2 से विभाज्यता का परीक्षण करें

एक संख्या दो से विभाज्य होती है यदि वह अंतिम अंक सम या शून्य है. अन्य मामलों में, यह विभाजित नहीं है.

उदाहरण के लिए:

संख्या 52 73 8 2 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम अंक 8 सम है।
7 691 2 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 1 एक विषम संख्या है।
1 250 2 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम अंक शून्य है।

3 से विभाज्यता के लिए परीक्षण

केवल वे संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं यदि संख्याओं का योग विभाजित है 3 द्वारा

उदाहरण के लिए:

संख्या 17,835 3 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग है

\[ 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 \]

3 से विभाज्य.

4 से विभाज्यता का परीक्षण करें

एक संख्या 4 से विभाज्य है यदि इसके अंतिम दो अंक शून्य हैं या एक विभाज्य संख्या बनाते हैं 4 द्वारा. अन्य मामलों में, यह विभाजित नहीं है.

उदाहरण:

31,700 4 से विभाज्य है क्योंकि यह दो शून्य पर समाप्त होता है।
4,215,634, 4 से विभाज्य नहीं है क्योंकि अंतिम दो अंक संख्या 34 देते हैं, जो 4 से विभाज्य नहीं है।
16608, 4 से विभाज्य है क्योंकि 08 के अंतिम दो अंक संख्या 8 देते हैं, जो 4 से विभाज्य है।

5 से विभाज्यता परीक्षण

संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं जिसका अंतिम अंक 0 या 5. दूसरे साझा नहीं करते.

उदाहरण:

240, 5 से विभाज्य है (अंतिम अंक 0 है)।
554, 5 से विभाज्य नहीं है (अंतिम अंक 4 है)।

6 से विभाज्यता का परीक्षण करें

एक संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि यह एक ही समय में विभाजित हो जाता है 2 और 3 दोनों. अन्यथा, यह साझा नहीं करता.

उदाहरण के लिए:

126, 6 से विभाज्य है क्योंकि यह 2 और 3 से विभाज्य है।

8 से विभाज्यता परीक्षण

4 से विभाज्यता के परीक्षण के समान। एक संख्या 8 से विभाज्य है यदि इसके अंतिम तीन अंक शून्य हैं या एक विभाज्य संख्या बनाते हैं 8 तक. अन्य मामलों में, यह विभाजित नहीं है.

उदाहरण:

125,000 8 (अंत में तीन शून्य) से विभाज्य है।
170,004, 8 से विभाज्य नहीं है (अंतिम तीन अंक संख्या 4 देते हैं, जो 8 से विभाज्य नहीं है)।
111 120 8 से विभाज्य है (अंतिम तीन अंक 120 संख्या देते हैं, 8 से विभाज्य है)।

टिप्पणियाँ आप 16, 32, 64, आदि द्वारा विभाजन के लिए समान संकेत बता सकते हैं, लेकिन उनका कोई व्यावहारिक महत्व नहीं है।

9 से विभाज्यता परीक्षण

केवल वे संख्याएँ जो 9 से विभाज्य हैं संख्याओं का योग विभाजित है 9 पर।

उदाहरण:

संख्या 106,499, 9 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग (29) 9 से विभाज्य नहीं है। संख्या 52632 9 से विभाज्य है, क्योंकि इसके अंकों का योग (18) 9 से विभाज्य है।

10, 100 और 1000 से विभाज्यता के लक्षण

केवल वे संख्याएँ 10 से विभाज्य हैं जिसका अंतिम अंक शून्य है, 100 तक - केवल वे संख्याएँ जिनके अंतिम दो अंक शून्य हैं, 1000 तक - केवल वे संख्याएँ जिनके अंतिम तीन अंक शून्य हैं।

उदाहरण:

8200, 10 और 100 से विभाज्य है।
542,000 10, 100, 1000 से विभाज्य है।

11 से विभाज्यता परीक्षण

केवल वे संख्याएँ 11 से विभाज्य होती हैं जिनमें विषम स्थानों वाले अंकों का योग या तो सम स्थानों वाले अंकों के योग के बराबर होता है या 11 से विभाज्य संख्या से भिन्न होता है।

उदाहरण:

संख्या 103,785 11 से विभाज्य है, क्योंकि विषम स्थानों वाले अंकों का योग है

एमऔर एनऐसा एक पूर्णांक है कऔर एन.के= एम, फिर संख्या एमद्वारा विभाजित एन

विभाज्यता कौशल का उपयोग गणनाओं को सरल बनाता है और आनुपातिक रूप से उनके निष्पादन की गति को बढ़ाता है। आइए मुख्य विशेषता की विस्तार से जाँच करें विभाज्यता की विशेषताएं.

विभाज्यता का सबसे सीधा परीक्षण इकाइयां: सभी संख्याएँ एक से विभाजित होती हैं। यह विभाज्यता के संकेतों के साथ उतना ही प्राथमिक है दो, पाँच, दस. आप सम संख्या को दो से विभाजित कर सकते हैं या जिसका अंतिम अंक 0 है, उसे पांच से विभाजित कर सकते हैं - एक संख्या जिसका अंतिम अंक 5 या 0 है। केवल उन संख्याओं को दस से विभाजित किया जा सकता है जिनका अंतिम अंक 0 है। 100 - केवल वे संख्याएँ जिनके दो अंतिम अंक शून्य हैं, पर 1000 - केवल वे जिनके पीछे तीन शून्य शून्य हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 79516 को 2 से विभाजित किया जा सकता है, क्योंकि यह 6 पर समाप्त होती है—एक सम संख्या; 9651 2 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 1 एक विषम संख्या है; 1790 2 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम अंक शून्य है। 3470 5 से विभाज्य है (अंतिम अंक 0 है); 1054, 5 से विभाज्य नहीं है (अंतिम अंक 4 है)। 7800 10 और 100 से विभाज्य है; 542000 10, 100, 1000 से विभाज्य है।

कम व्यापक रूप से ज्ञात, लेकिन उपयोग में बहुत सुविधाजनक, विशेषताएँ हैं विभाज्यता की विशेषताएंपर 3 और 9 , 4 , 6 और 8, 25 . में विभाज्यता की भी विशेषताएँ हैं 7, 11, 13, 17, 19 और इसी तरह, लेकिन व्यवहार में उनका उपयोग बहुत कम किया जाता है।

3 और 9 से विभाजन की एक विशिष्ट विशेषता.

पर तीनऔर/या चालू नौवे संख्याएँ जिनके अंकों को जोड़ने का परिणाम तीन और/या नौ का गुणज है, उन्हें बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाएगा।

उदाहरण के लिए:

संख्या 156321, 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 जोड़ने पर प्राप्त परिणाम क्रमशः 3 से विभाज्य और 9 से विभाज्य है, संख्या स्वयं 3 और 9 से विभाज्य है। संख्या 79123 किससे विभाज्य नहीं है या तो 3 या 9, तो इसके अंकों का योग (22) इन संख्याओं से कैसे विभाजित नहीं किया जा सकता है।

4, 8, 16 इत्यादि से विभाजित करने की एक विशिष्ट विशेषता.

आकृति को बिना शेषफल के विभाजित किया जा सकता है चार, यदि इसके अंतिम दो अंक शून्य हैं या एक संख्या है जिसे 4 से विभाजित किया जा सकता है। अन्य सभी विकल्पों में, शेषफल के बिना विभाजन संभव नहीं है।

उदाहरण के लिए:

संख्या 75300 4 से विभाज्य है क्योंकि अंतिम दो अंक शून्य हैं; 48834 4 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि अंतिम दो अंक संख्या 34 देते हैं, जो 4 से विभाज्य नहीं है; 35908 4 से विभाज्य है क्योंकि 08 के अंतिम दो अंक संख्या 8 देते हैं, जो 4 से विभाज्य है।

इसी प्रकार का सिद्धांत विभाज्यता के परीक्षण के लिए उपयुक्त है आठ. एक संख्या आठ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंक शून्य हों या 8 से विभाज्य संख्या बनती हो। अन्य मामलों में, विभाजन से प्राप्त भागफल पूर्ण संख्या नहीं होगा।

द्वारा विभाजन के लिए समान गुण 16, 32, 64 इत्यादि, लेकिन इनका उपयोग रोजमर्रा की गणनाओं में नहीं किया जाता है।

6 से विभाज्यता की एक विशिष्ट विशेषता.

संख्या से विभाज्य है छह, यदि यह दो और तीन दोनों से विभाज्य है, तो अन्य सभी विकल्पों के साथ, शेषफल के बिना विभाजन असंभव है।

उदाहरण के लिए:

126, 6 से विभाज्य है क्योंकि यह 2 (अंतिम सम संख्या 6 है) और 3 (अंकों 1 + 2 + 6 = 9 का योग तीन से विभाज्य है) दोनों से विभाज्य है।

7 से विभाज्यता की एक विशिष्ट विशेषता.

संख्या से विभाज्य है सातयदि इसकी दोगुनी अंतिम संख्या और "अंतिम अंक के बिना छोड़ी गई संख्या" के बीच का अंतर सात से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं सात से विभाज्य है।

उदाहरण के लिए:

संख्या 296492 है। अंतिम अंक "2" लें, इसे दोगुना करें, यह 4 आता है। 29649 घटाएं - 4 = 29645। यह पता लगाना समस्याग्रस्त है कि क्या यह 7 से विभाज्य है, इसलिए फिर से विश्लेषण किया गया है। अगला, हम अंतिम अंक "5" को दोगुना करते हैं, परिणाम 10 है। 2964 - 10 = 2954 घटाएं। परिणाम वही है, यह स्पष्ट नहीं है कि यह 7 से विभाज्य है या नहीं, इसलिए हम विश्लेषण जारी रखते हैं। हम अंतिम अंक "4" से विश्लेषण करते हैं, इसे दोगुना करने पर 8 आता है। 295 - 8 = 287 घटाएं। हम दो सौ सत्तासी की जांच करते हैं - यह 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए हम खोज जारी रखते हैं। सादृश्य से, हम अंतिम अंक "7" को दोगुना करते हैं, यह 14 हो जाता है। 28 - 14 = 14 घटाएँ। संख्या 14 को 7 से विभाजित किया जाता है, इसलिए मूल संख्या को 7 से विभाजित किया जाता है।

11 से विभाज्यता की विशेषता.

पर ग्यारहकेवल उन्हीं संख्याओं को विभाजित किया जाता है जिनमें विषम स्थानों पर स्थित अंकों को जोड़ने का परिणाम या तो सम स्थानों पर स्थित अंकों के योग के बराबर होता है या ग्यारह से विभाज्य संख्या से भिन्न होता है।

उदाहरण के लिए:

संख्या 103,785 11 से विभाज्य है, क्योंकि विषम स्थानों के अंकों का योग, 1 + 3 + 8 = 12, सम स्थानों के अंकों के योग के बराबर है, 0 + 7 + 5 = 12। संख्या 9,163,627 है 11 से विभाज्य, क्योंकि विषम स्थानों पर रखे गए अंकों का योग 9 + 6 + 6 + 7 = 28 है, और सम स्थानों पर रखे गए अंकों का योग 1 + 3 + 2 = 6 है; संख्या 28 और 6 के बीच का अंतर 22 है, और यह संख्या 11 से विभाज्य है। संख्या 461,025 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि संख्या 4 + 1 + 2 = 7 और 6 + 0 + 5 = 11 बराबर नहीं हैं एक दूसरे, लेकिन उनका अंतर 11 - 7 = 4, 11 से विभाज्य नहीं है।

25 से विभाज्यता की विशेषता.

पर पच्चीसवे संख्याएँ जिनके अंतिम दो अंक शून्य हैं या ऐसी संख्या बनाते हैं जिन्हें पच्चीस से विभाजित किया जा सकता है (अर्थात, 00, 25, 50, या 75 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ) विभाजित की जाएंगी। अन्य मामलों में, संख्या को 25 से पूर्णतः विभाजित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

9450 25 से विभाज्य है (50 पर समाप्त होता है); 5085 25 से विभाज्य नहीं है.

2 से विभाज्यता का परीक्षण करें
कोई संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसका अंतिम अंक 2 से विभाज्य हो, अर्थात वह सम हो।

3 से विभाज्यता का परीक्षण करें
कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

4 से विभाज्यता का परीक्षण करें
कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब संख्या के अंतिम दो अंक शून्य हों या 4 से विभाज्य हों।

5 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि अंतिम अंक 5 से विभाज्य हो (अर्थात् 0 या 5 के बराबर)।

6 से विभाज्यता का परीक्षण करें
कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि वह 2 और 3 से विभाज्य हो।

7 से विभाज्यता का परीक्षण करें
एक संख्या 7 से विभाज्य है यदि और केवल यदि अंतिम अंक के बिना उस संख्या से अंतिम अंक को दो बार घटाने का परिणाम 7 से विभाज्य है (उदाहरण के लिए, 259 7 से विभाज्य है, क्योंकि 25 - (2 9) = 7 विभाज्य है 7 से).

8 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंतिम तीन अंक शून्य हों या ऐसी संख्या बनती हो जो 8 से विभाज्य हो।

9 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

10 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 10 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब उसका अंत शून्य हो।

11 से विभाज्यता परीक्षण
एक संख्या 11 से विभाज्य है यदि और केवल यदि वैकल्पिक चिह्न वाले अंकों का योग 11 से विभाज्य है (अर्थात, 182919 11 से विभाज्य है, क्योंकि 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 से विभाज्य है) 11) - इस तथ्य का परिणाम है कि 10 n के रूप की सभी संख्याएँ जब 11 से विभाजित होती हैं तो शेषफल (-1) n निकलता है।

12 से विभाज्यता परीक्षण
एक संख्या 12 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब वह 3 और 4 से विभाज्य हो।

13 से विभाज्यता परीक्षण
एक संख्या 13 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब उसकी दहाई की संख्या इकाई की संख्या के चार गुना में जोड़ने पर 13 का गुणज हो (उदाहरण के लिए, 845 13 से विभाज्य है, क्योंकि 84 + (4 5) = 104 से विभाज्य है 13).

14 से विभाज्यता परीक्षण
एक संख्या 14 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि वह 2 और 7 से विभाज्य हो।

15 से विभाज्यता परीक्षण
एक संख्या 15 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि वह 3 और 5 से विभाज्य हो।

17 से विभाज्यता परीक्षण
एक संख्या 17 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसकी दहाई की संख्या, इकाइयों की संख्या से 12 गुना जोड़ने पर, 17 का गुणज हो (उदाहरण के लिए, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+ 72=102→10+ 24 = 34. चूँकि 34, 17 से विभाज्य है, तो 29053, 17 से विभाज्य है)। संकेत हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है, लेकिन गणित में इसका एक निश्चित अर्थ होता है। थोड़ा आसान तरीका है - एक संख्या 17 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब उसके दहाई की संख्या और इकाइयों की संख्या के पांच गुना के बीच का अंतर 17 का गुणज हो (उदाहरण के लिए, 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. चूँकि 15, 17 से विभाज्य नहीं है, तो 32952, 17 से विभाज्य नहीं है)

19 से विभाज्यता परीक्षण
एक संख्या 19 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसकी दहाई की संख्या को इकाई की संख्या के दोगुने में जोड़ने पर 19 का गुणज हो (उदाहरण के लिए, 646 19 से विभाज्य है, क्योंकि 64 + (6 2) = 76 19 से विभाज्य है ).

23 से विभाज्यता का परीक्षण करें
एक संख्या 23 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसकी सैकड़ों संख्या को उसकी दहाई संख्या के तीन गुना में जोड़ने पर 23 का गुणज हो (उदाहरण के लिए, 28842 23 से विभाज्य है, क्योंकि 288 + (3 * 42) = 414 से 4 + (3 *) जारी रहता है 14) = 46 स्पष्ट रूप से 23 से विभाज्य है)।

25 से विभाज्यता का परीक्षण करें
एक संख्या 25 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब उसके अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य हों (अर्थात् 00, 25, 50 या 75 बनाते हुए) या संख्या 5 का गुणज हो।

99 से विभाज्यता परीक्षण
आइए संख्या को दाएं से बाएं 2 अंकों के समूहों में विभाजित करें (सबसे बाएं समूह में एक अंक हो सकता है) और इन समूहों को दो अंकों की संख्या मानते हुए उनका योग ज्ञात करें। यह योग 99 से विभाज्य है यदि और केवल तभी जब संख्या स्वयं 99 से विभाज्य हो।

101 से विभाज्यता परीक्षण
आइए संख्या को दाएं से बाएं 2 अंकों के समूहों में विभाजित करें (सबसे बाएं समूह में एक अंक हो सकता है) और इन समूहों को दो अंकों की संख्या मानते हुए, वैकल्पिक संकेतों के साथ उनका योग ज्ञात करें। यह योग 101 से विभाज्य है यदि और केवल यदि संख्या स्वयं 101 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 590547 101 से विभाज्य है, क्योंकि 59-05+47=101 101 से विभाज्य है)।

संख्याओं की विभाज्यता के लक्षण- ये ऐसे नियम हैं जो आपको बिना विभाजित किए अपेक्षाकृत शीघ्रता से यह पता लगाने की अनुमति देते हैं कि क्या यह संख्या किसी शेषफल के बिना किसी दी गई संख्या से विभाज्य है।
कुछ विभाज्यता के लक्षणकाफी सरल, कुछ अधिक जटिल। इस पृष्ठ पर आपको अभाज्य संख्याओं की विभाज्यता के दोनों चिह्न मिलेंगे, जैसे, उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7, 11, और भाज्य संख्याओं की विभाज्यता के चिह्न, जैसे 6 या 12।
मुझे आशा है कि यह जानकारी आपके लिए उपयोगी होगी.
सीखने का आनंद!

2 से विभाज्यता का परीक्षण करें

यह विभाज्यता के सबसे सरल लक्षणों में से एक है। यह इस तरह लगता है: यदि किसी प्राकृतिक संख्या का अंकन एक सम अंक के साथ समाप्त होता है, तो यह सम है (2 से शेषफल के बिना विभाज्य), और यदि एक प्राकृतिक संख्या का अंकन एक विषम अंक के साथ समाप्त होता है, तो यह संख्या विषम है .
दूसरे शब्दों में, यदि किसी संख्या का अंतिम अंक है 2 , 4 , 6 , 8 या 0 - संख्या 2 से विभाज्य है, यदि नहीं तो वह विभाज्य नहीं है
उदाहरण के लिए, संख्याएँ: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 2 से विभाज्य हैं क्योंकि वे सम हैं।
ए संख्या: 23 5 , 137 , 2303
वे 2 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि वे विषम हैं।

3 से विभाज्यता का परीक्षण करें

विभाज्यता के इस चिह्न के पूरी तरह से अलग नियम हैं: यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या 3 से विभाज्य है; यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य नहीं है, तो वह संख्या 3 से विभाज्य नहीं है।
इसका मतलब यह है कि यह समझने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको बस उन संख्याओं को एक साथ जोड़ना होगा जो इसे बनाती हैं।
यह इस तरह दिखता है: 3987 और 141 3 से विभाज्य हैं, क्योंकि पहली स्थिति में 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - 3 से विभाज्य), और दूसरे में 1+4+1= 6 (6:3=2 - 3 से भी विभाज्य)।
लेकिन संख्याएँ: 235 और 566, 3 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि 2+3+5= 10 और 5+6+6= 17 (और हम जानते हैं कि न तो 10 और न ही 17 बिना किसी शेषफल के 3 से विभाज्य हैं)।

4 से विभाज्यता का परीक्षण करें

विभाज्यता का यह चिन्ह और अधिक जटिल होगा। यदि किसी संख्या के अंतिम 2 अंक 4 से विभाज्य संख्या बनाते हैं या वह 00 है, तो वह संख्या 4 से विभाज्य है, अन्यथा दी गई संख्या शेषफल के बिना 4 से विभाज्य नहीं है।
उदाहरण के लिए: 1 00 और 3 64 4 से विभाज्य हैं क्योंकि पहली स्थिति में संख्या समाप्त होती है 00 , और दूसरे में 64 , जो बदले में बिना किसी शेषफल के 4 से विभाज्य है (64:4=16)
संख्या 3 57 और 8 86 4 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि इनमें से कोई भी नहीं 57 कोई भी नहीं 86 4 से विभाज्य नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि वे विभाज्यता की इस कसौटी के अनुरूप नहीं हैं।

5 से विभाज्यता परीक्षण

और फिर से हमारे पास विभाज्यता का एक काफी सरल संकेत है: यदि किसी प्राकृतिक संख्या का अंकन संख्या 0 या 5 के साथ समाप्त होता है, तो यह संख्या बिना किसी शेषफल के 5 से विभाज्य होती है। यदि किसी संख्या का अंकन किसी अन्य अंक के साथ समाप्त होता है, तो कोई संख्या शेषफल के बिना 5 से विभाज्य नहीं है।
इसका मतलब यह है कि कोई भी संख्या अंकों में समाप्त होती है 0 और 5 , उदाहरण के लिए 1235 5 और 43 0 , नियम के अंतर्गत आते हैं और 5 से विभाज्य हैं।
और, उदाहरण के लिए, 1549 3 और 56 4 संख्या 5 या 0 पर समाप्त न हों, जिसका अर्थ है कि उन्हें शेषफल के बिना 5 से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

6 से विभाज्यता का परीक्षण करें

हमारे सामने भाज्य संख्या 6 है, जो संख्या 2 और 3 का गुणनफल है। इसलिए, 6 से विभाज्यता का चिह्न भी भाज्य है: किसी संख्या को 6 से विभाज्य होने के लिए, उसे दो चिह्नों के अनुरूप होना चाहिए एक ही समय में विभाज्यता: 2 से विभाज्यता का चिह्न और 3 से विभाज्यता का चिह्न। कृपया ध्यान दें कि 4 जैसी मिश्रित संख्या में विभाज्यता का एक व्यक्तिगत चिह्न होता है, क्योंकि यह स्वयं संख्या 2 का गुणनफल है। लेकिन आइए 6 से विभाज्यता के परीक्षण पर वापस आएं।
संख्याएँ 138 और 474 सम हैं और 3 (1+3+8=12, 12:3=4 और 4+7+4=15, 15:3=5) से विभाज्यता के मानदंडों को पूरा करती हैं, जिसका अर्थ है कि वे विभाज्य हैं 6. लेकिन 123 और 447, हालांकि वे 3 (1+2+3=6, 6:3=2 और 4+4+7=15, 15:3=5) से विभाज्य हैं, लेकिन वे विषम हैं, जो इसका मतलब है कि वे 2 से विभाज्यता की कसौटी के अनुरूप नहीं हैं, और इसलिए 6 से विभाज्यता की कसौटी के अनुरूप नहीं हैं।

7 से विभाज्यता का परीक्षण करें

विभाज्यता का यह परीक्षण अधिक जटिल है: एक संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि इस संख्या के दसियों की संख्या से अंतिम अंक को दोगुना घटाने का परिणाम 7 से विभाज्य हो या 0 के बराबर हो।
यह काफी भ्रमित करने वाला लगता है, लेकिन व्यवहार में यह सरल है। अपने लिए देखें: संख्या 95 9, 7 से विभाज्य है क्योंकि 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 को बिना किसी शेषफल के 7 से विभाजित किया जाता है)। इसके अलावा, यदि परिवर्तन के दौरान प्राप्त संख्या के साथ कठिनाइयाँ आती हैं (इसके आकार के कारण यह समझना मुश्किल है कि यह 7 से विभाज्य है या नहीं, तो इस प्रक्रिया को जितनी बार भी आप आवश्यक समझें, जारी रखा जा सकता है)।
उदाहरण के लिए, 45 5 और 4580 1 में 7 से विभाज्यता का गुण है। पहले मामले में, सब कुछ काफी सरल है: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. दूसरे मामले में हम यह करेंगे: 4580 -2*1=4580-2=4578. हमारे लिए यह समझना मुश्किल है कि क्या 457 8 बटा 7, तो चलिए प्रक्रिया दोहराते हैं: 457 -2*8=457-16=441. और फिर से हम विभाज्यता परीक्षण का उपयोग करेंगे, क्योंकि हमारे सामने अभी भी तीन अंकों की संख्या है 44 1. तो, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, यानी। 42 बिना किसी शेषफल के 7 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि 45801 7 से विभाज्य है।
यहाँ संख्याएँ हैं 11 1 और 34 5, 7 से विभाज्य नहीं है क्योंकि 11 -2*1=11-2=9 (9, 7 से विभाज्य नहीं है) और 34 -2*5=34-10=24 (24 शेषफल के बिना 7 से विभाज्य नहीं है)।

8 से विभाज्यता परीक्षण

8 से विभाज्यता का परीक्षण इस प्रकार है: यदि अंतिम 3 अंक 8 से विभाज्य संख्या बनाते हैं, या यह 000 है, तो दी गई संख्या 8 से विभाज्य है।
नंबर 1 000 या 1 088 8 से विभाज्य: पहला वाला समाप्त होता है 000 , दूसरा 88 :8=11 (बिना शेषफल के 8 से विभाज्य)।
और यहाँ संख्याएँ 1 हैं 100 या 4 757 8 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि संख्याएँ 100 और 757 शेषफल के बिना 8 से विभाज्य नहीं हैं।

9 से विभाज्यता परीक्षण

विभाज्यता का यह चिन्ह 3 से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो वह संख्या 9 से विभाज्य है; यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य नहीं है, तो वह संख्या 9 से विभाज्य नहीं है।
उदाहरण के लिए: 3987 और 144, 9 से विभाज्य हैं, क्योंकि पहली स्थिति में 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - शेषफल के बिना 9 से विभाज्य), और दूसरे में 1+4+4= 9 (9:9=1 - 9 से भी विभाज्य)।
लेकिन संख्याएँ: 235 और 141, 9 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि 2+3+5= 10 और 1+4+1= 6 (और हम जानते हैं कि न तो 10 और न ही 6 बिना किसी शेषफल के 9 से विभाज्य हैं)।

10, 100, 1000 तथा अन्य अंकीय इकाइयों से विभाज्यता के लक्षण

मैंने विभाज्यता के इन संकेतों को जोड़ दिया क्योंकि उन्हें उसी तरह वर्णित किया जा सकता है: एक संख्या को एक अंक इकाई द्वारा विभाजित किया जाता है यदि संख्या के अंत में शून्य की संख्या किसी दिए गए अंक इकाई पर शून्य की संख्या से अधिक या उसके बराबर है .
दूसरे शब्दों में, उदाहरण के लिए, हमारे पास निम्नलिखित संख्याएँ हैं: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . जिनमें से सभी 1 से विभाज्य हैं 0 ; 46400 और 867 000 1 से भी विभाज्य हैं 00 ; और उनमें से केवल एक 867 है 000 1 से विभाज्य 000 .
कोई भी संख्या जिसमें अंक इकाई की तुलना में कम पिछला शून्य होता है, उस अंक इकाई से विभाज्य नहीं होती है, उदाहरण के लिए 600 30 और 7 93 विभाज्य नहीं 1 00 .

11 से विभाज्यता परीक्षण

यह पता लगाने के लिए कि क्या कोई संख्या 11 से विभाज्य है, आपको इस संख्या के सम और विषम अंकों के योग के बीच का अंतर प्राप्त करना होगा। यदि यह अंतर 0 के बराबर है या बिना किसी शेषफल के 11 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं बिना किसी शेषफल के 11 से विभाज्य है।
इसे स्पष्ट करने के लिए, मैं उदाहरण देखने का सुझाव देता हूं: 2 35 4, 11 से विभाज्य है क्योंकि ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4, 11 से भी विभाज्य है, क्योंकि ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
यहाँ 1 है 1 1 या 4 35 4, 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि पहली स्थिति में हमें प्राप्त होता है (1+1)- 1 =1, और दूसरे में ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12 से विभाज्यता परीक्षण

संख्या 12 संयुक्त है। इसकी विभाज्यता का संकेत एक ही समय में 3 और 4 से विभाज्यता के संकेतों का अनुपालन है।
उदाहरण के लिए, 300 और 636 4 से विभाज्यता के दोनों चिह्नों के अनुरूप हैं (अंतिम 2 अंक शून्य हैं या 4 से विभाज्य हैं) और 3 से विभाज्यता के चिह्न (पहली और तीसरी दोनों संख्याओं के अंकों का योग विभाज्य हैं) 3 से), लेकिन अंततः, वे बिना किसी शेषफल के 12 से विभाज्य हैं।
लेकिन 200 या 630 12 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि पहले मामले में संख्या केवल 4 से विभाज्यता की कसौटी पर खरी उतरती है, और दूसरे में - केवल 3 से विभाज्यता की कसौटी पर खरी उतरती है। लेकिन एक ही समय में दोनों मानदंड नहीं।

13 से विभाज्यता परीक्षण

13 से विभाज्यता का एक संकेत यह है कि यदि इस संख्या की इकाइयों में 4 से गुणा करने पर किसी संख्या की दहाई की संख्या 13 का गुणज या 0 के बराबर हो, तो वह संख्या स्वयं 13 से विभाज्य होती है।
उदाहरण के लिए लेते हैं 70 2. तो, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य है), जिसका अर्थ है 70 2 बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य है। दूसरा उदाहरण एक संख्या है 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. संख्या 130 बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि दी गई संख्या 13 से विभाज्यता के मानदंड से मेल खाती है।
यदि हम संख्याएँ लें 12 5 या 21 2, तो हमें मिलता है 12 +4*5=32 और 21 +4*2=29, क्रमशः, और न तो 32 और न ही 29, बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य हैं, जिसका अर्थ है कि दी गई संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य नहीं हैं।

संख्याओं की विभाज्यता

जैसा कि ऊपर से देखा जा सकता है, यह माना जा सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए आप विभाज्यता के अपने व्यक्तिगत चिह्न या "मिश्रित" चिह्न का चयन कर सकते हैं यदि संख्या कई अलग-अलग संख्याओं का गुणज है। लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, आम तौर पर संख्या जितनी बड़ी होगी, उसका चिन्ह उतना ही जटिल होगा। यह संभव है कि विभाज्यता मानदंड की जाँच करने में लगने वाला समय विभाजन के बराबर या उससे अधिक हो सकता है। इसीलिए हम आमतौर पर विभाज्यता के सबसे सरल संकेतों का उपयोग करते हैं।

विभाज्यता मानदंड पर लेखों की श्रृंखला जारी है 3 से विभाज्यता का परीक्षण. यह आलेख पहले 3 से विभाज्यता के लिए परीक्षण का एक सूत्रीकरण देता है, और इस परीक्षण का उपयोग करके यह पता लगाने के उदाहरण देता है कि दिए गए पूर्णांकों में से कौन सा 3 से विभाज्य है और कौन सा नहीं। 3 से विभाज्यता के परीक्षण का प्रमाण नीचे दिया गया है। कुछ अभिव्यक्ति के मान के रूप में दी गई संख्याओं में से 3 से विभाज्यता स्थापित करने के तरीकों पर भी विचार किया जाता है।

पेज नेविगेशन.

3 से विभाज्यता का परीक्षण, उदाहरण

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं 3 से विभाज्यता के परीक्षण का सूत्रीकरण: एक पूर्णांक 3 से विभाज्य है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य है, लेकिन यदि किसी दी गई संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य नहीं है, तो वह संख्या स्वयं 3 से विभाज्य नहीं है।

उपरोक्त सूत्रीकरण से यह स्पष्ट है कि 3 से विभाज्यता का परीक्षण प्रदर्शन की क्षमता के बिना नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, 3 से विभाज्यता के परीक्षण को सफलतापूर्वक लागू करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि सभी संख्याएँ 3, 6 और 9 3 से विभाज्य हैं, लेकिन संख्याएँ 1, 2, 4, 5, 7 और 8 3 से विभाज्य नहीं हैं। .

अब हम सबसे सरल पर विचार कर सकते हैं 3 से विभाज्यता के परीक्षण का उपयोग करने के उदाहरण. आइए जानें कि क्या संख्या −42 3 से विभाज्य है। ऐसा करने के लिए, हम संख्या -42 के अंकों के योग की गणना करते हैं, यह 4+2=6 के बराबर है। चूँकि 6, 3 से विभाज्य है, तो, 3 से विभाज्यता परीक्षण के कारण, हम कह सकते हैं कि संख्या −42 भी 3 से विभाज्य है। लेकिन धनात्मक पूर्णांक 71, 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 7+1=8 है, और 8, 3 से विभाज्य नहीं है।

क्या 0 3 से विभाज्य है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको 3 से विभाज्यता के गुण की आवश्यकता नहीं होगी; यहां आपको विभाज्यता के संबंधित गुण को याद रखने की आवश्यकता है, जो बताता है कि शून्य किसी भी पूर्णांक से विभाज्य है। अतः 0, 3 से विभाज्य है।

कुछ मामलों में, यह दिखाने के लिए कि किसी दी गई संख्या में 3 से विभाज्य होने की क्षमता है या नहीं, 3 से विभाज्यता के परीक्षण का उपयोग लगातार कई बार किया जाना चाहिए। चलिए एक उदाहरण देते हैं.

उदाहरण।

दिखाएँ कि संख्या 907,444,812 3 से विभाज्य है।

समाधान।

संख्या 907 444 812 के अंकों का योग 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 है। यह पता लगाने के लिए कि क्या 39, 3 से विभाज्य है, आइए इसके अंकों के योग की गणना करें: 3+9=12। और यह पता लगाने के लिए कि क्या 12, 3 से विभाज्य है, हम संख्या 12 के अंकों का योग ज्ञात करते हैं, हमारे पास 1+2=3 है। चूँकि हमें संख्या 3 प्राप्त हुई, जो 3 से विभाज्य है, तो, 3 से विभाज्यता परीक्षण के आधार पर, संख्या 12 3 से विभाज्य है। इसलिए, 39 3 से विभाज्य है, क्योंकि इसके अंकों का योग 12 है, और 12 3 से विभाज्य है। अंततः, 907,333,812 3 से विभाज्य है, क्योंकि इसके अंकों का योग 39 है, और 39 3 से विभाज्य है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम दूसरे उदाहरण से समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

क्या −543,205 3 से विभाज्य है?

समाधान।

आइए इस संख्या के अंकों का योग निकालें: 5+4+3+2+0+5=19. बदले में, संख्या 19 के अंकों का योग 1+9=10 है, और संख्या 10 के अंकों का योग 1+0=1 है। चूँकि हमें संख्या 1 प्राप्त हुई, जो 3 से विभाज्य नहीं है, 3 से विभाज्यता के परीक्षण से यह निष्कर्ष निकलता है कि 10, 3 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, 19 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 10 है, और 10 3 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, मूल संख्या -543,205 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग, 19 के बराबर, 3 से विभाज्य नहीं है।

उत्तर:

नहीं।

यह ध्यान देने योग्य है कि किसी दी गई संख्या को सीधे 3 से विभाजित करने से हम यह निष्कर्ष भी निकाल सकते हैं कि दी गई संख्या 3 से विभाज्य है या नहीं। इससे हम यह कहना चाहते हैं कि हमें 3 से विभाज्यता की कसौटी के पक्ष में विभाजन की उपेक्षा नहीं करनी चाहिए। पिछले उदाहरण में, 543,205 बटा 3, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि 543,205, 3 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, जिससे हम कह सकते हैं कि -543,205, 3 से विभाज्य नहीं है।

3 से विभाज्यता के परीक्षण का प्रमाण

संख्या a का निम्नलिखित निरूपण हमें 3 से विभाज्यता के परीक्षण को सिद्ध करने में मदद करेगा। कोई भी प्राकृत संख्या a हम कर सकते हैं, जिसके बाद यह हमें फॉर्म का प्रतिनिधित्व प्राप्त करने की अनुमति देता है, जहां a n, a n−1, ..., a 0 संख्या a के अंकन में बाएं से दाएं संख्याएं हैं। स्पष्टता के लिए, हम ऐसे प्रतिनिधित्व का एक उदाहरण देते हैं: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.

अब आइए कई स्पष्ट समानताएँ लिखें: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 इत्यादि .

समानता में प्रतिस्थापित करना a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 10, 100, 1,000 इत्यादि के बजाय, भाव 3·3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 इत्यादि, हमें मिलता है
.

और वे परिणामी समानता को इस प्रकार फिर से लिखने की अनुमति देते हैं:

अभिव्यक्ति संख्या a के अंकों का योग है. संक्षिप्तता और सुविधा के लिए, आइए हम इसे अक्षर A से निरूपित करें, अर्थात हम स्वीकार करते हैं। फिर हमें फॉर्म की संख्या ए का प्रतिनिधित्व मिलता है, जिसका उपयोग हम 3 से विभाज्यता के परीक्षण को साबित करने के लिए करेंगे।

इसके अलावा, 3 से विभाज्यता के परीक्षण को सिद्ध करने के लिए, हमें विभाज्यता के निम्नलिखित गुणों की आवश्यकता है:

• किसी पूर्णांक a के पूर्णांक b से विभाज्य होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि a, b के मापांक से विभाज्य हो;
• यदि समानता a=s+t में एक को छोड़कर सभी पद किसी पूर्णांक b से विभाज्य हैं, तो यह एक पद भी b से विभाज्य है।

अब हम पूरी तरह से तैयार हैं और इसे अंजाम दे सकते हैं।' 3 से विभाज्यता का प्रमाणसुविधा के लिए, हम इस मानदंड को 3 से विभाज्यता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त के रूप में तैयार करते हैं।

प्रमेय.

किसी पूर्णांक a के 3 से विभाज्य होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

सबूत।

के लिए a=0 प्रमेय स्पष्ट है।

अगर a शून्य से भिन्न है, तो संख्या a का मापांक एक प्राकृतिक संख्या है, तब निरूपण संभव है, संख्या a के अंकों का योग कहां है।

चूँकि पूर्णांकों का योग और गुणनफल एक पूर्णांक है, तो यह एक पूर्णांक है, फिर, विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, गुणनफल किसी भी a 0, a 1, ..., a n के लिए 3 से विभाज्य है।

यदि किसी संख्या a के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, अर्थात A, 3 से विभाज्य है, तो प्रमेय से पहले संकेतित विभाज्यता गुण के कारण, यह 3 से विभाज्य है, इसलिए, a 3 से विभाज्य है। अत: पर्याप्तता सिद्ध होती है।

अगर a, 3 से विभाज्य है, तो यह 3 से विभाज्य है, फिर, विभाज्यता के समान गुण के कारण, संख्या A, 3 से विभाज्य है, अर्थात संख्या a के अंकों का योग 3 से विभाज्य है। आवश्यकता सिद्ध हो चुकी है।

3 से विभाज्यता के अन्य मामले

कभी-कभी पूर्णांकों को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, बल्कि किसी चर के दिए गए मान के लिए एक निश्चित मान के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी प्राकृत संख्या n के लिए अभिव्यक्ति का मान एक प्राकृत संख्या है। यह स्पष्ट है कि संख्याओं को इस प्रकार निर्दिष्ट करते समय, 3 से सीधा विभाजन उनकी 3 से विभाज्यता स्थापित करने में मदद नहीं करेगा, और 3 से विभाज्यता का परीक्षण हमेशा लागू नहीं किया जा सकता है। अब हम ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए कई तरीकों पर गौर करेंगे।

इन दृष्टिकोणों का सार मूल अभिव्यक्ति को कई कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना है, और यदि कम से कम एक कारक 3 से विभाज्य है, तो, संबंधित विभाज्यता संपत्ति के कारण, यह निष्कर्ष निकालना संभव होगा कि संपूर्ण उत्पाद 3 से विभाज्य है.

कभी-कभी यह दृष्टिकोण आपको इसे लागू करने की अनुमति देता है। आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए व्यंजक का मान 3 से विभाज्य है?

समाधान।

समानता स्पष्ट है. आइए न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करें:

अंतिम अभिव्यक्ति में हम कोष्ठक में से 3 निकाल सकते हैं, और हमें मिलता है। परिणामी उत्पाद को 3 से विभाजित किया जाता है, क्योंकि इसमें 3 का गुणनखंड होता है, और प्राकृतिक n के लिए कोष्ठक में अभिव्यक्ति का मान एक प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए यह 3 से विभाज्य है।

उत्तर:

हाँ।

कई मामलों में, 3 से विभाज्यता सिद्ध करना संभव है। आइए एक उदाहरण को हल करते समय इसके अनुप्रयोग को देखें।

उदाहरण।

साबित करें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, अभिव्यक्ति का मान 3 से विभाज्य है।

समाधान।

इसे सिद्ध करने के लिए हम गणितीय प्रेरण की विधि का प्रयोग करेंगे।

पर n=1 अभिव्यक्ति का मान है, और 6 को 3 से विभाजित किया गया है।

मान लीजिए कि n=k होने पर व्यंजक का मान 3 से विभाज्य है, अर्थात 3 से विभाज्य है।

यह मानते हुए कि यह 3 से विभाज्य है, हम दिखाएंगे कि n=k+1 के लिए अभिव्यक्ति का मान 3 से विभाज्य है, अर्थात हम दिखाएंगे कि 3 से विभाज्य.