Признак делимости на 2

Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль . В остальных случаях — не делится.

Например:

Число 52 738 делится на 2 так, как последняя цифра 8 — четная.
7 691 не делится на 2 , так 1 — цифра нечетная.
1 250 делится на 2 , так как последняя цифра нуль.

Признаки делимости на 3

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3

Например:

Число 17 835 делится на 3 , так как сумма его цифр

\[ 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 \]

делится на 3 .

Признак делимости на 4

Число делится на 4 , если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4 . В остальных случаях — не делится.

Примеры:

31 700 делится на 4 , так как оканчивается двумя нулями.
4 215 634 не делится на 4 , так как последние две цифры дают число 34 , не делящееся на 4 .
16 608 делится на 4 , так как последние две цифры 08 дают число 8 , делящееся на 4 .

Признак делимости на 5

На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5 . Другие — не делятся.

Пример:

240 делится на 5 (последняя цифра 0 ).
554 не делится на 5 (последняя цифра 4 ).

Признак делимости на 6

Число делится на 6 , если оно делится одновременно и на 2 и на 3 . В противном случае — не делится.

Например:

126 делится на 6 , так как оно делится на 2 и на 3 .

Признак делимости на 8

Подобен признаку делимости на 4 . Число делится на 8 , если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8 . В остальных случаях — не делится.

Примеры:

125 000 делится на 8 (три нуля в конце).
170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4 , не делящееся на 8 ).
111 120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120 , делящееся на 8 ).

Примечания. Можно указать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и т. д., но они не имеют практического значения.

Признак делимости на 9

На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9 .

Примеры:

Число 106 499 не делится на 9 , так как сумма его цифр (29 ) не делится на 9 . Число 52 632 делится на 9 , так как сумма его цифр (18 ) делится на 9 .

Признаки делимости на 10, 100 и 1000

На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль , на 100 — только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 — только те, у которых три последние цифры нули.

Примеры:

8200 делится на 10 и на 100 .
542 000 делится на 10 , 100 , 1000 .

Признак делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумма цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11 .

Примеры:

Число 103 785 делится на 11 , так как сумма цифр, занимающих нечетные места,

m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на n

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Например:

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Например :

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Например :

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

Например:

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.

Например :

Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11 .

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Например:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.

Например:

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признаки делимости чисел – это правила, позволяющие не производя деления сравнительно быстро выяснить, делится ли это число на заданное без остатка.
Некоторые из признаков делимости довольно просты, некоторые сложнее. На этой странице Вы найдете как признаки делимости простых чисел, таких как, например, 2, 3, 5, 7, 11, так и признаки делимости составных чисел, таких, как 6 или 12.
Надеюсь, данная информация будет Вам полезной.
Приятного обучения!

Признак делимости на 2

Это один из самых простых признаков делимости. Звучит он так: если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то оно чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.
Другими словами, если последняя цифра числа равна 2 , 4 , 6 , 8 или 0 - число делится на 2, если нет, то не делится
Например, числа: 234 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 делятся на 2, потому что они чётные.
А числа: 235 , 137 , 2303
на 2 не делятся, потому что они нечетные.

Признак делимости на 3

У этого признака делимости совсем другие правила: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
А значит, чтобы понять, делится ли число на 3, надо лишь сложить между собой цифры, из которых оно состоит.
Выглядит это так: 3987 и 141 делятся на 3, потому что в первом случае 3+9+8+7=27 (27:3=9 - делится без остака на 3), а во втором 1+4+1=6 (6:3=2 - тоже делится без остака на 3).
А вот числа: 235 и 566 на 3 не делятся, потому как 2+3+5=10 и 5+6+6=17 (а мы знаем, что ни 10 ни 17 не делятся на 3 без остатка).

Признак делимости на 4

Этот признак делимости будет посложнее. Если последние 2 цифры числа образуют число, делящееся на 4 или это 00, то и число делится на 4, в противном случае данное число не делится на 4 без остатка.
Например: 100 и 364 делятся на 4, потому что в первом случае число оканчивается на 00 , а во втором на 64 , которое в свою очередь делится на 4 без остатка (64:4=16)
Числа 357 и 886 не делятся на 4, потому что ни 57 ни 86 на 4 не делятся, а значит не соответствуют данному признаку делимости.

Признак делимости на 5

И опять перед нами довольно простой признак делимости: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Это значит, что любые числа, оканчивающиеся цифрами 0 и 5 , например 12355 и 430 , подпадают под правило и делятся на 5.
А, к примеру, 15493 и 564 не оканчиваются на цифру 5 или 0, а значит они не могут делиться на 5 без остатка.

Признак делимости на 6

Перед нами составное число 6, которое является произведением чисел 2 и 3. Поэтому признак делимости на 6 тоже является составным: для того, чтобы число делилось на 6, оно должно соответствовать двум признакам делимости одновременно: признаку делимости на 2 и признаку делимости на 3. При этом обратите внимание, что такое составное число как 4 имеет индивидуальный признак делимости, ведь оно является призведением числа 2 на само себя. Но вернемся к признаку делимости на 6.
Числа 138 и 474 чётные и отвечают признакам делимости на 3 (1+3+8=12, 12:3=4 и 4+7+4=15, 15:3=5), а значит они делятся на 6. Зато 123 и 447 хоть и делятся на 3 (1+2+3=6, 6:3=2 и 4+4+7=15, 15:3=5), но они нечётные, а значит не соответсвуют признаку делимости на 2, а следовательно и не соответсвуют признаку делимости на 6.

Признак делимости на 7

Этот признак делимости более сложный: число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков этого числа делится на 7 или равен 0.
Звучит довольно запутанно, но на практике просто. Смотрите сами: число 95 9 делится на 7, потому что 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 делится на 7 без остатка). Причем если с полученным во время преобразований числом возникли сложности (из-за его размера сложно понять, делится оно на 7 или нет, то данную процедуру можно продолжать столько раз, сколько Вы сочтете нужным).
Например, 45 5 и 4580 1 обладают признаками делимости на 7. В первом случае все довольно просто: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Во втором случае мы поступим так: 4580 -2*1=4580-2=4578. Нам сложно понять, делится ли 457 8 на 7, поэтому повторим процесс: 457 -2*8=457-16=441. И опять воспользуемся признаком делимости, так как перед нами пока еще трехзначное число 44 1. Итак, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, т.е. 42 делится на 7 без остатка, а значит и 45801 делится на 7.
А вот числа 11 1 и 34 5 не делятся на 7, потому что 11 -2*1=11-2=9 (9 не делится без остатка на 7) и 34 -2*5=34-10=24 (24 не делится без остатка на 7).

Признак делимости на 8

Признак делимости на 8 звучит так: если последние 3 цифры образуют число, делящееся на 8, или это 000, то заданное число делится на 8.
Числа 1000 или 1088 делятся на 8: первое оканчивается на 000 , у второго 88 :8=11 (делится на 8 без остатка).
А вот числа 1100 или 4757 не делятся на 8,так как числа 100 и 757 не делятся без остатка на 8.

Признак делимости на 9

Этот признак делимости схож с признаком делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Например: 3987 и 144 делятся на 9, потому что в первом случае 3+9+8+7=27 (27:9=3 - делится без остака на 9), а во втором 1+4+4=9 (9:9=1 - тоже делится без остака на 9).
А вот числа: 235 и 141 на 9 не делятся, потому как 2+3+5=10 и 1+4+1=6 (а мы знаем, что ни 10 ни 6 не делятся на 9 без остатка).

Признаки делимости на 10, 100, 1000 и другие разрядные единицы

Данные признаки делимости я объединил потому, что их можно описать одинаково: число делится на разрядную единицу, если количество нулей на конце числа больше или равно количеству нулей у заданной разрядной единицы.
Другими словами, например, мы имеем такие числа: 6540 , 46400 , 867000 , 6450 . из них все делятся на 10 ; 46400 и 867000 делятся еще и на 100 ; и лишь одно из них - 867000 делится на 1000 .
Любые числа, у которых количество нулей на конце меньше чем у разрядной единицы, не делятся на эту разрядную единицу, например 60030 и 793 не делятся 100 .

Признак делимости на 11

Для того, чтобы выяснить, делится ли число на 11, надо получить разность сумм четных и нечетных цифр этого числа. Если данная разность равна 0 или делится на 11 без остатка, то и само число делится на 11 без остатка.
Чтобы было понятнее, предлагаю рассмотреть примеры: 2 35 4 делится на 11, потому что (2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 тоже делится на 11, так как (9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
А вот 11 1 или 4 35 4 не делятся на 11, так как в первом случае у нас получается (1+1)-1 =1, а во втором (4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Признак делимости на 12

Число 12 является составным. Его признаком делимости является соответствие признакам делимости на 3 и на 4 одновременно.
Например 300 и 636 соответствуют и признакам делимости на 4 (последние 2 цифры это нули или делятся на 4) и признакам делимости на 3 (сумма цифр и первого и втророго числа делятся на 3), а занчит, они делятся на 12 без остатка.
А вот 200 или 630 не делятся на 12, потому что в первом случае число отвечает лишь признаку делимости на 4, а во втором - лишь признаку делимости на 3. но не обоим признакам одновременно.

Признак делимости на 13

Признаком делимости на 13 является то, что если число десятков числа, сложенное с умноженными на 4 единицами этого числа, будет кратно 13 или равно 0, то и само число делится на 13.
Возьмем для примера 70 2. Итак, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 делится без остатка на 13), значит и 70 2 делится на 13 без остатка. Еще пример - число 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Число 130 делится на 13 без остатка, а значит заданное число соответсвует признаку делимости на 13.
Если же взять числа 12 5 или 21 2, то получаем 12 +4*5=32 и 21 +4*2=29 соответсвенно, и ни 32 ни 29 не делятся на 13 без остатка, а значит и заданные числа не делятся без остатка на 13.

Делимость чисел

Как видно из вышеперечисленного, можно предположить, что к любому из натуральных чисел можно подобрать свой индивидуальный признак делимости или же "составной" признак, если число кратно нескольким разным числам. Но как показывает практика, в основном чем больше число, тем сложнее его признак. Возможно, время,потраченное на проверку признака делимости, может оказаться равно или больше чем само деление. Поэтому мы и используем обычно простейшие из признаков делимости.

Серию статей о признаках делимости продолжает признак делимости на 3 . В этой статье сначала дана формулировка признака делимости на 3 , и приведены примеры применения этого признака при выяснении, какие из данных целых чисел делятся на 3 , а какие – нет. Дальше дано доказательство признака делимости на 3 . Также рассмотрены подходы к установлению делимости на 3 чисел, заданных как значение некоторого выражения.

Навигация по странице.

Признак делимости на 3, примеры

Начнем с формулировки признака делимости на 3 : целое число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3 , если же сумма цифр данного числа не делится на 3 , то и само число не делится на 3 .

Из приведенной формулировки понятно, что признаком делимости на 3 не удастся воспользоваться без умения выполнять . Также для успешного применения признака делимости на 3 нужно знать, что из всех на 3 делятся числа 3 , 6 и 9 , а числа 1 , 2 , 4 , 5 , 7 и 8 – не делятся на 3 .

Теперь можно рассмотреть простейшие примеры применения признака делимости на 3 . Выясним, делится ли на 3 число −42 . Для этого вычисляем сумму цифр числа −42 , она равна 4+2=6 . Так как 6 делится на 3 , то в силу признака делимости на 3 можно утверждать, что и число −42 делится на 3 . А вот целое положительное число 71 на 3 не делится, так как сумма его цифр равна 7+1=8 , а 8 не делится на 3 .

А делится ли на 3 число 0 ? Чтобы ответить на этот вопрос, признак делимости на 3 не понадобится, здесь нужно вспомнить соответствующее свойство делимости , которое утверждает, что нуль делится на любое целое число. Таким образом, 0 делится на 3 .

В некоторых случаях чтобы показать, что данное число обладает или не обладает способностью делиться на 3 , к признаку делимости на 3 приходится обращаться несколько раз подряд. Приведем пример.

Пример.

Покажите, что число 907 444 812 делится на 3 .

Решение.

Сумма цифр числа 907 444 812 равна 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Чтобы выяснить, делится ли 39 на 3 , вычислим его сумму цифр: 3+9=12 . А чтобы узнать, делится ли 12 на 3 , находим сумму цифр числа 12 , имеем 1+2=3 . Так как мы получили число 3 , которое делится на 3 , то в силу признака делимости на 3 число 12 делится на 3 . Следовательно, 39 делится на 3 , так как сумма его цифр равна 12 , а 12 делится на 3 . Наконец, 907 333 812 делится на 3 , так как сумма его цифр равна 39 , а 39 делится на 3 .

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Пример.

Делится ли на 3 число −543 205 ?

Решение.

Вычислим сумму цифр данного числа: 5+4+3+2+0+5=19 . В свою очередь сумма цифр числа 19 равна 1+9=10 , а сумма цифр числа 10 равна 1+0=1 . Так как мы получили число 1 , которое не делится на 3 , из признака делимости на 3 следует, что 10 не делится на 3 . Поэтому 19 не делится на 3 , так как сумма его цифр равна 10 , а 10 не делится на 3 . Следовательно, исходное число −543 205 не делится на 3 , так как сумма его цифр, равная 19 , не делится на 3 .

Ответ:

Нет.

Стоит заметить, что непосредственное деление данного числа на 3 также позволяет сделать вывод о том, делится ли данное число на 3 нацело, или нет. Этим мы хотим сказать, что не нужно пренебрегать делением в пользу признака делимости на 3 . В последнем примере, 543 205 на 3 , мы бы убедились, что 543 205 не делится нацело на 3 , откуда можно было бы сказать, что и −543 205 не делится на 3 .

Доказательство признака делимости на 3

Доказать признак делимости на 3 нам поможет следующее представление числа a . Любое натуральное число a мы можем , после чего позволяет получить представление вида , где a n , a n−1 , …, a 0 – цифры, стоящие слева направо в записи числа a . Для наглядности приведем пример такого представления: 528=500+20+8=5·100+2·10+8 .

Теперь запишем ряд достаточно очевидных равенств: 10=9+1=3·3+1 , 100=99+1=33·3+1 , 1 000=999+1=333·3+1 и так далее.

Подставив в равенство a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 вместо 10 , 100 , 1 000 и так далее выражения 3·3+1 , 33·3+1 , 999+1=333·3+1 и так далее, получим
.

И позволяют полученное равенство переписать так:

Выражение есть сумма цифр числа a . Обозначим ее для краткости и удобства буквой А , то есть, примем . Тогда получим представление числа a вида , которым и воспользуемся при доказательстве признака делимости на 3 .

Также для доказательства признака делимости на 3 нам потребуются следующие свойства делимости:

• чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы a делился на модуль числа b ;
• если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Теперь мы полностью подготовлены и можем провести доказательство признака делимости на 3 , для удобства этот признак сформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 3 .

Теорема.

Для делимости целого числа a на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 .

Доказательство.

Для a=0 теорема очевидна.

Если a отлично от нуля, то модуль числа a является натуральным числом, тогда возможно представление , где - сумма цифр числа a .

Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то - целое число, тогда по определению делимости произведение делится на 3 при любых a 0 , a 1 , …, a n .

Если сумма цифр числа a делится на 3 , то есть, А делится на 3 , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, делится на 3 , следовательно, a делится на 3 . Так доказана достаточность.

Если a делится на 3 , то и делится на 3 , тогда в силу того же свойства делимости число А делится на 3 , то есть, сумма цифр числа a делится на 3 . Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 3

Иногда целые числа задаются не в явном виде, а как значение некоторого при данном значении переменной. Например, значение выражения при некотором натуральном n является натуральным числом. Понятно, что при таком задании чисел для установления их делимости на 3 не поможет непосредственное деление на 3 , да и признак делимости на 3 удастся применить далеко не всегда. Сейчас мы рассмотрим несколько подходов к решению подобных задач.

Суть этих подходов заключается в представлении исходного выражения в виде произведения нескольких множителей, и если хотя бы один из множителей будет делиться на 3 , то в силу соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости на 3 всего произведения.

Иногда реализовать такой подход позволяет . Рассмотрим решение примера.

Пример.

Делится ли значение выражения на 3 при любом натуральном n ?

Решение.

Очевидно равенство . Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

В последнем выражении мы можем вынести 3 за скобки, при этом получим . Полученное произведение делится на 3 , так как содержит множитель 3 , а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Следовательно, делится на 3 при любом натуральном n .

Ответ:

Да.

Во многих случаях доказать делимость на 3 позволяет . Разберем его применение при решении примера.

Пример.

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения делится на 3 .

Решение.

Для доказательства применим метод математической индукции.

При n=1 значение выражения равно , а 6 делится на 3 .

Предположим, что значение выражения делится на 3 при n=k , то есть, делится на 3 .

Учитывая, что делится на 3 , покажем, что значение выражения при n=k+1 делится на 3 , то есть, покажем, что делится на 3 .