Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С , элемент которой, находящийся на пересечении i -й строки и j -го столбца, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j -го столбца матрицы В .
Из этого определения следует формула элемента матрицы C :
Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .
Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B , если
,
.
Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:
На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B , произведения которых складываются для получения элемента матрицы C .
В результате получаем элементы произведения матриц:
Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:
.
Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .
Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:
Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:
В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .
Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C , которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:
а) 2 Х 10 и 10 Х 5;
б) 10 Х 2 и 2 Х 5;
Пример 3. Найти произведение матриц A и B , если:
.
A B - 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 2 X 2.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 5. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 2, число столбцов в матрице B C = AB - 2 X 1.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 6. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 3, число столбцов в матрице B - 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 3 X 3.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: 
.
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 7. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 1, число столбцов в матрице B - 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 1 X 1.
Вычисляем элемент матрицы C = AB .
Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке "Компьютеры и программирование".
Возведение матрицы в степеньВозведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n -ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:
Пример 8. Дана матрица . Найти A ² и A ³ .
Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 9.
Дана матрица 
Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.
Свойства произведения двух матрицСвойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А, т.е. АЕ = ЕА = А.
Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.
Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы
на единичную матрицу справа и слева.
Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где
-
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С
= АЕ
:
Получается, что АЕ = А .
Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :
Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если).
Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.
Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают.
Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:
Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А.
Обратная матрица.
Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если, и невырожденной, если.
Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается.
Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.
Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.
Доказательство.
1) Необходимость: так как то (теорема 3.1), поэтому
2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде:
Тогда любой элемент произведения (или), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом,
*=. Теорема доказана.
Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.
14. Теорема об определителе произведения матриц.
Теорема:
Доказательство:
Пусть заданы
квадратные матрицы порядка n.
и
.
На основании теоремы об определителе
квазитреугольной матрицы (
)
имеем:
порядок данной матрицы 2n.
Не изменяя определителя, над матрицей
порядка 2n
выполним последовательно следующие
преобразования: к первой строке прибавим
.
В результате такого преобразования на
первыхn
позициях первой строки будут все 0, а на
вторых(во втором блоке) – будет стоять
сумма произведений первой строки матрицы
А на первый столбец матрицы В. Проделав
те же самые преобразования с 2 … n
строками получим следующее равенство:
Чтобы
привести правый определитель к
квазитреугольному виду поменяем в нем
местами 1 и 1+ n
столбцы, 2 и 2+ n
… n
и 2 n
столбцы. В результате получим равенство:
Замечание:
Ясно что теорема справедлива для любого
конечного числа матриц. В частности
.
15. Теорема о существовании обратной матрицы.
Определение:
Если
матрица называется не невырожденной
(неособенной). Если
то матрица называется вырожденной
(особенной).
Рассмотрим
произвольную квадратную матрицу А. Из
алгебраических дополнений элементов
этой матрицы составим матрицу и
транспонируем её. Получим матрицу С:
матрица С называется присоединенной
по отношению к матрице А. Вычислив
произведение А*С и В*С получим
Следовательно
,
таким образом
если
.
Таким
образом из неособенности матрицы А
следует существование А -1 .
С другой стороны если А имеет А -1
то матричное уравнение АХ=Е разрешимо.
Следовательно
и.
Объединяя полученные результаты получим
утверждение:
Теорема:
У квадратной матрицы над полем Р
существует обратная тогда и только
тогда когда она не особенная. Если
обратная матрица существует то она
находится по формуле:
,
где С присоединенная матрица.
Замечание:
16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
Определение: Миноромk-того порядка матрицы А называется определительk-того порядка с элементами, лежащими на пересечении любыхkстрок и любыхkстолбцов.
Определение: Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличный от 0 миноров этой матрицы. Обозначаетсяr(A). Ясно 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.
Определение: Всякий отличный от 0 минор матрицы порядок которого равен рангу матрицы называется базисным минором этой матрицы. Ясно что матрица может иметь несколько базовых миноров. Столбцы и строки которые образуют базовые миноры называются базисными.
Теорема: В производной матрице А=(а i) m , n каждый столбец является линейной комбинацией базисных столбцов в которых расположен базисный минор(то же самое о строках).
Доказательство:
Пусть r(A)=r.
Выберем из матрицы один базисный минор.
Для простоты предположим, что базовый
минор расположен в левом верхнем углу
матрицы, т.е. на первых r
строках и первых r
столбцах. Тогда базовый минор Mr
будет иметь вид:
.
Нам нужно доказать что всякий столбец
матрицы А является линейной комбинацией
первыхr
столбцов этой матрицы, в которых
расположен базисный минор, т.е. надо
доказать что существуют числа λ j
такие, что
для любого
k-того
столбца матрицы А имеет место равенство:
где
…
.
Припишем
к базисному минору какие-нибудь k-тый
столбец и s-тую
строку:
т.к.
если добавленная строка или
столбец
входят в число базисных то определитель
,
как определитель с двумя одинаковыми
строками(столбцами). Если добавлена
строка(столбец) то
согласно определению ранга матрицы.
Разложим определитель
по элементам нижней строки, получим:отсюда получаем:
где λ 1 …
λ r
не зависят
от номера S,
т.к. А Sj
не зависят
от элементов добавленной S-той
строки. Равенство (1) и есть нужное нам
равенство.(ч.т.д.)
Следствие: Если А квадратная матрица, а определительA=0 ,то один из столбцов матрицы есть линейная комбинация оставшихся столбцов, а так же одна из строк является линейная комбинация оставшихся строк.
Доказательство: Если определитель матрицыA=0, то ранг этой матрицы <=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).
Для того чтобы [A] =0 необходимо и достаточно чтобы по крайней мере одна строка (столбец) являлись линейной комбинацией остальных её строк (столбцов).
.
Лекция 6
4.6 Определитель произведения двух квадратных матриц.
Произведение двух квадратных матриц n -го порядка всегда определено. При этом важное значение имеет следующая теорема.
Теорема. Определитель матрицы-произведения равен произведению определителей матриц сомножителей:
Доказательство. Пусть
и 
,
.
Составим вспомогательный определитель
.
По следствию теоремы Лапласа имеем:
.
Итак, 
, покажем, что 
. Для этого преобразуем определитель следующим образом. Сначала первые п
, прибавим к 
-му столбцу. Затем первые п
столбцов, умноженных соответственно на 
, прибавим к 
-му столбцу и т.д. На последнем шаге к 
-му столбцу будут прибавлены первые п
столбцов, умноженных соответственно на 
. В результате получим определитель
.
Разлагая полученный определитель с помощью теоремы Лапласа по последним п столбцам, находим:
Итак, доказаны равенства и , из которых следует, что .
4.7.Обратная матрица
Определение 1
.
Пусть дана квадратная матрица А
п
-го порядка. Квадратную матрицу 
того же порядка называют обратной
к матрице А
, если , где Е
-единичная матрица п
-го порядка.
Утверждение. Если существует матрица, обратная к матрице А , то такая матрица единственная.
Доказательство. Допустим, что матрица является не единственной матрицей, обратной к матрице А . Возьмем другую обратную матрицу В. Тогда выполняются условия
Рассмотрим произведение 
. Для него имеют место равенства
из которых вытекает, что 
. Тем самым единственность обратной матрицы доказана.
При доказательстве теоремы о существовании обратной матрицы нам потребуется понятие «присоединенная матрица».
Определение 2 . Пусть дана матрица
элементами которой являются алгебраические дополнения 
элементов 
матрицы А
, называется присоединенной
матрицей к матрице А
.
Обратим внимание на то, что для построения присоединенной матрицы С элементы матрицы А нужно заменить их алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.
Определение 3.
Квадратная матрица А
называется невырожденной
, если 
.
Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. При этом матрица определяется формулой
, (1)
где - алгебраические дополнения элементов матрицы А .
Доказательство.
Пусть матрица А
имеет обратную матрицу . Тогда выполняются условия , из которых следует . Из последнего равенства получаем, что определители и 
. Эти определители связаны соотношением 
. Матрицы А
и невырожденные, поскольку их определители отличны от нуля.
Пусть теперь матрица А невырожденная. Докажем, что матрица А имеет обратную матрицу и она определяется формулой (1). Дя этого рассмотрим произведение
матрицы А С .
По правилу умножения матриц элемент 
произведения 
матриц А
и С
имеет вид: . Так как сумма произведений элементов i
-й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j
-
й строки равна нулю при 
и определителю при 
. Следовательно,
где Е
– единичная матрица п
-го порядка. Аналогично доказывается равенство 
. Таким образом, 
, а это означает, что 
и матрица 
является обратной к матрице А
. Следовательно, невырожденная матрица А
имеет обратную матрицу, которая определяется формулой (1).
Следствие 1 . Определители матриц А и связаны соотношением .
Следствие 2 . Основное свойство присоединенной матрицы С к матрице А выражается
равенствами 
.
Следствие 3 . Определитель невырожденной матрицы А и присоединенной к ней матрицы
С
связаны равенством 
.
Следствие 3 вытекает из равенства 
и свойства определителей, согласно которому при умножении на п-
ю степень этого числа. В данном случае
откуда следует, что .
Пример. Найти матрицу, обратную к матрице А :
.
Решение. Определитель матрицы
отличен от нуля. Поэтому матрица А имеет обратную. Чтобы ее найти, сначала вычислим алгебраические дополнения:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
.
Теперь по формуле (1) запишем обратную матрицу
.
4.8. Элементарные преобразования над матрицами. Алгоритм Гаусса.
Определение
1.
Под элементарными преобразованиями
над матрицей размера 
понимают следующие действия.
Умножение любой строки (столбца) матрицы на любое ненулевое число.
Прибавление к любой i -й строке матрицы любой ее j - й строки, умноженной на произвольное число.
Прибавление к любому i -му столбцу матрицы любого ее j - го столбца, умноженного на произвольное число.
Перестановка строк (столбцов) матрицы.
.Эквивалентность матриц обладает следующими свойствами
: 
Определение 3
.
Ступенчатой
называется матрица А
обладающая следующими свойствами:
1) если i
-я строка нулевая, т.е. состоит из одних нулей, то 
-я строка также нулевая;
2) если первые ненулевые элементы i
-й и -й строк располагаются в столбцах с номерами k
и l
, то 
.
Пример. Матрицы
и 
являются ступенчатыми, а матрица
ступенчатой не является.
Покажем, как с помощью элементарных преобразований можно привести матрицу А к ступенчатому виду.
Алгоритм Гаусса
.
Рассмотрим матрицу А
размера . Без ограничения общности можем считать, что 
. (Если в матрице А
имеется хотя бы отличный от нуля элемент, то перестановкой между собой строк, а затем столбцов можно добиться, чтобы этот элемент попал на пересечение первой строки и первого столбца.) Прибавим ко второй строке матрицы А
первую, умноженную на 
, к третьей строке – первую, умноженную на 
и т.д.
В результате получим, что
.
Элементы в последних 
строках определяются формулами:
, 
, 
.
Рассмотрим матрицу
.
Если все элементы матрицы 
равны нулю, то
и эквивалентная матрица ступенчатая. Если среди элементов матрицы хотя бы один отличен от нуля, то можно без ограничения общности можно считать, что 
(этого можно добиться перестановкой строк и столбцов матрицы ). Преобразуя в этом случае матрицу так же как матрицу А
, получим
соответственно,
.
Здесь 
, 
, 
.
причем , , … , 
. В матрице А
т
строк и чтобы привести ее к А
r
, отличный от нуля, а все миноры порядка выше r
равны нулю. Ранг матрицы будем обозначать символом 
.
Вычисляется ранг матрицы методом окаймления миноров
.
Пример.
Методом окаймляющих миноров вычислить ранг матрицы
.
Решение.
Указанный выше способ не всегда бывает удобным, т.к. связан с вычислением большого
количества определителей.
Утверждение. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.
Сформулированное утверждение указывает второй способ вычисления ранга матрицы. Он называется методом элементарных преобразований . Для отыскания ранга матрицы нужно методом Гаусса привести ее к ступенчатому виду, а затем выделить максимальный ненулевой минор. Поясним это на примере.
Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.
Решение. Выполним в соответствии с методом Гаусса цепочку элементарных преобразований. В результате получим цепочку эквивалентных матриц:
