Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – коэффициента детерминации.
Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.
Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:
где 
– общая дисперсия результативного
признака;
–остаточная
дисперсия для уравнения
.
Методика построения индекса множественной корреляции аналогична построению индекса корреляции для парной зависимости. Границы его изменения те же: от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции:
.
При правильном
включении факторов в регрессионный
анализ величина индекса множественной
корреляции будет существенно отличаться
от индекса корреляции парной зависимости.
Если же дополнительно включенные в
уравнение множественной регрессии
факторы третьестепенны, то индекс
множественной корреляции может
практически совпадать с индексом парной
корреляции (различия в третьем, четвертом
знаках). Отсюда ясно, что, сравнивая
индексы множественной и парной корреляции,
можно сделать вывод о целесообразности
включения в уравнение регрессии того
или иного фактора. Так, если
рассматривается как функция
и
и получен индекс множественной корреляции
,
а индексы парной корреляции при этом
были
и
,
то совершенно ясно, что уравнение парной
регрессии
охватывало 67,2 % колеблемости результативного
признака под влиянием фактора
,
а дополнительное включение в анализ
фактора
увеличило долю объясненной вариации
до 72,3,%, т. е. уменьшилась доля остаточной
вариации на 5,1 проц. пункта (с 32,8 до
27,7%).
Расчет индекса множественной корреляции предполагает определение уравнения множественной регрессии и на его основе остаточной дисперсии:
.
Можно пользоваться следующей формулой индекса множественной корреляции:
При линейной зависимости признаков формула индекса корреляции может быть представлена следующим выражением:
,
где 
– стандартизованные коэффициенты
регрессии;
– парные коэффициенты корреляции
результата с каждым фактором.
Или, по-другому:
Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции , или, что то же самое, совокупного коэффициента корреляции .
Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции:
где 
– определитель матрицы парных
коэффициентов корреляции;
–определитель
матрицы межфакторной корреляции.
Для уравнения определитель матрицы коэффициентов парной корреляции примет вид:
Определитель более
низкого порядка
остается, когда вычеркиваются из матрицы
коэффициентов парной корреляции первый
столбец и первая строка, что и соответствует
матрице коэффициентов парной корреляции
между факторами:
Как видим, величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции результата с каждым из факторов, но и от межфакторной корреляции. Рассмотренная формула позволяет определять совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь при этом к уравнению множественной регрессии, а используя лишь парные коэффициенты корреляции.
При трех переменных для двухфакторного уравнения регрессии данная формула совокупного коэффициента корреляции легко приводится к следующему виду:
Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости рассматриваемых признаков. Тождественность этих показателей, как и в парной регрессии, имеет место и для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным.
В рассмотренных
показателях множественной корреляции
(индекс и коэффициент) используется
остаточная дисперсия, которая имеет
систематическую ошибку в сторону
преуменьшения. Эта ошибка тем более
значительна, чем больше параметров
определяется в уравнении регрессии при
заданном объеме наблюдений
.
Если число параметров при
равно
и приближается к объему наблюдений, то
остаточная дисперсия будет близка к
нулю, и коэффициент (индекс) корреляции
приблизится к единице даже при слабой
связи факторов с результатом. Для того
чтобы не допустить возможного преувеличения
тесноты связи, используетсяскорректированный
индекс (коэффициент) множественной
корреляции
.
Скорректированный
индекс множественной корреляции содержит
поправку на число степеней свободы, а
именно остаточная сумма квадратов
делится на число степеней свободы
остаточной вариации
,
а общая сумма квадратов отклонений
– на число степеней свободы в целом по
совокупности
.
Формула скорректированного индекса множественной детерминации имеет вид:
где 
– число параметров при переменных
;
–число наблюдений.
Поскольку
,
то величину скорректированного индекса
детерминации можно представить в виде
Чем больше величина
,
тем сильнее различия
и
.
Для линейной
зависимости признаков скорректированный
коэффициент множественной корреляции
определяется по той же формуле, что и
индекс множественной корреляции, т.е.
как корень квадратный из
.
Отличие состоит лишь в том, что в линейной
зависимости под
подразумевается число факторов,
включенных в регрессионную модель, а в
криволинейной зависимости
– число параметров при
и их преобразованиях (
,
и др.), которое может быть больше числа
факторов как экономических переменных.
Пример
.
Предположим, что при
для линейного уравнения регрессии с
четырьмя факторами
,
а с учетом корректировки на число
степеней свободы
Чем больше объем
совокупности, по которой исчислена
регрессия, тем меньше различаются
показатели
и
.
Так, уже при
при том же значении
и т величина
составит 0,673.
В статистических пакетах прикладных программ в процедуре множественной регрессии обычно приводится скорректированный коэффициент (индекс) множественной корреляции (детерминации). Величина коэффициента множественной детерминации используется для оценки качества регрессионной модели. Низкое значение коэффициента (индекса) множественной корреляции означает, что в регрессионную модель не включены существенные факторы – с одной стороны, а с другой стороны – рассматриваемая форма связи не отражает реальные соотношения между переменными, включенными в модель. Требуются дальнейшие исследования по улучшению качества модели и увеличению ее практической значимости.
Коэффициент корреляции - это степень связи между двумя переменными. Его расчет дает представление о том, есть ли зависимость между двумя массивами данных. В отличие от регрессии, корреляция не позволяет предсказывать значения величин. Однако расчет коэффициента является важным этапом предварительного статистического анализа. Например, мы установили, что коэффициент корреляции между уровнем прямых иностранных инвестиций и темпом роста ВВП является высоким. Это дает нам представление о том, что для обеспечения благосостояния нужно создать благоприятный климат именно для зарубежных предпринимателей. Не такой уж и очевидный вывод на первый взгляд!
Корреляция и причинность
Пожалуй, нет ни одной сферы статистики, которая бы так прочно вошла в нашу жизнь. Коэффициент корреляции используется во всех областях общественных знаний. Основная его опасность заключается в том, что зачастую его высокими значениями спекулируют для того, чтобы убедить людей и заставить их поверить в какие-то выводы. Однако на самом деле сильная корреляция отнюдь не свидетельствует о причинно-следственной зависимости между величинами.
Коэффициент корреляции: формула Пирсона и Спирмана
Существует несколько основных показателей, которые характеризуют связь между двумя переменными. Исторически первым является коэффициент линейной корреляции Пирсона. Его проходят еще в школе. Он был разработан К. Пирсоном и Дж. Юлом на основе работ Фр. Гальтона. Этот коэффициент позволяет увидеть взаимосвязь между рациональными числами, которые изменяются рационально. Он всегда больше -1 и меньше 1. Отрицательно число свидетельствует об обратно пропорциональной зависимости. Если коэффициент равен нулю, то связи между переменными нет. Равен положительному числу - имеет место прямо пропорциональная зависимость между исследуемыми величинами. Коэффициент ранговой корреляции Спирмана позволяет упростить расчеты за счет построения иерархии значений переменных.
Отношения между переменными
Корреляция помогает найти ответ на два вопроса. Во-первых, является ли связь между переменными положительной или отрицательной. Во-вторых, насколько сильна зависимость. Корреляционный анализ является мощным инструментом, с помощью которого можно получить эту важную информацию. Легко увидеть, что семейные доходы и расходы падают и растут пропорционально. Такая связь считается положительной. Напротив, при росте цены на товар, спрос на него падает. Такую связь называют отрицательной. Значения коэффициента корреляции находятся в пределах между -1 и 1. Нуль означает, что зависимости между исследуемыми величинами нет. Чем ближе полученный показатель к крайним значениям, тем сильнее связь (отрицательная или положительная). Об отсутствии зависимости свидетельствует коэффициент от -0,1 до 0,1. Нужно понимать, что такое значение свидетельствует только об отсутствии линейной связи.
Особенности применения
Использование обоих показателей сопряжено с определенными допущениями. Во-первых, наличие сильной связи, не обуславливает того факта, что одна величина определяет другую. Вполне может существовать третья величина, которая определяет каждую из них. Во-вторых, высокий коэффициент корреляции Пирсона не свидетельствует о причинно-следственной связи между исследуемыми переменными. В-третьих, он показывает исключительно линейную зависимость. Корреляция может использоваться для оценки значимых количественных данных (например, атмосферного давления, температуры воздуха), а не таких категорий, как пол или любимый цвет.
Множественный коэффициент корреляции
Пирсон и Спирман исследовали связь между двумя переменными. Но как действовать в том случае, если их три или даже больше. Здесь на помощь приходит множественный коэффициент корреляции. Например, на валовый национальный продукт влияют не только прямые иностранные инвестиции, но и монетарная и фискальная политика государства, а также уровень экспорта. Темп роста и объем ВВП - это результат взаимодействия целого ряда факторов. Однако нужно понимать, что модель множественной корреляции основывается на целом ряде упрощений и допущений. Во-первых, исключается мультиколлинеарность между величинами. Во-вторых, связь между зависимой и оказывающими на нее влияние переменными считается линейной.
Области использования корреляционно-регрессионного анализа
Данный метод нахождения взаимосвязи между величинами широко применяется в статистике. К нему чаще всего прибегают в трех основных случаях:
- Для тестирования причинно-следственных связей между значениями двух переменных. В результате исследователь надеется обнаружить линейную зависимость и вывести формулу, которая описывает эти отношения между величинами. Единицы их измерения могут быть различными.
- Для проверки наличия связи между величинами. В этом случае никто не определяет, какая переменная является зависимой. Может оказаться, что значение обеих величин обуславливает какой-то другой фактор.
- Для вывода уравнения. В этом случае можно просто подставить в него числа и узнать значения неизвестной переменной.
Человек в поисках причинно-следственной связи
Сознание устроено таким образом, что нам обязательно нужно объяснить события, которые происходят вокруг. Человек всегда ищет связь между картиной мира, в котором он живет, и получаемой информацией. Часто мозг создает порядок из хаоса. Он запросто может увидеть причинно-следственную связь там, где ее нет. Ученым приходится специально учиться преодолевать эту тенденцию. Способность оценивать связи между данными объективно необходима в академической карьере.
Предвзятость средств массовой информации
Рассмотрим, как наличие корреляционной связи может быть неправильно истолковано. Группу британских студентов, отличающихся плохим поведением, опросили относительно того, курят ли их родители. Потом тест опубликовали в газете. Результат показал сильную корреляцию между курением родителей и правонарушениями их детей. Профессор, который проводил это исследование, даже предложил поместить на пачки сигарет предупреждение об этом. Однако существует целый ряд проблем с таким выводом. Во-первых, корреляция не показывает, какая из величин является независимой. Поэтому вполне можно предположить, что пагубная привычка родителей вызвана непослушанием детей. Во-вторых, нельзя с уверенностью сказать, что обе проблемы не появились из-за какого-то третьего фактора. Например, низкого дохода семей. Следует отметить эмоциональный аспект первоначальных выводов профессора, который проводил исследование. Он был ярым противником курения. Поэтому нет ничего удивительного в том, что он интерпретировал результаты своего исследования именно так.
Выводы
Неправильное толкование корреляции как причинно-следственной связи между двумя переменными может стать причиной позорных ошибок в исследованиях. Проблема состоит в том, что оно лежит в самой основе человеческого сознания. Многие маркетинговые трюки построены именно на этой особенности. Понимание различия между причинно-следственной связью и корреляцией позволяет рационально анализировать информацию как в повседневной жизни, так и в профессиональной карьере.
Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между одной переменной и совокупностью других рассматриваемых переменных.Особое значение имеет расчет множественного коэффициента корреляции результативного признака y с факторными x 1 , x 2 ,…, x m , формула для определения которого в общем случае имеет вид
Y ) 2 " data-id="a;b" data-formul="sqrt(c-a/b)" data-r="R" data-const="c:1">Рассчитать свое значение
где ∑(y i -y x) 2 - необъясненная (остаточная) сумма квадратов отклонений, ∑(y i -y ) 2 - общая сумма квадратов отклонений.
Множественный коэффициент корреляции можно найти через корреляционные матрицы:
где ∆ r – определитель корреляционной матрицы; ∆ 11 – алгебраическое дополнение элемента r yy корреляционной матрицы.
Если рассматриваются лишь два факторных признака, то для вычисления множественного коэффициента корреляции можно использовать следующую формулу:
Построение множественного коэффициента корреляции целесообразно только в том случае, когда частные коэффициенты корреляции оказались значимыми, и связь между результативным признаком и факторами, включенными в модель, действительно существует.
Коэффициент детерминации
Общая формула: R 2 = RSS/TSS=1-ESS/TSSгде RSS - объясненная сумма квадратов отклонений, ESS - необъясненная (остаточная) сумма квадратов отклонений, TSS - общая сумма квадратов отклонений (TSS=RSS+ESS)
,
где r ij - парные коэффициенты корреляции между регрессорами x i и x j , a r i 0 - парные коэффициенты корреляции между регрессором x i и y ;
- скорректированный (нормированный) коэффициент детерминации.
Квадрат множественного коэффициента корреляции R² y|x 1 x 2 ...x m ≡R² называется множественным коэффициентом детерминации
; он показывает, какая доля дисперсии результативного признака y
объясняется влиянием факторных признаков x 1 , x 2 , …,x m . Заметим, что формула для вычисления коэффициента детерминации через соотношение остаточной и общей дисперсии результативного признака даст тот же результат.
Множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации изменяются в пределах от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем связь сильнее и, соответственно, тем точнее уравнение регрессии, построенное в дальнейшем, будет описывать зависимость y
от x 1 , x 2 , …,x m . Если значение множественного коэффициента корреляции невелико (меньше 0,3), это означает, что выбранный набор факторных признаков в недостаточной мере описывает вариацию результативного признака либо связь между факторными и результативной переменными является нелинейной.
Рассчитывается множественный коэффициент корреляции с помощью калькулятора . Значимость множественного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации проверяется с помощью критерия Фишера .
Какое из приведенных чисел может быть значением коэффициента множественной детерминации:
а) 0,4 ;
б) -1;
в) -2,7;
г) 2,7.
Множественный линейный коэффициент корреляции равен 0.75 . Какой процент вариации зависимой переменной у учтен в модели и обусловлен влиянием факторов х 1 и х 2 .
а) 56,2 (R 2 =0.75 2 =0.5625);
б) 75,0;
в) 37,5
Решение осуществляем с помощью калькулятора .
Видеоинструкция
1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения:
s = (X T X) -1 X T Y
Матрица X
| 1 | 474.61 | 428.16 |
| 1 | 474.3 | 441.04 |
| 1 | 393.93 | 371.08 |
| 1 | 403.87 | 412.53 |
| 1 | 428.61 | 534.51 |
| 1 | 475.37 | 583.03 |
| 1 | 476.57 | 600.25 |
| 1 | 549.98 | 612.33 |
| 1 | 578.39 | 618.54 |
| 1 | 581.06 | 579.44 |
Матрица Y
| 130.34 |
| 126.83 |
| 108.61 |
| 116.01 |
| 135.44 |
| 142.88 |
| 158.69 |
| 168.49 |
| 174.8 |
| 187.15 |
Матрица X T
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 474.61 | 474.3 | 393.93 | 403.87 | 428.61 | 475.37 | 476.57 | 549.98 | 578.39 | 581.06 |
| 428.16 | 441.04 | 371.08 | 412.53 | 534.51 | 583.03 | 600.25 | 612.33 | 618.54 | 579.44 |
Умножаем матрицы, (X T X)
В матрице, (X T X) число 10, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X T и 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы, (X T Y)
Находим определитель det(X T X) T = 14407342213.13
Находим обратную матрицу
(X T X) -1
| 5.8295 | -0.0116 | -0.0002 |
| -0.0116 | 0.0001 | -0 |
| -0.0002 | -0 | 0 |
Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)
Y = -32.2394 + 0.2412X 1 + 0.1151X 2
2. Матрица парных коэффициентов корреляции .
Число наблюдений n = 10. Число независимых переменных в модели ровно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (10 х 4). Матрица Х T Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.
Матрица составленная из Y и X
| 1 | 130.34 | 474.61 | 428.16 |
| 1 | 126.83 | 474.3 | 441.04 |
| 1 | 108.61 | 393.93 | 371.08 |
| 1 | 116.01 | 403.87 | 412.53 |
| 1 | 135.44 | 428.61 | 534.51 |
| 1 | 142.88 | 475.37 | 583.03 |
| 1 | 158.69 | 476.57 | 600.25 |
| 1 | 168.49 | 549.98 | 612.33 |
| 1 | 174.8 | 578.39 | 618.54 |
| 1 | 187.15 | 581.06 | 579.44 |
Транспонированная матрица.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 130.34 | 126.83 | 108.61 | 116.01 | 135.44 | 142.88 | 158.69 | 168.49 | 174.8 | 187.15 |
| 474.61 | 474.3 | 393.93 | 403.87 | 428.61 | 475.37 | 476.57 | 549.98 | 578.39 | 581.06 |
| 428.16 | 441.04 | 371.08 | 412.53 | 534.51 | 583.03 | 600.25 | 612.33 | 618.54 | 579.44 |
Матрица A T A.
Найдем парные
коэффициенты корреляции.
Для y и x 1
Средние значения
Дисперсия
Коэффициент корреляции
Для y и x 2
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции
Для x 1 и x 2
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции
Матрица парных коэффициентов корреляции.
| - | y | x 1 | x 2 |
| y | 1 | 0.93 | 0.88 |
| x 1 | 0.93 | 1 | 0.75 |
| x 2 | 0.88 | 0.75 | 1 |
Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых r yxi < 0.5 исключают из модели.
Коллинеарность - зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:
r(x j y) > r(x k x j) ; r(x k y) > r(x k x j).
Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр x k или x j , связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.
3. Анализ параметров уравнения регрессии. Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка e = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)
| -1.19 |
| -6.11 |
| 3.11 |
| 3.34 |
| 2.76 |
| -6.66 |
| 6.88 |
| -2.42 |
| -3.68 |
| 12.52 |
s e 2 = (Y - X*s) T (Y - X*s)
Несмещенная оценка дисперсии равна
Оценка среднеквадратичного отклонения равна (Стандартная ошибка для оценки Y)
Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = σo(X T X) -1
Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2 i = K ii , т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле
Частные коэффициент эластичности E 1 < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Частные коэффициент эластичности E 2 < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Индекс множественной корреляции
R > 0.9, связь между признаком Y факторами X сильная.Коэффициент детерминации: R 2 = 0.97 2 = 0.95, т.е. в 96% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая.
Значимость коэффициента корреляции.
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;a) = (7;0.05) = 1.895
Поскольку Tнабл > Tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим.
4. Оценка значения результативного признака при заданных значениях факторов.
Y(0.0,0.0,) = -32.24 + 0.2412 * 0.0 + 0.1151 * 0.0 = -32.24
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для индивидуального значения результативного признака.
S 2 =
X 0 T (X T X) -1 X 0
где X 0 T = [ 1 0.0 0.0]
(X T X) -1
| 5.8295 | -0.0116 | -0.0002 |
| -0.0116 | 0.0001 | -0 |
| -0.0002 | -0 | 0 |
(Y - t*S Y ; Y + t*S Y)
(-32.24 - 1.895*16.71 ; -32.24 + 1.895*16.71)
(-63.91;-0.57)
Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для среднего значения результативного признака.
(-32.24 - 1.895*18.08 ; -32.24 + 1.895*18.08)
(-66.5;2.02)
5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).
1) t-статистика
Статистическая значимость коэффициента регрессии b 0 подтверждается
Статистическая значимость коэффициента регрессии b 1 подтверждается
Статистическая значимость коэффициента регрессии b 2 подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b i - t i S i ; b i + t i S i)
b 0: (-44.2749;-20.2039)
b 1: (0.204;0.2784)
b 2: (0.0887;0.1415)
2) F-статистика. Критерий Фишера
Fkp = 4.35
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно
6. Проверка на наличие гетероскедастичности методом графического анализа остатков. В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X i , а по оси ординат квадраты отклонения e i 2 .
| y | y(x) | e=y-y(x) | e 2 |
| 130.34 | 131.53 | -1.19 | 1.43 |
| 126.83 | 132.94 | -6.11 | 37.35 |
| 108.61 | 105.5 | 3.11 | 9.67 |
| 116.01 | 112.67 | 3.34 | 11.16 |
| 135.44 | 132.68 | 2.76 | 7.63 |
| 142.88 | 149.54 | -6.66 | 44.39 |
| 158.69 | 151.81 | 6.88 | 47.28 |
| 168.49 | 170.91 | -2.42 | 5.87 |
| 174.8 | 178.48 | -3.68 | 13.56 |
| 187.15 | 174.63 | 12.52 | 156.86 |
Ввод данных
Результат:
Отмена
Для определения степени зависимости между несколькими показателями применяется множественные коэффициенты корреляции. Их затем сводят в отдельную таблицу, которая имеет название корреляционной матрицы. Наименованиями строк и столбцов такой матрицы являются названия параметров, зависимость которых друг от друга устанавливается. На пересечении строк и столбцов располагаются соответствующие коэффициенты корреляции. Давайте выясним, как можно провести подобный расчет с помощью инструментов Excel.
Принято следующим образом определять уровень взаимосвязи между различными показателями, в зависимости от коэффициента корреляции:
- 0 – 0,3 – связь отсутствует;
- 0,3 – 0,5 – связь слабая;
- 0,5 – 0,7 – средняя связь;
- 0,7 – 0,9 – высокая;
- 0,9 – 1 – очень сильная.
Если корреляционный коэффициент отрицательный, то это значит, что связь параметров обратная.
Для того, чтобы составить корреляционную матрицу в Экселе, используется один инструмент, входящий в пакет «Анализ данных» . Он так и называется – «Корреляция» . Давайте узнаем, как с помощью него можно вычислить показатели множественной корреляции.
Этап 1: активация пакета анализа
Сразу нужно сказать, что по умолчанию пакет «Анализ данных» отключен. Поэтому, прежде чем приступить к процедуре непосредственного вычисления коэффициентов корреляции, нужно его активировать. К сожалению, далеко не каждый пользователь знает, как это делать. Поэтому мы остановимся на данном вопросе.
После указанного действия пакет инструментов «Анализ данных» будет активирован.
Этап 2: расчет коэффициента
Теперь можно переходить непосредственно к расчету множественного коэффициента корреляции. Давайте на примере представленной ниже таблицы показателей производительности труда, фондовооруженности и энерговооруженности на различных предприятиях рассчитаем множественный коэффициент корреляции указанных факторов.
Этап 3: анализ полученного результата
Теперь давайте разберемся, как понимать тот результат, который мы получили в процессе обработки данных инструментом «Корреляция» в программе Excel.
Как видим из таблицы, коэффициент корреляции фондовооруженности (Столбец 2 ) и энерговооруженности (Столбец 1 ) составляет 0,92, что соответствует очень сильной взаимосвязи. Между производительностью труда (Столбец 3 ) и энерговооруженностью (Столбец 1 ) данный показатель равен 0,72, что является высокой степенью зависимости. Коэффициент корреляции между производительностью труда (Столбец 3 ) и фондовооруженностью (Столбец 2 ) равен 0,88, что тоже соответствует высокой степени зависимости. Таким образом, можно сказать, что зависимость между всеми изучаемыми факторами прослеживается довольно сильная.
Как видим, пакет «Анализ данных» в Экселе представляет собой очень удобный и довольно легкий в обращении инструмент для определения множественного коэффициента корреляции. С его же помощью можно производить расчет и обычной корреляции между двумя факторами.
Автокорреляция - это корреляционная зависимость уровней ряда от предыдущих значений.
Аддитивная модель временного ряда имеет вид : Y=T+S+E
Автокорреляция имеется когда каждое следующее значение остатков
Аддитивная модель временного ряда – это модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент.
Аддитивная модель временного ряда строится: амплитуда сезонных колебаний возрастает и уменьшается
Аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны, известна как.. уравнение.
Атрибутивная переменная 1 может употребляться, когда: независимая переменная качественна;
В каких пределах изменяется коэффициент детерминанта : от 0 до 1.
Величина доверительного интервала позволяет установить предположение о том, что: интервал содержит оценку параметра неизвестного.
Внутренне нелинейная регрессия - это истинно нелинейная регрессия, которая не может быть приведена к линейной регрессии преобразованием переменных и введением новых переменных.
Временной ряд - это последовательность значений признака (результативного переменного), принимаемых в течение последовательных моментов времени или периодов.
Выборочное значение Rxy не > 1, |R| < 1
В каком случае модель считается адекватной Fрасч>Fтабл
В результате автокорреляции имеем неэффективные оценки параметров
В хорошо подобранной модели остатки должны и меть нормальный закон
В эконометрическом анализе Xj рассматриваются как случайные величины
Величина рассчитанная по формуле r =…является оценкой парного коэф. Корреляции
Выборочный коэффициент корреляции r по абсолютной величине не превосходит единицы.
В каком случае функцию у называют многозначной аргумента х если одному и тому же значению х соответствует несколько значений у.
В эконометрических моделях эндогенная переменная рассматривается как как случайная величина, так и неслучайная.
В уравнении системы экономич.уравнений Д=1,число эндогенных переменных,Д-число отсутст.переменных.Это уравнение: индентифицируемое.
Выборочный коэф. корреляции r по абсолютной величине : не превосходит единицы.
В экономико-математической модели процессы, зависящие от внешних условий, но независящие от внутренней структуры изучаемого явления или процесса, описываются через экзогенные переменные.
Выборочное среднее есть ...оценка среднего теоретического (математического ожидания).
Выборочной совокупности V=(1,0,3,2,4,3,1,3,2,3,3,4,4,0,5,2,4,3,4,3,3) определить выборочный коэффициент эксцесса... 2.714
Выберете модель с лагами: Уt= a+b0x1…….(самая длинная формула)
Всякая функция вида g(x) = E(Y | X = x), которая описывает регрессионную зависимость для двумерного распределения пары случайных величин (Y,X), причем символом Е - обозначена операция вычисления среднего значения, называется функция корреляции.
В каких пределах изменяется множественный коэффициент корреляции R ответ2
R≤0(ответ1) -1≤R≤+1 (ответ2) R≥0 (ответ3)
Верно ли, что одной из целей регрессионного анализа является проверка статических гипотез о регрессии? Ответ: да
Гетероскедастичность - нарушение постоянства дисперсии для всех наблюдений.
Гетероскедастичность присутствует когда: * когда дисперсия остатков различна.дисперсия случайных остатков не постоянна; мы сторим неправильную версию истиной модели; две или больше независим. переменные имеют высокую корреляцию; независимая переменная исчисляется с ошибкой.
Гомоскедастичность - когда дисперсия остатков постоянна и одинакова для всех … наблюдений.постоянство дисперсии для всех наблюдений, или одинаковость дисперсии каждого отклонения (остатка) для всех значений факторных переменных.
Гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков доказана, если Dтабл2...
Дисперсия - показатель вариации.
Для определения параметров не идентифицированной модели примен.: не один из сущ. методов применить нельзя.
Для оценки … изменения y от x вводится: коэффициент эластичности.
Для оценки качества модели используется F-критерий Фишера. Что можно сказать о регрессионной модели, если ее F-отношение больше F-критического модель адекватна исходным данным.
Для проверки значимости отдельных параметров регрессии используется : t-тест.
Доверительная вероятность – это вероятность того, что истинное значение результативного показателя попадёт в расчётный прогнозный интервал.
Для определения параметров структурную форму модели необходимо преобразовать в приведенную форму модели
Для определения параметров точно идентифицируемой модели: применяется косвенный МНК (косвенный МНК);
Для парной регрессии ơ² b равно ….(xi-x¯)²)
Для регрессии y = a + bx из n наблюдений интервал доверия (1-а)% для коэф. b составит b±t…….·ơb
Для регрессии из n наблюдений и m независимых переменных существует такая связь между R ² и F ..=[(n-m-1)/m](R²/(1- R²)]
Допустим что для описания одного экономического процесса пригодны 2 модели. Обе адекватны по f критерию фишера. какой предоставить преимущество, у той у кот.: большее значения F критерия
Допустим, что зависимость расходов от дохода описывается функцией y = a + bx среднее значение у=2…равняется 9
Допустим, что зависим. расходов от дохода описывается а+в/х. Сред.знач.у=3,ср.знач.х=2,коэф.эластич.расходов от дохода равен : -0,5
Для оценки качества модели используется F-критерий Фишера. Что можно сказать о регрессионной модели, если ее F-отношение больше F-критического модель адекватна исходным данным
Для оценки линейной статистической зависимости между одной случайной величиной и линейной комбинацией других случайных величин используют … Коэффициент корреляции множественный R
Для определения параметров СВЕРХ идентифицируемой модели: применяется двухшаговый МНК.
Добавить в таблицу дисперсионного анализа пропущенные значения, вычислить множественный коэффициент корреляции R (детерминации R V 2) и проверить его значимость. Какой вывод можно сделать о качестве модели?
|
источник |
Число степеней свободы |
Сумма квадратов |
Средние квадраты |
F-значение |
|
регрессия |
||||
Ответ: R2=0.719, модель адекватна данным
С помощью значений таблицы (рис. Выше) дисперсионного анализа определить значимость регрессии, используя F - критерий. Критическое значение Fa,v1,v2 =4.3 при при уровне значимости a=0.05 и степенях свободы v1=1 и v2=23. Какой вывод можно сделать о качестве используемой моделей регрессии.
Ответ: F=2.5, модель неадекватна данным
Если Rxy положителен, то с ростом x увеличивается y.
Если качественный фактор имеет 3 градации, то необходимое число фиктивных переменных 2
Если регрессионная модель имеет показательную зависимость, то метод МНК применим после приведения к линейному виду.
Если в уравнении регрессии имеется несущественная переменная, то она обнаруживает себя по низкому значению T статистки.
Если коэффициент корреляции положителен, то в линейной модели с ростом х увеличивается у.
Если мы заинтересованы в использовании атрибутивных переменных для отображения эффекта разных месяцев мы должны использовать: 11 атрибутивных методов.
Если коэффициент регрессии составляет 2.4 с дисперсией 0.8, то значение критерия Стьюдента составит:
Ответ: первый вариант ответа
Значимость уравнения регрессии - действительное наличие исследуемой зависимости, а не просто случайное совпадение факторов, имитирующее зависимость, которая фактически не существует.
Значимость уравнения регрессии в целом оценивают : -F-критерий Фишера
Значимость частных и парных коэф . корреляции поверен. с помощью: -t-критерия Стьюдента
Зависимость между коэффициентом множественной детерминации (D ) и корреляции (R ) описывается следующим методом R=√D
Интеркорреляция и связанная с ней мультиколлинеарность - это приближающаяся к полной линейной зависимости тесная связь между факторами.
Корреляция - стохастическая зависимость, являющаяся обобщением строго детерминированной функциональной зависимости посредством включения вероятностной (случайной) компоненты.
Коэффициент автокорреляции: характеризует тесноту линейной связи текущего и предстоящего уровней ряда.
Коэффициент детерминации - показатель тесноты стохастической связи в общем случае нелинейной регрессии
Коэффициент детерминации : - это квадрат множественного коэф. корреляции. квадрат парного коэффициента корреляции.
Коэффициент детерминации – это величина, которая характеризует связь между зависимыми и независимыми переменными.
Коэффициент детерминации R показывает долю вариаций зависимой переменной y, объяснимую влиянием факторов, включаемых в модель.
Коэффициент детерминации изменяется в пределах : - от 0 до 1
Коэффициент доверия - это коэффициент, который связывает линейной зависимостью предельную и среднюю ошибки, выясняет смысл предельной ошибки, характеризующей точность оценки, и является аргументом распределения (чаще всего, интеграла вероятностей). Именно эта вероятность и есть степень надежности оценки.
Коэффициент доверия (нормированное отклонение) - результат деления отклонения от среднего на стандартное отклонение, содержательно характеризует степень надежности (уверенности) полученной оценки.
Коэффициент корелляции Rxy используется для определения полноты связи X и Y.
Коэффициент корелляции равный 1 означает , что: -существует функциональная зависимость.
Коэффициент корелляции равный 0 означает, что: - отсутствует линейная связь.
Коэф. корреляции, равный нулю, означает, что между переменными ситуация не определена.
Коэф. корреляции, равный -1,означает, что между переменными функциональная зависимость.
Коэффициент корреляции рассчитывается для измерения степени линейной взаимосвязи между двумя случайными переменными.
Коэффициент корелляции меняется в пределах: от -1 до 1
Коэффициент корреляции используется для: определения тесноты связи между случайными величинами X и Y.
Коэффициэнт корреляции- это I :
Ответ: величина, которая характеризует связь между независимой и зависимойIзависящейIпеременными;
Коэффициент линейной корреляции - показатель тесноты стохастической связи между фактором и результатом в случае линейной регрессии.
Коэффициент регрессии - коэффициент при факторной переменной в модели линейной регрессии.
Коэффициент регрессии b показывает: на сколько единиц увеличивается y, если x увеличивается на 1.
Какое из уравнений регрессии явл. степенным: y=a˳aͯ¹a
Какой метод используют для оценки параметров регрессионной модели метод наименьших квадратов МНК.
Какие переменные используются в регрессионной модели одна экзогенная и одна или несколько эндогенных.
Классический метод к оцениванию параметров регрессии основан на: - метод наименьших квадратов.
Коэффициент регрессии изменяется в пределах: применяется любое значение; от 0 до 1; от -1 до 1;
Коэффициент эластичности измеряется в : неизмеримая величина.
Критерий Дарвина-Чотсона применяется для : - отбора факторов в модель; или - определения автокорреляции в остатках
Критерий Стьюдента - проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии и значимости коэффициента корреляции.
Критерий Фишера показывает : статистическую значимость модели в целом, на основе совокупной достоверности всех ее коэффициентов
Критерий Фишера - способ статистической проверки значимости уравнения регрессии, при котором расчетное (фактическое) значение F-отношения сравнивается с его критическим (теоретическим) значением.
Какая статистическая характеристика выражается формулой R ²=… коэффициент детерминации
Какая статистическая хар-ка выражена формулой : r xy = Ca (x ; y ) разделить на корень Var (x )* Var (y ): коэффициент. Корреляции
Какая функция используется при моделировании моделей с постоянным ростом степенная
Какие точки исключаются из временного ряда процедурой сглаживания и в начале, и в конце.
Количество степеней свободы для t статистики при проверки значимости параметров регрессии из 35 наблюдений и 3 независимых переменных 31;
Количество степеней свободы знаменателя F -статистики в регрессии из 50 наблюдений и 4 независимых переменных: 45
Компоненты вектора Ei и меют нормальный закон.
Какая переменная соответствует понятию функция зависимая переменная .
Какая модель не относится к классу эконометрических моделей физическая модель .
Какие экономико-математические модели не относятся к эконометрическим теоретико-экономические модели.
Какая модель не относиться к классу эконометрических моделей? Ответ: физическая модель.
Как называют измеренное значение варьирующего признака? Ответ: варианта
Какую статистику используют для оценки теоретического значения генеральной совокупности, определяемого формулой D(x)=m{(x-m(x)) 2 } Выборочный коэффициент ассиметрии
Как называется статистическое исследование структуры, связей явлений, тенденций, закономерностей экономических явлений и процессов? Прогноз статистический
Лаговые переменные : - это переменные, относящиеся к предыдущим моментам времени; или -это значения зависим. перемен. за предшествующий период времени.
Линейная регрессия - это связь (регрессия), которая представлена уравнением прямой линии и выражает простейшую линейную зависимость.
