक ही कोण के आर्क्सिन और आर्कोस और आर्कक्टग और आर्कक्टग मानों के योग के लिए मान निर्धारित करती है।

समस्या समाधान के उदाहरण

त्रिकोणमिति कार्यों को सशर्त रूप से चार समूहों में विभाजित किया जा सकता है: किसी विशेष अभिव्यक्ति के संख्यात्मक मान की गणना करें, किसी दिए गए फ़ंक्शन को प्लॉट करें, इसकी परिभाषा या ODZ का डोमेन खोजें, और उदाहरण को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक परिवर्तन करें।

पहले प्रकार के कार्यों को हल करते समय, निम्नलिखित कार्य योजना का पालन करना आवश्यक है:

कार्यों के रेखांकन के साथ काम करते समय, मुख्य बात उनके गुणों और वक्र की उपस्थिति का ज्ञान है। त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए सर्वसमिका तालिकाओं की आवश्यकता होती है। विद्यार्थी जितने अधिक सूत्र याद करेगा, कार्य का उत्तर खोजना उतना ही आसान होगा।

मान लीजिए परीक्षा में इस प्रकार के समीकरण का उत्तर खोजना आवश्यक है:

यदि आप अभिव्यक्ति को सही ढंग से रूपांतरित करते हैं और उसे वांछित रूप में लाते हैं, तो इसे हल करना बहुत सरल और तेज़ है। सबसे पहले, आइए आर्क्सिन x को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं।

अगर हमें सूत्र याद है आर्कसिन (sinα) = α, तो हम दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए उत्तरों की खोज को कम कर सकते हैं:

मॉडल x पर बाधा उत्पन्न हुई, फिर से आर्क्सिन के गुणों से: ODZ x [-1; एक]। जब एक 0, प्रणाली का हिस्सा x1 = 1 और x2 = - 1/a जड़ों के साथ एक द्विघात समीकरण है। ए = 0 के साथ, एक्स 1 के बराबर होगा।

(गोलाकार कार्य, चाप कार्य) - गणितीय कार्य जो त्रिकोणमितीय कार्यों के विपरीत होते हैं।

चाप कोसाइन, cos का प्रतिलोम फलन (x = cos y), वाई =आर्ककोस एक्सके लिए परिभाषित किया गया है और इसमें मूल्यों का एक सेट है। दूसरे शब्दों में, कोण को उसके मान से लौटाता है क्योंकि.

चाप कोसाइन(प्रतीक: आर्ककोस x; आर्ककोस xवह कोण है जिसकी कोज्या के बराबर है एक्सआदि)।

समारोह y = क्योंकि xनिरंतर और इसकी पूरी संख्या रेखा के साथ घिरा हुआ है। समारोह y = आर्ककोस xसख्ती कम हो रही है।

आर्क्सिन फ़ंक्शन के गुण।

आर्ककोस फ़ंक्शन प्राप्त करना।

एक समारोह दिया y = क्योंकि x. यह परिभाषा के अपने पूरे डोमेन पर टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक है, और इसलिए व्युत्क्रम पत्राचार y = आर्ककोस xएक समारोह नहीं है। इसलिए, हम उस खंड पर विचार करेंगे जिस पर यह सख्ती से घटता है और इसके सभी मूल्यों को ग्रहण करता है - . इस खंड पर y = क्योंकि xसख्ती से नीरस रूप से घटता है और इसके सभी मूल्यों को केवल एक बार लेता है, जिसका अर्थ है कि अंतराल पर एक उलटा कार्य होता है y = आर्ककोस x, जिसका ग्राफ ग्राफ के सममित है y = क्योंकि xएक रेखा खंड पर वाई = एक्स.

उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित कार्य अक्सर स्कूल की अंतिम परीक्षाओं और कुछ विश्वविद्यालयों में प्रवेश परीक्षाओं में पेश किए जाते हैं। इस विषय का विस्तृत अध्ययन केवल पाठ्येतर कक्षाओं या वैकल्पिक पाठ्यक्रमों में ही प्राप्त किया जा सकता है। प्रस्तावित पाठ्यक्रम को प्रत्येक छात्र की क्षमताओं को यथासंभव पूर्ण रूप से विकसित करने, उसके गणितीय प्रशिक्षण में सुधार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

पाठ्यक्रम 10 घंटे के लिए डिज़ाइन किया गया है:

1. आर्क्सिन एक्स, आर्ककोस एक्स, आर्कटजी एक्स, आर्कसीटीजी एक्स (4 घंटे) के कार्य।

2. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों (4 घंटे) पर संचालन।

3. त्रिकोणमितीय कार्यों (2 घंटे) पर उलटा त्रिकोणमितीय संचालन।

पाठ 1 (2 घंटे) विषय: फलन y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x।

उद्देश्य: इस मुद्दे का पूर्ण कवरेज।

1. फ़ंक्शन y \u003d आर्क्सिन x।

a) खंड पर फ़ंक्शन y \u003d sin x के लिए, एक व्युत्क्रम (एकल-मूल्यवान) फ़ंक्शन है, जिसे हम आर्क्सिन को कॉल करने और निम्नानुसार निरूपित करने के लिए सहमत हुए हैं: y \u003d आर्क्सिन x। प्रतिलोम फलन का ग्राफ, I - III निर्देशांक कोणों के द्विभाजक के संबंध में मुख्य फलन के ग्राफ के साथ सममित होता है।

फलन गुण y = आर्क्सिन x ।

1) परिभाषा का दायरा: खंड [-1; एक];

2) परिवर्तन का क्षेत्र: कट;

3) फलन y = आर्क्सिन x विषम: आर्क्सिन (-x) = - आर्क्सिन x;

4) फलन y = आर्क्सिन x नीरस रूप से बढ़ रहा है;

5) ग्राफ मूल पर ऑक्स, ओए अक्ष को पार करता है।

उदाहरण 1. a = आर्क्सिन ज्ञात कीजिए। इस उदाहरण को विस्तार से निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: ऐसा तर्क खोजें a , जो से की सीमा में पड़ा हो, जिसकी ज्या के बराबर हो।

समाधान। ऐसे अनगिनत तर्क हैं जिनकी ज्या है, उदाहरण के लिए: आदि। लेकिन हम केवल उस तर्क में रुचि रखते हैं जो अंतराल पर है। यह तर्क होगा। इसलिए, ।

उदाहरण 2. खोजें .समाधान।उदाहरण 1 की तरह ही तर्क करने पर हमें प्राप्त होता है .

बी) मौखिक व्यायाम। खोजें: आर्क्सिन 1, आर्क्सिन (-1), आर्क्सिन, आर्क्सिन (), आर्क्सिन, आर्क्सिन (), आर्क्सिन, आर्क्सिन (), आर्क्सिन 0 नमूना उत्तर: , चूंकि . क्या भाव समझ में आते हैं: ; आर्क्सिन 1.5; ?

ग) आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: आर्क्सिन, आर्कसिन (-0.3), आर्क्सिन 0.9।

द्वितीय. फलन y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (इसी प्रकार)।

पाठ 2 (2 घंटे) विषय: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, उनके रेखांकन।

उद्देश्य: इस पाठ में डी (वाई), ई (वाई) और आवश्यक परिवर्तनों का उपयोग करके उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों की साजिश रचने में, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को निर्धारित करने में कौशल विकसित करना आवश्यक है।

इस पाठ में, ऐसे अभ्यास करें जिनमें परिभाषा का क्षेत्र, प्रकार के कार्यों का दायरा शामिल है: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos ।

कार्यों के ग्राफ बनाना आवश्यक है: ए) वाई = आर्क्सिन 2x; बी) वाई = 2 चाप 2x; सी) वाई \u003d आर्कसिन;

डी) वाई \u003d आर्कसिन; ई) वाई = आर्क्सिन; च) y = आर्क्सिन; जी) वाई = | आर्क्सिन | .

उदाहरण।आइए प्लॉट करें y = arccos

आप अपने गृहकार्य में निम्नलिखित अभ्यास शामिल कर सकते हैं: कार्यों के रेखांकन बनाएँ: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | एक्स | .

व्युत्क्रम कार्यों के रेखांकन

पाठ #3 (2 घंटे) विषय:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों पर संचालन।

उद्देश्य: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए बुनियादी संबंधों को पेश करके गणितीय ज्ञान का विस्तार करना (गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं के साथ आवेदकों के लिए यह महत्वपूर्ण है)।

पाठ सामग्री।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों पर कुछ सरल त्रिकोणमितीय संक्रियाएँ: पाप (आर्कसिन एक्स) \u003d एक्स, मैं xi? एक; cos (arсcos x) = x, i xi? एक; टीजी (आर्कटजी एक्स)= एक्स , एक्स आई आर; सीटीजी (arcctg x) = x , x I R.

व्यायाम।

a) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

सीटीजी (आर्कटीजीएक्स) =; टीजी (आर्कटजी एक्स) = .

b) cos (+ arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6)। चलो आर्कसिन 0.6 \u003d ए, पाप ए \u003d 0.6;

cos(arcsin x) = ; पाप (arccos x) = .

नोट: हम मूल के सामने "+" चिन्ह लेते हैं क्योंकि a = arcsin x संतुष्ट करता है।

सी) पाप (1.5 + आर्क्सिन) उत्तर :;

डी) सीटीजी (+ आर्कटीजी 3)। उत्तर:;

ई) टीजी (- आर्कसीटीजी 4)। उत्तर:।

च) cos (0.5 + arccos) । उत्तर: ।

गणना करें:

ए) पाप (2 आर्कटन 5)।

मान लीजिए चाप 5 = a, तो sin 2 a = या पाप(2 आर्कटिक 5) = ;

बी) कॉस (+ 2 आर्क्सिन 0.8) उत्तर: 0.28।

सी) आर्कटजी + आर्कटग।

माना a = चाप, b = चाप,

तब तन (ए + बी) = .

डी) पाप (आर्कसिन + आर्क्सिन)।

ई) साबित करें कि सभी x I [-1; 1] ट्रू आर्कसिन x + आर्ककोस x = .

सबूत:

आर्क्सिन x = - आर्ककोस x

sin (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (arccos x)

एक स्टैंडअलोन समाधान के लिए: sin (arccos ), cos (arcsin ), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos)

घरेलू समाधान के लिए: 1) sin (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) आर्क्सिन + आर्क्सिन; 3) सीटीजी (- आर्ककोस 0.6); 4) cos (2 आर्कसीटीजी 5); 5) पाप (1.5 - आर्कसिन 0.8); 6) आर्कटग 0.5 - आर्कटग 3.

पाठ संख्या 4 (2 घंटे) विषय: उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों पर संचालन।

उद्देश्य: इस पाठ में अधिक जटिल अभिव्यक्तियों के परिवर्तन में अनुपातों के उपयोग को दिखाने के लिए।

पाठ सामग्री।

मौखिक रूप से:

a) sin (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

बी) टीजी (आर्कटीजी 5), सीटीजी (आर्कटजी 5);

c) sin (arctg -3), cos (arctg ());

डी) टीजी (arccos), सीटीजी (arccos ())।

लिखा हुआ:

1) cos (आर्कसिन + आर्कसिन + आर्क्सिन)।

2) cos (arctg 5 - arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) टीजी (- आर्क्सिन 0.6) = - टीजी (आर्क्सिन 0.6) =

4)

स्वतंत्र कार्य सामग्री के आत्मसात के स्तर को निर्धारित करने में मदद करेगा

1) टीजी (आर्कटग 2 - आर्कटग) 2) cos(- arctg2) 3) आर्कसिन + आर्ककोस	1) कॉस (आर्कसिन + आर्क्सिन) 2)पाप (1.5 - आर्कटिक 3) 3) arcctg3 - arctg 2

होमवर्क के लिए, आप पेशकश कर सकते हैं:

1) सीटीजी (आर्कटजी+आर्कटजी+आर्कटजी); 2) पाप 2 (आर्कटग 2 - आर्कसीटीजी ()); 3) पाप (2 आर्कटजी + टीजी (आर्क्सिन)); 4) पाप (2 आर्कटन); 5) टीजी ((आर्क्सिन))

पाठ संख्या 5 (2h) विषय: त्रिकोणमितीय कार्यों पर उलटा त्रिकोणमितीय संचालन।

उद्देश्य: त्रिकोणमितीय कार्यों पर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय संचालन की छात्रों की समझ बनाने के लिए, अध्ययन किए जा रहे सिद्धांत की सार्थकता बढ़ाने पर ध्यान केंद्रित करें।

इस विषय का अध्ययन करते समय, यह माना जाता है कि याद की जाने वाली सैद्धांतिक सामग्री की मात्रा सीमित है।

पाठ के लिए सामग्री:

आप फलन y = arcsin (sin x) का परीक्षण करके और उसका आलेखन करके नई सामग्री सीखना प्रारंभ कर सकते हैं।

3. प्रत्येक x I R, y I से संबद्ध है, अर्थात्।<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. फ़ंक्शन विषम है: पाप (-x) \u003d - पाप x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. ग्राफ y = आर्क्सिन (sin x) पर:

ए) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

बी)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

पाप y \u003d पाप ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

इसलिए,

y = arcsin (sin x) पर निर्मित होने के बाद, हम [- ; पर मूल के बारे में सममित रूप से जारी रखते हैं; 0], इस फ़ंक्शन की विषमता को ध्यान में रखते हुए। आवधिकता का उपयोग करते हुए, हम संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर चलते हैं।

फिर कुछ अनुपात लिखिए: आर्कसिन (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos ए ) = ए अगर 0<= a <= ; आर्कटिक (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

और निम्नलिखित अभ्यास करें: क) आर्ककोस (पाप 2) उत्तर: 2 - ; बी) आर्क्सिन (cos 0.6) उत्तर: - 0.1; सी) आर्कटिक (टीजी 2) उत्तर: 2 -;

डी) आर्कसीटीजी (टीजी 0.6) उत्तर: 0.9; ई) आर्ककोस (cos ( - 2)) उत्तर: 2 -; च) आर्क्सिन (पाप (- 0.6))। उत्तर:- 0.6; जी) आर्कटग (टीजी 2) = आर्कटजी (टीजी (2 -))। उत्तर: 2 -; एच) आर्कसीटीजी (टीजी 0.6)। उत्तर:- 0.6; - आर्कटैंक्स; ई) आर्ककोस + आर्ककोस

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य(गोलाकार कार्य, चाप कार्य) - गणितीय कार्य जो त्रिकोणमितीय कार्यों के विपरीत होते हैं।

आर्कसिन(इस रूप में घोषित किया गया आर्कसिन x; आर्कसिन xकोण है पापइसके बराबर एक्स).

आर्कसिन (y = चाप x) - प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन to पाप (एक्स = साइनी), जिसमें परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट है . दूसरे शब्दों में, कोण को उसके मान से लौटाता है पाप.

समारोह वाई = पाप एक्सनिरंतर और इसकी पूरी संख्या रेखा के साथ घिरा हुआ है। समारोह वाई = आर्कसिन एक्स- सख्ती से बढ़ता है।

आर्क्सिन फ़ंक्शन के गुण।

आर्कसिन ग्राफ।

आर्कसिन फ़ंक्शन प्राप्त करें।

एक समारोह है वाई = पाप एक्स. यह परिभाषा के अपने पूरे डोमेन पर टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक है, इसलिए उलटा पत्राचार y = चाप xएक समारोह नहीं है। इसलिए, हम उस खंड पर विचार करते हैं जिस पर यह केवल बढ़ता है और सीमा के प्रत्येक मान को ग्रहण करता है - . चूंकि समारोह के लिए वाई = पाप एक्सअंतराल पर, फ़ंक्शन के सभी मान तर्क के केवल एक मान के साथ प्राप्त होते हैं, जिसका अर्थ है कि इस खंड पर एक उलटा कार्य है y = चाप x, जिसका ग्राफ फ़ंक्शन के ग्राफ के सममित है वाई = पाप एक्सएक रेखा खंड पर वाई = एक्स.