प्रकृति में भग्न

भग्न(अव्य. फ्रैक्टस- कुचला हुआ) एक शब्द है जिसका अर्थ है एक ज्यामितीय आकृति जिसमें स्व-समानता का गुण होता है, अर्थात, कई भागों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक संपूर्ण आकृति के समान होता है।

प्रकृति अक्सर अद्भुत और सुंदर भग्न बनाती है, आदर्श ज्यामिति और ऐसे सामंजस्य के साथ कि आप बस प्रशंसा से भर जाते हैं।
विशाल पहाड़ों से लेकर हम दोपहर के भोजन में क्या खाते हैं, हर जगह पूर्ण सामंजस्य देखा जा सकता है।
समुद्री सीपियाँ
नॉटिलस प्रकृति में फ्रैक्टल के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में से एक है।

बर्फ के टुकड़े

बिजली चमकना
बिजली भयभीत और भयभीत करती है और साथ ही अपनी सुंदरता से प्रसन्न भी करती है। बिजली द्वारा बनाए गए फ्रैक्टल मनमाने या नियमित नहीं होते हैं।

रोमनेसा
यह विशेष प्रकार की ब्रोकोली, पत्तागोभी की क्रूसिफेरस और स्वादिष्ट चचेरी बहन, एक विशेष रूप से सममित भग्न है। आप इसे अपने पसंदीदा गणित शिक्षक के लिए तैयार कर सकते हैं।

फ़र्न
फ़र्न वनस्पतियों के बीच फ्रैक्टल का एक अच्छा उदाहरण है

रानी ऐनी का फीता
क्वीन ऐनी की लेस जंगली गाजर पुष्प फ्रैक्टल का एक आदर्श उदाहरण है। प्रत्येक नक्षत्र को बिल्कुल एक जैसा ही कॉपी किया गया है, केवल छोटा। इसे इसकी पूरी महिमा में देखने के लिए फोटो नीचे से लिया गया था।

ब्रोकोली
हालाँकि ब्रोकोली रोमनेसा की तरह प्रसिद्ध ज्यामितीय नहीं है, यह भग्न भी है।

मोर
हर कोई मोर को उसके रंग-बिरंगे पंखों के लिए जानता है, जिनमें ठोस भग्न छिपे होते हैं। क्या आपने कभी अल्बिनो मोर देखा है? देखना

एक अनानास
अनानास एक असामान्य फल है; वास्तव में, यह एक भग्न है। हालाँकि इसे अक्सर हवाई से जोड़ा जाता है, यह फल दक्षिणी ब्राज़ील का मूल निवासी है।

बादलों
अब खिड़की से बाहर देखो. लगभग किसी भी क्षण आप आकाश में फ्रैक्टल देख सकते हैं।

क्रिस्टल
खिड़कियों पर बर्फ, ठंढे पैटर्न भी भग्न हैं

पहाड़ों
पर्वतीय दरारें और तटरेखाएं, हालांकि अपनी रेखाओं में मनमानी हैं, भग्न भी हैं

पेड़ और पत्तियाँ
किसी पत्ते की बड़ी छवि से लेकर पेड़ की शाखाओं तक - हर चीज़ में फ्रैक्टल पाए जा सकते हैं

समुद्र तट

तट के अलग-अलग टुकड़े भग्नता पैदा करते हैं। और यह फ्लोरिडा है

नदियाँ और फ़जॉर्ड
पश्चिमी संयुक्त राज्य अमेरिका से लेकर नॉर्वे के बर्फीले मैदानों तक, एयरलाइन यात्री यह सब देख सकते हैं। और हम ऐसी सुंदरता की तस्वीरें खींचने का साहस दिखाने के लिए कुछ लोगों को धन्यवाद देते हैं।

समुद्री अर्चिन और तारामछली

समुद्री अर्चिन इतने छोटे और सघन होते हैं, मानो वे किसी कुशल जौहरी के हाथ से आए हों। लेकिन प्रकृति से आगे कौन निकलेगा? और स्टारफिश स्वर्गीय लोगों के प्रतिबिंब की तरह हैं

स्टैलेग्माइट्स और स्टैलेक्टाइट्स

जबकि स्टैलेग्माइट जमीन से ऊपर उठते हैं, स्टैलेक्टाइट्स उसकी ओर पहुंचते हैं

फ्रैक्टल की खोज कैसे हुई

फ्रैक्टल के रूप में जानी जाने वाली गणितीय आकृतियाँ प्रख्यात वैज्ञानिक बेनोइट मैंडेलब्रॉट की प्रतिभा से उत्पन्न हुई हैं। अपने जीवन के अधिकांश समय उन्होंने अमेरिका के येल विश्वविद्यालय में गणित पढ़ाया। 1977 - 1982 में, मैंडेलब्रॉट ने "फ्रैक्टल ज्योमेट्री" या "प्रकृति की ज्यामिति" के अध्ययन के लिए समर्पित वैज्ञानिक कार्य प्रकाशित किए, जिसमें उन्होंने प्रतीत होता है कि यादृच्छिक गणितीय रूपों को घटक तत्वों में तोड़ दिया, जो बारीकी से जांच करने पर, दोहराए जाने वाले निकले - जो नकल के लिए एक निश्चित मॉडल की उपस्थिति साबित हुई। मैंडेलब्रॉट की खोज का भौतिकी, खगोल विज्ञान और जीव विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण परिणाम हुआ।

प्रकृति में भग्न

प्रकृति में, कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, उदाहरण के लिए: पेड़ के मुकुट, फूलगोभी, बादल, मनुष्यों और जानवरों की परिसंचरण और वायुकोशीय प्रणाली, क्रिस्टल, बर्फ के टुकड़े, जिनके तत्व एक जटिल संरचना में व्यवस्थित होते हैं, समुद्र तट (भग्न अवधारणा की अनुमति है) वैज्ञानिक ब्रिटिश द्वीपों की तटरेखा और अन्य पहले मापी न जा सकने वाली वस्तुओं को मापेंगे)।

आइए फूलगोभी की संरचना पर नजर डालें। यदि आप फूलों में से एक को काटते हैं, तो यह स्पष्ट है कि वही फूलगोभी आपके हाथों में रहती है, केवल आकार में छोटी। हम बार-बार काट सकते हैं, यहां तक ​​कि माइक्रोस्कोप के नीचे भी - लेकिन हमें फूलगोभी की छोटी-छोटी प्रतियां ही मिलती हैं। इस सरलतम मामले में, फ्रैक्टल के एक छोटे से हिस्से में भी संपूर्ण अंतिम संरचना के बारे में जानकारी होती है।

डिजिटल प्रौद्योगिकी में भग्न

फ्रैक्टल ज्योमेट्री ने डिजिटल संगीत के क्षेत्र में नई तकनीकों के विकास में अमूल्य योगदान दिया है, और डिजिटल छवियों को संपीड़ित करना भी संभव बनाया है। मौजूदा फ्रैक्टल छवि संपीड़न एल्गोरिदम डिजिटल छवि के बजाय संपीड़ित छवि को संग्रहीत करने के सिद्धांत पर आधारित हैं। संपीड़ित छवि के लिए, मुख्य छवि एक निश्चित बिंदु बनी रहती है। माइक्रोसॉफ्ट ने अपने विश्वकोश को प्रकाशित करते समय इस एल्गोरिदम के एक संस्करण का उपयोग किया था, लेकिन किसी न किसी कारण से इस विचार का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था।

फ्रैक्टल ग्राफिक्स का गणितीय आधार फ्रैक्टल ज्यामिति है, जहां मूल "मूल वस्तुओं" से विरासत का सिद्धांत "उत्तराधिकारी छवियों" के निर्माण के तरीकों का आधार है। फ्रैक्टल ज्योमेट्री और फ्रैक्टल ग्राफिक्स की अवधारणाएं लगभग 30 साल पहले ही सामने आईं, लेकिन कंप्यूटर डिजाइनरों और गणितज्ञों के रोजमर्रा के जीवन में पहले ही मजबूती से स्थापित हो चुकी हैं।

फ्रैक्टल कंप्यूटर ग्राफ़िक्स की मूल अवधारणाएँ हैं:

• भग्न त्रिभुज - भग्न आकृति - भग्न वस्तु (अवरोही क्रम में पदानुक्रम)
• भग्न रेखा
• भग्न रचना
• "मूल वस्तु" और "उत्तराधिकारी वस्तु"

वेक्टर और त्रि-आयामी ग्राफिक्स की तरह, फ्रैक्टल छवियों के निर्माण की गणना गणितीय रूप से की जाती है। पहले दो प्रकार के ग्राफ़िक्स से मुख्य अंतर यह है कि एक फ्रैक्टल छवि एक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली के अनुसार बनाई जाती है - आपको सभी गणना करने के लिए कंप्यूटर की मेमोरी में सूत्र के अलावा कुछ भी संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है - और यह गणितीय उपकरण की सघनता ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में इस विचार के उपयोग की अनुमति दी। बस समीकरण के गुणांकों को बदलकर, आप आसानी से एक पूरी तरह से अलग फ्रैक्टल छवि प्राप्त कर सकते हैं - कई गणितीय गुणांकों का उपयोग करके, बहुत जटिल आकृतियों की सतहों और रेखाओं को निर्दिष्ट किया जाता है, जो आपको क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर, समरूपता और विषमता जैसी संरचना तकनीकों को लागू करने की अनुमति देता है। , विकर्ण दिशाएँ और भी बहुत कुछ।

फ्रैक्टल कैसे बनाएं?

फ्रैक्टल्स का निर्माता एक ही समय में एक कलाकार, फोटोग्राफर, मूर्तिकार और वैज्ञानिक-आविष्कारक की भूमिका निभाता है। स्क्रैच से चित्र बनाने के आगामी चरण क्या हैं?

• गणितीय सूत्र का उपयोग करके चित्र का आकार निर्धारित करें
• प्रक्रिया के अभिसरण की जांच करें और इसके मापदंडों में बदलाव करें
• छवि प्रकार चुनें
• एक रंग पैलेट चुनें

फ्रैक्टल ग्राफिक संपादकों और अन्य ग्राफिक कार्यक्रमों में हम निम्नलिखित पर प्रकाश डाल सकते हैं:

• "आर्ट डब्बलर"
• "पेंटर" (कंप्यूटर के बिना, कोई भी कलाकार केवल पेंसिल और ब्रश पेन के माध्यम से प्रोग्रामर द्वारा निर्धारित क्षमताओं को प्राप्त नहीं कर पाएगा)
• "एडोब फोटोशॉप" (लेकिन यहां छवि "स्क्रैच से" नहीं बनाई गई है, बल्कि, एक नियम के रूप में, केवल संसाधित की गई है)

आइए एक मनमाना भग्न ज्यामितीय आकृति की संरचना पर विचार करें। इसके केंद्र में सबसे सरल तत्व है - एक समबाहु त्रिभुज, जिसे एक ही नाम मिला: "फ्रैक्टल"। भुजाओं के मध्य खंड पर, हम समबाहु त्रिभुज का निर्माण करेंगे जिसकी भुजा मूल भग्न त्रिभुज की भुजा के एक तिहाई के बराबर होगी। उसी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, दूसरी पीढ़ी के और भी छोटे उत्तराधिकारी त्रिकोण बनाए जाते हैं - और इसी तरह अनंत काल तक। परिणामी वस्तु को "फ्रैक्टल फिगर" कहा जाता है, जिसके अनुक्रम से हमें "फ्रैक्टल संरचना" प्राप्त होती है।

स्रोत: http://www.iknowit.ru/

भग्न और प्राचीन मंडल

यह धन को आकर्षित करने वाला मंडल है। कहते हैं कि लाल रंग धन चुम्बक की तरह काम करता है। क्या अलंकृत पैटर्न आपको किसी चीज़ की याद नहीं दिलाते? वे मुझे बहुत परिचित लगे और मैंने एक भग्न के रूप में मंडलों पर शोध करना शुरू कर दिया।

सिद्धांत रूप में, मंडल एक जटिल संरचना का एक ज्यामितीय प्रतीक है, जिसकी व्याख्या ब्रह्मांड के एक मॉडल, "ब्रह्मांड के मानचित्र" के रूप में की जाती है। यह भंगुरता का पहला संकेत है!

वे कपड़े पर कढ़ाई की जाती हैं, रेत पर चित्रित की जाती हैं, रंगीन पाउडर से बनाई जाती हैं और धातु, पत्थर, लकड़ी से बनाई जाती हैं। इसका उज्ज्वल और मनमोहक स्वरूप इसे भारत में मंदिरों के फर्श, दीवारों और छत के लिए एक सुंदर सजावट बनाता है। प्राचीन भारतीय भाषा में, "मंडल" का अर्थ ब्रह्मांड की आध्यात्मिक और भौतिक ऊर्जा, या दूसरे शब्दों में, जीवन के फूल के बीच संबंधों का रहस्यमय चक्र है।

मैं फ्रैक्टल मंडलों की एक बहुत ही संक्षिप्त समीक्षा लिखना चाहता था, जिसमें न्यूनतम पैराग्राफ हों, जिससे पता चले कि संबंध स्पष्ट रूप से मौजूद है। हालाँकि, फ्रैक्टल्स और मंडलों के बारे में जानकारी को समझने और एक पूरे में जोड़ने की कोशिश करते हुए, मुझे अपने लिए अज्ञात स्थान में एक क्वांटम छलांग का एहसास हुआ।

मैं इस विषय की विशालता को एक उद्धरण के साथ प्रदर्शित करता हूं: "ऐसी भग्न रचनाओं या मंडलों का उपयोग चित्रों, रहने और काम करने की जगहों के लिए डिजाइन तत्वों, पहनने योग्य ताबीज, वीडियोटेप, कंप्यूटर प्रोग्राम के रूप में किया जा सकता है..." सामान्य तौर पर, फ्रैक्टल्स के अध्ययन का विषय बहुत बड़ा है।

एक बात मैं निश्चित रूप से कह सकता हूं कि दुनिया इसके बारे में हमारे मन में मौजूद खराब विचारों की तुलना में कहीं अधिक विविध और समृद्ध है।

भग्न समुद्री जानवर

फ्रैक्टल समुद्री जानवरों के बारे में मेरे अनुमान निराधार नहीं थे। यहां पहले प्रतिनिधि हैं. ऑक्टोपस सेफलोपोड्स के क्रम से नीचे रहने वाला एक समुद्री जानवर है।

इस फोटो को देखकर, इसके शरीर की भग्न संरचना और इस जानवर के सभी आठ स्पर्शकों पर चूसने वाले मेरे लिए स्पष्ट हो गए। एक वयस्क ऑक्टोपस के तम्बू पर चूसने वालों की संख्या 2000 तक पहुँच जाती है।

एक दिलचस्प तथ्य यह है कि ऑक्टोपस के तीन दिल होते हैं: एक (मुख्य) पूरे शरीर में नीला रक्त चलाता है, और अन्य दो - गलफड़े - रक्त को गलफड़ों के माध्यम से धकेलते हैं। गहरे समुद्र के इन भग्नों के कुछ प्रकार जहरीले होते हैं।

अपने आप को अपने वातावरण के अनुसार ढालकर और छिपाकर, ऑक्टोपस में रंग बदलने की बहुत उपयोगी क्षमता होती है।

ऑक्टोपस को सभी अकशेरुकी जीवों में सबसे "स्मार्ट" माना जाता है। वे लोगों को जानने लगते हैं और उन्हें खाना खिलाने वालों के आदी हो जाते हैं। ऐसे ऑक्टोपस को देखना दिलचस्प होगा जिन्हें प्रशिक्षित करना आसान है, जिनकी याददाश्त अच्छी है और जो ज्यामितीय आकृतियों को भी पहचानते हैं। लेकिन इन भग्न जानवरों का जीवनकाल छोटा होता है - अधिकतम 4 वर्ष।

मनुष्य इस जीवित फ्रैक्टल और अन्य सेफलोपोड्स की स्याही का उपयोग करता है। उनके स्थायित्व और सुंदर भूरे रंग के कारण कलाकारों द्वारा उनकी मांग की जाती है। भूमध्यसागरीय व्यंजनों में, ऑक्टोपस विटामिन बी3, बी12, पोटेशियम, फास्फोरस और सेलेनियम का एक स्रोत है। लेकिन मुझे लगता है कि इन समुद्री फ्रैक्टल्स को भोजन के रूप में खाने का आनंद लेने के लिए आपको यह जानना होगा कि इन्हें कैसे पकाया जाए।

वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऑक्टोपस शिकारी होते हैं। अपने भग्न जालों से वे मोलस्क, क्रस्टेशियंस और मछली के रूप में शिकार पकड़ते हैं। यह अफ़सोस की बात है कि इतना सुंदर मोलस्क इन समुद्री जीवों का भोजन बन जाता है। मेरी राय में, वह समुद्री साम्राज्य के भग्नों का एक विशिष्ट प्रतिनिधि भी है।

यह घोंघे का रिश्तेदार है, गैस्ट्रोपॉड न्यूडिब्रांच ग्लौकस, जिसे ग्लौकस भी कहा जाता है, जिसे ग्लौकस एटलांटिकस भी कहा जाता है, जिसे ग्लौसिला मार्जिनटा भी कहा जाता है। यह फ्रैक्टल इस मायने में भी असामान्य है कि यह पानी की सतह के नीचे रहता है और सतह के तनाव के कारण अपनी जगह पर बना रहता है। क्योंकि मोलस्क एक उभयलिंगी है, फिर संभोग के बाद दोनों "साझेदार" अंडे देते हैं। यह भग्न उष्णकटिबंधीय क्षेत्र के सभी महासागरों में पाया जाता है।

समुद्री साम्राज्य के भग्न

हम में से प्रत्येक ने, अपने जीवन में कम से कम एक बार, अपने हाथों में एक समुद्री सीप पकड़ी और वास्तविक बचकानी रुचि के साथ उसकी जांच की।

आमतौर पर सीपियाँ समुद्र की यात्रा की याद दिलाने वाली एक खूबसूरत स्मारिका होती हैं। जब आप अकशेरुकी मोलस्क के इस सर्पिल गठन को देखते हैं, तो इसकी भग्न प्रकृति के बारे में कोई संदेह नहीं है।

हम इंसान कुछ हद तक इन नरम शरीर वाले मोलस्क की तरह हैं, जो अच्छी तरह से बने कंक्रीट फ्रैक्टल घरों में रहते हैं, अपने शरीर को तेज कारों में रखते और ले जाते हैं।

भग्न पानी के नीचे की दुनिया का एक और विशिष्ट प्रतिनिधि मूंगा है।
प्रकृति में मूंगों की 3,500 से अधिक किस्में ज्ञात हैं, जिनमें 350 रंगों तक का पैलेट होता है।

मूंगा, मूंगा पॉलीप्स की एक कॉलोनी का कंकाल सामग्री है, जो अकशेरुकी परिवार से भी है। उनका विशाल संचय संपूर्ण प्रवाल भित्तियों का निर्माण करता है, जिसके निर्माण की भग्न विधि स्पष्ट है।

मूंगे को पूरे विश्वास के साथ समुद्री साम्राज्य का एक भग्न कहा जा सकता है।

इसका उपयोग मनुष्यों द्वारा स्मारिका या गहनों और गहनों के लिए कच्चे माल के रूप में भी किया जाता है। लेकिन भग्न प्रकृति की सुंदरता और पूर्णता को दोहराना बहुत मुश्किल है।

किसी कारण से, मुझे इसमें कोई संदेह नहीं है कि पानी के नीचे की दुनिया में आपको कई भग्न जानवर भी मिलेंगे।

एक बार फिर, रसोई में चाकू और कटिंग बोर्ड के साथ अनुष्ठान करते हुए, और फिर, चाकू को ठंडे पानी में डुबोते हुए, मेरी आँखों में आँसू आ गए और एक बार फिर मुझे पता चला कि लगभग हर दिन मेरी आँखों के सामने आने वाले आंसू फ्रैक्टल से कैसे निपटना है .

भग्नता का सिद्धांत प्रसिद्ध नेस्टिंग गुड़िया - नेस्टिंग के समान है। यही कारण है कि फ्रैक्चरिटी पर तुरंत ध्यान नहीं दिया जाता है। इसके अलावा, प्रकाश, समान रंग और अप्रिय संवेदना पैदा करने की इसकी प्राकृतिक क्षमता ब्रह्मांड के करीबी अवलोकन और फ्रैक्टल गणितीय पैटर्न की पहचान में योगदान नहीं देती है।

लेकिन बकाइन रंग के सलाद प्याज ने, अपने रंग और आंसू पैदा करने वाले फाइटोनसाइड्स की अनुपस्थिति के कारण, मुझे इस सब्जी की प्राकृतिक भंगुरता के बारे में सोचने पर मजबूर कर दिया। बेशक, यह एक साधारण फ्रैक्टल है, विभिन्न व्यासों के साधारण वृत्त, कोई सबसे आदिम फ्रैक्टल भी कह सकता है। लेकिन यह याद रखने में कोई हर्ज नहीं होगा कि गेंद को हमारे ब्रह्मांड में एक आदर्श ज्यामितीय आकृति माना जाता है।

प्याज के लाभकारी गुणों के बारे में इंटरनेट पर कई लेख प्रकाशित हुए हैं, लेकिन किसी ने भी इस प्राकृतिक नमूने का फ्रैक्चरलिटी के दृष्टिकोण से अध्ययन करने की कोशिश नहीं की है। मैं केवल अपनी रसोई में प्याज के रूप में फ्रैक्टल का उपयोग करने की उपयोगिता बता सकता हूं।

पी.एस. मैंने फ्रैक्टल्स काटने के लिए पहले से ही एक सब्जी कटर खरीद लिया है। अब हमें यह सोचना होगा कि साधारण सफेद पत्तागोभी जैसी स्वास्थ्यवर्धक सब्जी कितनी फ्रैक्टल है। घोंसला बनाने का वही सिद्धांत।

लोक कला में भग्न

विश्व प्रसिद्ध मैत्रियोश्का खिलौने की कहानी ने मेरा ध्यान खींचा। करीब से देखने पर, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि यह स्मारिका खिलौना एक विशिष्ट फ्रैक्टल है।

भग्नता का सिद्धांत तब स्पष्ट होता है जब लकड़ी के खिलौने की सभी आकृतियाँ एक पंक्ति में पंक्तिबद्ध होती हैं और एक दूसरे के अंदर नहीं होती हैं।

विश्व बाज़ार में इस खिलौना फ्रैक्टल की उपस्थिति के इतिहास पर मेरे छोटे से शोध से पता चला कि इस सुंदरता की जड़ें जापानी हैं। मैत्रियोश्का गुड़िया को हमेशा एक मूल रूसी स्मारिका माना गया है। लेकिन यह पता चला कि वह पुराने ऋषि फुकुरुमा की जापानी मूर्ति का प्रोटोटाइप थी, जिसे एक बार जापान से मास्को लाया गया था।

लेकिन यह रूसी खिलौना उद्योग ही था जिसने इस जापानी मूर्ति को दुनिया भर में प्रसिद्धि दिलाई। खिलौने के फ्रैक्टल नेस्टिंग का विचार कहां से आया यह मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से एक रहस्य बना हुआ है। सबसे अधिक संभावना है, इस खिलौने के लेखक ने एक दूसरे के अंदर आकृतियों को घोंसला बनाने के सिद्धांत का उपयोग किया। और निवेश करने का सबसे आसान तरीका विभिन्न आकारों के समान आंकड़े हैं, और यह पहले से ही एक भग्न है।

अध्ययन का एक समान रूप से दिलचस्प उद्देश्य एक फ्रैक्टल खिलौने की पेंटिंग है। यह एक सजावटी पेंटिंग है - खोखलोमा। खोखलोमा के पारंपरिक तत्व फूलों, जामुनों और शाखाओं के हर्बल पैटर्न हैं।

फिर से भंगुरता के सभी लक्षण। आख़िरकार, एक ही तत्व को विभिन्न संस्करणों और अनुपातों में कई बार दोहराया जा सकता है। परिणाम एक लोक फ्रैक्टल पेंटिंग है।

और यदि आप कंप्यूटर चूहों, लैपटॉप कवर और फोन की नई पेंटिंग से किसी को आश्चर्यचकित नहीं करेंगे, तो लोक शैली में कार की फ्रैक्टल ट्यूनिंग ऑटो डिजाइन में कुछ नया है। हमारे जीवन में फ्रैक्टल्स की दुनिया की हमारे लिए ऐसी सामान्य चीज़ों में इतने असामान्य तरीके से प्रकट होने पर कोई भी आश्चर्यचकित हो सकता है।

रसोई में भग्न

हर बार जब मैंने फूलगोभी को उबलते पानी में ब्लांच करने के लिए छोटे-छोटे पुष्पक्रमों में विभाजित किया, तो मैंने कभी भी फ्रैक्चर के स्पष्ट संकेतों पर ध्यान नहीं दिया, जब तक कि यह नमूना मेरे हाथ में नहीं आ गया।

पौधे की दुनिया से एक फ्रैक्टल का एक विशिष्ट प्रतिनिधि मेरी रसोई की मेज पर था।

फूलगोभी के प्रति मेरे पूरे प्यार के साथ, मुझे हमेशा एक समान सतह वाले नमूने मिले, जिनमें भग्नता के कोई स्पष्ट लक्षण दिखाई नहीं देते थे, और यहां तक ​​कि एक-दूसरे के भीतर निहित बड़ी संख्या में पुष्पक्रमों ने भी मुझे इस उपयोगी सब्जी में भग्न देखने का कारण नहीं दिया।

लेकिन स्पष्ट रूप से परिभाषित फ्रैक्टल ज्यामिति के साथ इस विशेष नमूने की सतह ने इस प्रकार की गोभी की फ्रैक्टल उत्पत्ति के बारे में थोड़ा सा भी संदेह नहीं छोड़ा।

हाइपरमार्केट की एक और यात्रा ने केवल गोभी की भग्न स्थिति की पुष्टि की। विदेशी सब्जियों की भारी संख्या के बीच फ्रैक्टल्स का एक पूरा डिब्बा था। यह रोमनस्कु, या रोमनस्क्यू ब्रोकोली, फूलगोभी थी।

यह पता चला है कि डिजाइनर और 3डी कलाकार इसकी विदेशी फ्रैक्टल जैसी आकृतियों की प्रशंसा करते हैं।

पत्तागोभी की कलियाँ एक लघुगणकीय सर्पिल में बढ़ती हैं। रोमनेस्कु गोभी का पहला उल्लेख 16वीं शताब्दी में इटली से आया था।

और ब्रोकोली गोभी मेरे आहार में बार-बार आने वाली मेहमान नहीं है, हालांकि पोषक तत्वों और सूक्ष्म तत्वों की सामग्री के मामले में यह फूलगोभी से कई गुना बेहतर है। लेकिन इसकी सतह और आकार इतना एक समान है कि मुझे कभी इसमें वनस्पति भग्न देखने का ख्याल ही नहीं आया।

क्विलिंग में फ्रैक्टल

क्विलिंग तकनीक का उपयोग करते हुए ओपनवर्क शिल्प देखने के बाद, मुझे कभी यह एहसास नहीं हुआ कि उन्होंने मुझे कुछ याद दिलाया है। विभिन्न आकारों में समान तत्वों की पुनरावृत्ति, निश्चित रूप से, भग्नता का सिद्धांत है।

क्विलिंग पर एक और मास्टर क्लास देखने के बाद, क्विलिंग की भग्न प्रकृति के बारे में कोई संदेह नहीं रह गया था। आखिरकार, क्विलिंग शिल्प के लिए विभिन्न तत्व बनाने के लिए, विभिन्न व्यास के हलकों वाले एक विशेष शासक का उपयोग किया जाता है। उत्पादों की सारी सुंदरता और विशिष्टता के बावजूद, यह एक अविश्वसनीय रूप से सरल तकनीक है।

क्विलिंग शिल्प के लगभग सभी मुख्य तत्व कागज से बनाए जाते हैं। मुफ़्त क्विलिंग पेपर का स्टॉक रखने के लिए, घर पर अपनी किताबों की अलमारियों पर एक नज़र डालें। निश्चित रूप से, आपको वहाँ कुछ चमकदार चमकदार पत्रिकाएँ मिलेंगी।

क्विलिंग उपकरण सरल और सस्ते हैं। शौकिया क्विलिंग कार्य करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए वह आपके घरेलू स्टेशनरी आपूर्ति में पाया जा सकता है।

और क्विलिंग का इतिहास यूरोप में 18वीं शताब्दी में शुरू होता है। पुनर्जागरण के दौरान, फ्रांसीसी और इतालवी मठों के भिक्षुओं ने किताबों के कवर को सजाने के लिए क्विलिंग का उपयोग किया था और उन्हें पेपर-रोलिंग तकनीक की भग्न प्रकृति के बारे में भी पता नहीं था जिसका उन्होंने आविष्कार किया था। उच्च समाज की लड़कियों ने विशेष स्कूलों में क्विलिंग पाठ्यक्रम भी लिया। इस तरह यह तकनीक देशों और महाद्वीपों में फैलने लगी।

शानदार आलूबुखारा बनाने पर इस वीडियो क्विलिंग मास्टर क्लास को "इसे स्वयं करें फ्रैक्टल" भी कहा जा सकता है। पेपर फ्रैक्टल्स की मदद से, अद्भुत विशेष वेलेंटाइन कार्ड और कई अन्य दिलचस्प चीजें प्राप्त की जाती हैं। आख़िरकार, कल्पना, प्रकृति की तरह, अटूट है।

यह कोई रहस्य नहीं है कि जापानियों के पास जीवन में स्थान बहुत सीमित है, और इसलिए उन्हें इसका प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए अपना सर्वश्रेष्ठ प्रयास करना पड़ता है। ताकेशी मियाकावा दिखाता है कि यह कैसे प्रभावी ढंग से और सौंदर्यपूर्ण तरीके से किया जा सकता है। उनका फ्रैक्टल कैबिनेट इस बात की पुष्टि करता है कि डिजाइन में फ्रैक्टल का उपयोग न केवल फैशन के लिए एक श्रद्धांजलि है, बल्कि सीमित स्थान की स्थितियों में एक सामंजस्यपूर्ण डिजाइन समाधान भी है।

फ़र्निचर डिज़ाइन के संबंध में वास्तविक जीवन में फ्रैक्टल का उपयोग करने के इस उदाहरण ने मुझे दिखाया कि फ्रैक्टल न केवल गणितीय सूत्रों और कंप्यूटर प्रोग्रामों में कागज पर वास्तविक हैं।

और ऐसा लगता है कि प्रकृति हर जगह भग्नता के सिद्धांत का उपयोग करती है। आपको बस इसे करीब से देखने की जरूरत है, और यह अपनी शानदार प्रचुरता और अस्तित्व की अनंतता में प्रकट होगा।

7वीं कक्षा की छात्रा पोलिना कार्प्युक द्वारा पूरा किया गया

प्रियोडा स्व-समान आकृतियों से बनाया गया है, हम इस पर ध्यान नहीं देते हैं। इस गैलरी में हमने ऐसी छवियां एकत्र की हैं जिनमें फ्रैक्चर स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।

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स्लाइड कैप्शन:

प्रकृति में भग्न पूर्ण द्वारा: 7वीं "बी" कक्षा की छात्रा पोलीना कारप्युक पर्यवेक्षक: मोलचानोवा इरीना पावलोवना रूबतसोव्स्क-2015

सही ढंग से देखने पर गणित न केवल सत्य, बल्कि अतुलनीय सौंदर्य को भी दर्शाता है। बर्ट्रेंड रसेल

एक पेड़, एक समुद्र तट, एक बादल, या हमारे हाथ की रक्त वाहिकाओं में क्या समानता है? संरचना का एक गुण है जो सभी सूचीबद्ध वस्तुओं में अंतर्निहित है: वे स्व-समान हैं। एक शाखा से, जैसे कि एक पेड़ के तने से, छोटे-छोटे अंकुर निकलते हैं, उनसे और भी छोटे अंकुर निकलते हैं, आदि, यानी एक शाखा पूरे पेड़ के समान होती है। संचार प्रणाली को इसी तरह से संरचित किया जाता है: धमनियां धमनियों से निकलती हैं, और उनमें से सबसे छोटी केशिकाएं होती हैं जिनके माध्यम से ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है। अमेरिकी गणितज्ञ बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने वस्तुओं के इस गुण को भग्नता कहा है, और ऐसी वस्तुओं को स्वयं - भग्न कहा है। शब्द "फ्रैक्टल" का लैटिन से अनुवाद "आंशिक", "विभाजित", "खंडित" के रूप में किया गया है, और जहां तक ​​इस शब्द की सामग्री का सवाल है, ऐसा कोई सूत्रीकरण नहीं है। इसे आमतौर पर एक स्व-समान सेट, संपूर्ण का एक हिस्सा, के रूप में व्याख्या किया जाता है, जो सूक्ष्म स्तर पर इसकी संरचना को दोहराता है। .

पृथ्वी के परिदृश्यों की अंतरिक्ष तस्वीरें अक्सर फ्रैक्टल के उत्कृष्ट उदाहरण प्रदान करती हैं।

तटरेखाओं का आकार आमतौर पर भग्न होता है, लेकिन वे ऊबड़-खाबड़ होने की मात्रा में भिन्न-भिन्न होते हैं। यह उदाहरण प्राकृतिक फ्रैक्टल्स के दो विशिष्ट गुणों को दर्शाता है: व्यक्तिगत चैनल एक-दूसरे की नकल नहीं हैं, बल्कि समान घुमावदार रूपरेखा रखते हैं, जैसे कि वे एक ही पैटर्न द्वारा खींचे गए हों। बड़ी नलिकाएं छोटी और बहुत छोटी नलिकाओं की रूपरेखा के समान होती हैं। यदि हम, उदाहरण के लिए, चित्र के निचले बाएँ कोने को बड़ा करते हैं, तो हमें संपूर्ण चित्र के समान कुछ मिलेगा

जल और भूमि की परस्पर क्रिया परिदृश्यों में भग्न संरचनाओं को जन्म देती है - चाहे वे पहाड़ हों, नदियाँ हों या समुद्र तट हों।

जापानी कलाकार होकुसाई की पेंटिंग "द ग्रेट वेव" को शायद हर कोई जानता है, जहां फ़ूजी की पृष्ठभूमि में सुनामी लहर को दर्शाया गया है। यदि आप इस चित्र को करीब से देखेंगे, तो आप देखेंगे कि एक लहर की शिखा बनाते समय, कलाकार ने एक भग्न का उपयोग किया था, जैसे कि इसमें कई शिकारी पानी के पंजे हों। इसलिए, इस चित्र का उपयोग अक्सर अराजकता सिद्धांत और फ्रैक्टल पर पुस्तकों के लिए एक चित्रण के रूप में किया जाता है।

जब रेत का टीला पानी से नष्ट हो जाता है, तो यह छोटे पैमाने पर उसकी प्रतिकृति बनाता है जो पृथ्वी के बड़े परिदृश्यों को भग्न आकार देता है।

बिजली का गिरना प्राकृतिक भग्न का एक उदाहरण है।

यह चित्र न केवल पेड़ों के मुकुटों की भग्न प्रकृति को दर्शाता है, बल्कि यह एक और दिलचस्प विचार का सुझाव देता है: एक जैविक समुदाय के रूप में जंगल भी एक भग्न है। व्यक्तिगत पेड़ - बड़े और छोटे - फिर भग्न की शाखाओं के रूप में कार्य करते हैं। वे समान हैं, लेकिन एक-दूसरे को दोहराते नहीं हैं।

पत्ती शिराएँ एक चपटी प्राकृतिक भग्न होती हैं। प्रत्येक पौधे के लिए, विशिष्ट पैटर्न अद्वितीय होता है, जैसे किसी व्यक्ति के हाथ पर पैपिलरी पैटर्न अद्वितीय होता है। गोएथे (कवि और वैज्ञानिक) का मानना ​​था कि पत्ती पौधे का सबसे अभिव्यंजक हिस्सा है, जो इसकी संपूर्ण आकृति विज्ञान को दर्शाता है।

फ़र्न प्राकृतिक फ्रैक्टल का एक उदाहरण है जो कंप्यूटर फ्रैक्टल के समान है। इसके अलावा, वे इसलिए भी दिलचस्प हैं क्योंकि फर्न विभिन्न काई और अन्य निचले पौधों के साथ-साथ सबसे अधिक विकासवादी प्राचीन पौधों में से एक है।

यह प्राकृतिक फ्रैक्टल का एक और प्रसिद्ध और बहुत प्रभावशाली उदाहरण है जिसके गणितीय रूप से स्पष्ट रूप हैं। स्व-समान सरल पिरामिड रोमनस्को गोभी के कम से कम तीन स्तर हैं

एक जादुई सुंदर फ्रैक्टल जो कुछ कलाकारों को प्रेरित कर सकता है। इस बीच, ध्यान से देखें: यह सिर्फ पत्तागोभी के पत्तों का एक कड़ा गुच्छा है।

ये खनिज जगत में भग्न संरचना के दिलचस्प उदाहरण हैं। कार्बोनेट एपेटाइट गोल्ड नगेट प्रकृति द्वारा निर्मित एक उत्कृष्ट खजाना है।

क्या आपने कभी सोचा है कि हम सचमुच फ्रैक्टल में सोचते हैं? यहां सोचने लायक बात है - कौन तर्क देगा कि मस्तिष्क प्रकृति की सबसे अद्भुत और अनोखी रचनाओं में से एक है। और यह पता चला है कि बाह्य रूप से इसमें वायुमंडलीय बादलों या बिछुआ की जड़ प्रणाली के समान भग्न विशेषताएं हैं।

यहां सब कुछ और भी जटिल है: दो अलग-अलग फ्रैक्टल पेड़ आपस में जुड़े हुए हैं - एक को शिरापरक रक्त की आपूर्ति की जाती है, और दूसरे को ऑक्सीजन-समृद्ध धमनी रक्त की आपूर्ति की जाती है। और कुल मिलाकर, फेफड़ा तीन भग्नों की एक आश्चर्यजनक रूप से जटिल प्रणाली है - एक श्वसन और दो परिसंचरण।

रेटिना में प्रकाश-संवेदनशील कोशिकाएं होती हैं जो हमें देखने की अनुमति देती हैं। इस फोटो में वे पीले-हरे रंग के हैं। वे एक नेटवर्क (रेटिना) बनाते हैं, लेकिन यह नेटवर्क अव्यवस्थित और भग्न है।

यह सुअर का पेट है. इसके रंग पैटर्न भी भग्न नियमों का पालन करते प्रतीत होते हैं। यह एक दिलचस्प विषय है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इसमें सैन्य महत्व सहित कई अनुप्रयोग हैं। किस नियम के अनुसार छलावरण पैटर्न तैयार किया जाना चाहिए ताकि इसे पहनने वाला प्राकृतिक रूपों - परिदृश्य और वनस्पति के साथ घुलमिल जाए?

आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद!!!

यह समझने के लिए कि फ्रैक्टल क्या है, हमें गणित के दृष्टिकोण से डीब्रीफिंग शुरू करनी चाहिए, लेकिन सटीक विज्ञान में जाने से पहले, हम थोड़ा दर्शन करेंगे। प्रत्येक व्यक्ति में एक स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, जिसकी बदौलत वह अपने आस-पास की दुनिया के बारे में सीखता है। अक्सर, ज्ञान की खोज में, वह अपने निर्णयों में तर्क का उपयोग करने का प्रयास करता है। इस प्रकार, अपने आस-पास होने वाली प्रक्रियाओं का विश्लेषण करके, वह संबंधों की गणना करने और कुछ पैटर्न प्राप्त करने का प्रयास करता है। ग्रह पर सबसे महान दिमाग इन समस्याओं को सुलझाने में व्यस्त हैं। मोटे तौर पर कहें तो, हमारे वैज्ञानिक ऐसे पैटर्न की तलाश कर रहे हैं जहां कोई नहीं है, और कोई होना भी नहीं चाहिए। और फिर भी, अराजकता में भी कुछ घटनाओं के बीच एक संबंध होता है। यह कनेक्शन ही फ्रैक्टल है। उदाहरण के तौर पर, सड़क पर पड़ी एक टूटी हुई शाखा पर विचार करें। यदि हम इसे ध्यान से देखें तो पाएंगे कि अपनी सभी शाखाओं और टहनियों के साथ यह स्वयं एक पेड़ जैसा दिखता है। एक पूरे के साथ एक अलग हिस्से की यह समानता पुनरावर्ती आत्म-समानता के तथाकथित सिद्धांत को इंगित करती है। फ्रैक्टल प्रकृति में हर जगह पाए जा सकते हैं, क्योंकि कई अकार्बनिक और कार्बनिक रूप एक ही तरह से बनते हैं। ये बादल, समुद्री सीपियाँ, घोंघे की शैलें, पेड़ों के मुकुट और यहाँ तक कि परिसंचरण तंत्र भी हैं। यह सूची अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है। इन सभी यादृच्छिक आकृतियों को फ्रैक्टल एल्गोरिदम द्वारा आसानी से वर्णित किया गया है। अब हम इस बात पर विचार करने आए हैं कि सटीक विज्ञान के दृष्टिकोण से फ्रैक्टल क्या है।

कुछ सूखे तथ्य

शब्द "फ्रैक्टल" का लैटिन से अनुवाद "आंशिक", "विभाजित", "खंडित" के रूप में किया गया है, और जहां तक ​​इस शब्द की सामग्री का सवाल है, ऐसा कोई सूत्रीकरण नहीं है। इसे आमतौर पर एक स्व-समान सेट, संपूर्ण का एक हिस्सा, के रूप में व्याख्या किया जाता है, जो सूक्ष्म स्तर पर इसकी संरचना को दोहराता है। यह शब्द बीसवीं सदी के सत्तर के दशक में बेनोइट मैंडेलब्रोट द्वारा गढ़ा गया था, जिन्हें फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक के रूप में जाना जाता है। आज, फ्रैक्टल की अवधारणा का अर्थ एक निश्चित संरचना की एक ग्राफिक छवि है, जो बड़े होने पर, स्वयं के समान होगी। हालाँकि, इस सिद्धांत के निर्माण का गणितीय आधार स्वयं मैंडेलब्रॉट के जन्म से पहले ही रखा गया था, लेकिन इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर आने तक यह विकसित नहीं हो सका।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि, या यह सब कैसे शुरू हुआ

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, फ्रैक्टल्स की प्रकृति का अध्ययन छिटपुट था। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि गणितज्ञ उन वस्तुओं का अध्ययन करना पसंद करते थे जिन पर सामान्य सिद्धांतों और विधियों के आधार पर शोध किया जा सकता था। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ के. वीयरस्ट्रैस ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी भिन्न नहीं है। हालाँकि, यह निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में कठिन निकला। इसके बाद स्वीडन के हेल्गे वॉन कोच आए, जिन्होंने 1904 में एक सतत वक्र का निर्माण किया, जिसमें कहीं भी कोई स्पर्श रेखा नहीं थी। इसे बनाना काफी आसान है और इसमें भग्न गुण होते हैं। इस वक्र के एक प्रकार का नाम इसके लेखक - "कोच स्नोफ्लेक" के नाम पर रखा गया था। इसके अलावा, आकृतियों की आत्म-समानता का विचार बी. मंडेलब्रॉट के भावी गुरु, फ्रांसीसी पॉल लेवी द्वारा विकसित किया गया था। 1938 में, उन्होंने "समतल और स्थानिक वक्र और समग्र के समान भागों से बनी सतहें" लेख प्रकाशित किया। इसमें उन्होंने एक नए प्रकार - लेवी सी-वक्र का वर्णन किया। उपरोक्त सभी आकृतियों को पारंपरिक रूप से ज्यामितीय भग्न के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

गतिशील या बीजगणितीय भग्न

मैंडेलब्रॉट सेट इसी वर्ग का है। इस दिशा में पहले शोधकर्ता फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फतौ और गैस्टन जूलिया थे। 1918 में, जूलिया ने तर्कसंगत जटिल कार्यों के पुनरावृत्तियों के अध्ययन पर आधारित एक पेपर प्रकाशित किया। यहां उन्होंने फ्रैक्टल्स के एक परिवार का वर्णन किया है जो मैंडेलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित है। इस तथ्य के बावजूद कि इस कार्य ने गणितज्ञों के बीच लेखक को गौरवान्वित किया, इसे जल्दी ही भुला दिया गया। और केवल आधी सदी बाद, कंप्यूटर की बदौलत जूलिया के काम को दूसरा जीवन मिला। कंप्यूटर ने फ्रैक्टल की दुनिया की सुंदरता और समृद्धि को हर व्यक्ति के लिए दृश्यमान बनाना संभव बना दिया, जिसे गणितज्ञ फ़ंक्शंस के माध्यम से प्रदर्शित करके "देख" सकते थे। मैंडलब्रॉट गणना करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे (इतनी मात्रा मैन्युअल रूप से नहीं की जा सकती) जिससे इन आंकड़ों की छवि बनाना संभव हो गया।

स्थानिक कल्पना वाला व्यक्ति

मैंडेलब्रॉट ने अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत आईबीएम रिसर्च सेंटर से की। लंबी दूरी पर डेटा संचारित करने की संभावनाओं का अध्ययन करते समय, वैज्ञानिकों को शोर हस्तक्षेप के कारण होने वाले बड़े नुकसान के तथ्य का सामना करना पड़ा। बेनोइट इस समस्या को हल करने के तरीकों की तलाश में थे। माप परिणामों को देखते हुए, उन्होंने एक अजीब पैटर्न देखा, अर्थात्: शोर ग्राफ अलग-अलग समय के पैमाने पर समान दिखते थे। एक समान तस्वीर एक दिन और सात दिन या एक घंटे तक देखी गई। बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने स्वयं अक्सर दोहराया कि वह सूत्रों के साथ काम नहीं करते, बल्कि चित्रों के साथ खेलते हैं। यह वैज्ञानिक कल्पनाशील सोच से प्रतिष्ठित था; उसने किसी भी बीजगणितीय समस्या का ज्यामितीय क्षेत्र में अनुवाद किया, जहां सही उत्तर स्पष्ट है। इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि समृद्ध स्थानिक सोच से प्रतिष्ठित ऐसा व्यक्ति फ्रैक्टल ज्यामिति का जनक बन गया। आख़िरकार, इस आकृति के बारे में जागरूकता तभी आ सकती है जब आप चित्रों का अध्ययन करेंगे और पैटर्न बनाने वाले इन अजीब भंवरों के अर्थ के बारे में सोचेंगे। फ्रैक्टल पैटर्न में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन वे किसी भी पैमाने पर समान होते हैं।

जूलिया-मंडेलब्रोट

इस आकृति के पहले चित्रों में से एक सेट की ग्राफिक व्याख्या थी, जो गैस्टन जूलिया के काम से पैदा हुई थी और इसे मैंडेलब्रॉट द्वारा आगे विकसित किया गया था। गैस्टन ने कल्पना करने की कोशिश की कि फीडबैक लूप के माध्यम से पुनरावृत्त किए गए एक सरल सूत्र के आधार पर एक सेट कैसा दिखेगा। आइए यह समझाने की कोशिश करें कि मानव भाषा में, यानी उंगलियों पर, क्या कहा गया है। किसी विशिष्ट संख्यात्मक मान के लिए, हम एक सूत्र का उपयोग करके एक नया मान पाते हैं। हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और निम्नलिखित पाते हैं। परिणाम एक बड़ी संख्या अनुक्रम है. ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए, इस ऑपरेशन को बड़ी संख्या में करना आवश्यक है: सैकड़ों, हजारों, लाखों। बेनोइट ने यही किया। उन्होंने अनुक्रम को संसाधित किया और परिणामों को ग्राफिकल रूप में स्थानांतरित कर दिया। इसके बाद, उन्होंने परिणामी आकृति को रंग दिया (प्रत्येक रंग एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों से मेल खाता है)। इस ग्राफिक छवि को "मैंडेलब्रॉट फ्रैक्टल" नाम दिया गया था।

एल. बढ़ई: प्रकृति द्वारा निर्मित कला

फ्रैक्टल के सिद्धांत को शीघ्र ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूँकि यह स्वयं-समान छवियों के दृश्य से बहुत निकटता से संबंधित है, कलाकार इन असामान्य रूपों के निर्माण के लिए सिद्धांतों और एल्गोरिदम को अपनाने वाले पहले व्यक्ति थे। उनमें से पहले पिक्सर के भावी संस्थापक, लॉरेन कारपेंटर थे। विमान के प्रोटोटाइप की प्रस्तुति पर काम करते समय, उन्हें पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की एक छवि का उपयोग करने का विचार आया। आज, लगभग हर कंप्यूटर उपयोगकर्ता इस तरह के कार्य का सामना कर सकता है, लेकिन पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक में, कंप्यूटर ऐसी प्रक्रियाएं करने में सक्षम नहीं थे, क्योंकि उस समय त्रि-आयामी ग्राफिक्स के लिए कोई ग्राफिक संपादक या एप्लिकेशन नहीं थे। और फिर लॉरेन को मैंडलब्रोट की पुस्तक "फ्रैक्टल्स: फॉर्म, रैंडमनेस एंड डायमेंशन" मिली। इसमें, बेनोइट ने कई उदाहरण दिए, यह दिखाते हुए कि फ्रैक्टल प्रकृति में मौजूद हैं (fyva), उन्होंने उनके विभिन्न आकारों का वर्णन किया और साबित किया कि उन्हें गणितीय अभिव्यक्तियों द्वारा आसानी से वर्णित किया जा सकता है। गणितज्ञ ने इस सादृश्य को उस सिद्धांत की उपयोगिता के तर्क के रूप में उद्धृत किया जिसे वह अपने सहयोगियों की आलोचना के जवाब में विकसित कर रहे थे। उन्होंने तर्क दिया कि फ्रैक्टल सिर्फ एक सुंदर तस्वीर है, इसका कोई मूल्य नहीं है, और यह इलेक्ट्रॉनिक मशीनों के काम का उप-उत्पाद है। कारपेंटर ने इस पद्धति को व्यवहार में आज़माने का निर्णय लिया। पुस्तक का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल ज्यामिति को लागू करने का तरीका ढूंढना शुरू कर दिया। अपने कंप्यूटर पर पहाड़ी परिदृश्य की पूरी तरह यथार्थवादी छवि प्रस्तुत करने में उन्हें केवल तीन दिन लगे। और आज इस सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जैसा कि यह पता चला है, फ्रैक्टल बनाने में अधिक समय और प्रयास नहीं लगता है।

बढ़ई का समाधान

लॉरेन ने जिस सिद्धांत का प्रयोग किया वह सरल था। इसमें बड़ी ज्यामितीय आकृतियों को छोटे तत्वों में विभाजित करना और उन्हें समान छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल है, इत्यादि। बढ़ई ने, बड़े त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, उन्हें 4 छोटे त्रिकोणों में विभाजित किया, और इसी तरह, जब तक कि उसे एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं मिल गया। इस प्रकार, वह आवश्यक छवि बनाने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करने वाले पहले कलाकार बन गए। आज इस सिद्धांत का उपयोग विभिन्न यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों की नकल करने के लिए किया जाता है।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करके पहला 3डी विज़ुअलाइज़ेशन

कुछ साल बाद, लॉरेन ने अपने काम को एक बड़े पैमाने के प्रोजेक्ट - एनिमेटेड वीडियो वॉल लिब्रे में लागू किया, जो 1980 में सिग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने कई लोगों को चौंका दिया और इसके निर्माता को लुकासफिल्म में काम करने के लिए आमंत्रित किया गया। यहां एनिमेटर अपनी पूरी क्षमता का एहसास करने में सक्षम था; उन्होंने फीचर फिल्म "स्टार ट्रेक" के लिए त्रि-आयामी परिदृश्य (एक संपूर्ण ग्रह) बनाया। कोई भी आधुनिक प्रोग्राम ("फ्रैक्टल्स") या 3डी ग्राफिक्स (टेराजेन, व्यू, ब्राइस) बनाने के लिए एप्लिकेशन बनावट और सतहों के मॉडलिंग के लिए समान एल्गोरिदम का उपयोग करता है।

टॉम बेडार्ड

पूर्व में एक लेजर भौतिक विज्ञानी और अब एक डिजिटल कलाकार और कलाकार, बेडार्ड ने कई बहुत ही दिलचस्प ज्यामितीय आकृतियाँ बनाईं, जिन्हें उन्होंने फैबर्ज फ्रैक्टल्स कहा। बाह्य रूप से, वे एक रूसी जौहरी के सजावटी अंडों से मिलते जुलते हैं; उनके पास समान शानदार, जटिल पैटर्न है। बेडडार्ड ने मॉडलों के अपने डिजिटल रेंडरिंग बनाने के लिए एक टेम्पलेट विधि का उपयोग किया। परिणामी उत्पाद अपनी सुंदरता से विस्मित करते हैं। हालाँकि कई लोग हस्तनिर्मित उत्पाद की तुलना कंप्यूटर प्रोग्राम से करने से इनकार करते हैं, लेकिन यह स्वीकार करना होगा कि परिणामी रूप बेहद सुंदर हैं। मुख्य बात यह है कि कोई भी WebGL सॉफ़्टवेयर लाइब्रेरी का उपयोग करके इस तरह का फ्रैक्टल बना सकता है। यह आपको वास्तविक समय में विभिन्न भग्न संरचनाओं का पता लगाने की अनुमति देता है।

प्रकृति में भग्न

कम ही लोग ध्यान देते हैं, लेकिन ये अद्भुत आकृतियां हर जगह मौजूद हैं। प्रकृति स्वयं-समान आकृतियों से बनी है, हम इस पर ध्यान नहीं देते हैं। यह हमारी त्वचा या किसी पेड़ के पत्ते को एक आवर्धक कांच के माध्यम से देखने के लिए पर्याप्त है, और हम भग्न देखेंगे। या, उदाहरण के लिए, एक अनानास या यहां तक ​​कि एक मोर की पूंछ लें - उनमें समान आकृतियाँ होती हैं। और रोमनस्कु ब्रोकोली किस्म आम तौर पर अपनी उपस्थिति में हड़ताली होती है, क्योंकि इसे वास्तव में प्रकृति का चमत्कार कहा जा सकता है।

संगीतमय विराम

इससे पता चलता है कि फ्रैक्टल केवल ज्यामितीय आकृतियाँ नहीं हैं, वे ध्वनियाँ भी हो सकते हैं। इस प्रकार, संगीतकार जोनाथन कोल्टन फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके संगीत लिखते हैं। उनका दावा है कि ऐसा माधुर्य प्राकृतिक सामंजस्य से मेल खाता है। संगीतकार अपने सभी कार्यों को क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-नॉन-कमर्शियल लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो मुफ्त वितरण, प्रतिलिपि और दूसरों को कार्यों के हस्तांतरण की सुविधा प्रदान करता है।

भग्न सूचक

इस तकनीक को बहुत ही अप्रत्याशित अनुप्रयोग मिला है। इसके आधार पर, स्टॉक एक्सचेंज बाजार का विश्लेषण करने के लिए एक उपकरण बनाया गया और परिणामस्वरूप, इसका उपयोग विदेशी मुद्रा बाजार में किया जाने लगा। आजकल, फ्रैक्टल इंडिकेटर सभी ट्रेडिंग प्लेटफॉर्म पर पाया जाता है और इसका उपयोग प्राइस ब्रेकआउट नामक ट्रेडिंग तकनीक में किया जाता है। यह तकनीक बिल विलियम्स द्वारा विकसित की गई थी। जैसा कि लेखक अपने आविष्कार पर टिप्पणी करता है, यह एल्गोरिदम कई "मोमबत्तियों" का संयोजन है, जिसमें केंद्रीय एक अधिकतम या, इसके विपरीत, न्यूनतम चरम बिंदु को दर्शाता है।

अंत में

तो हमने देखा कि फ्रैक्टल क्या है। यह पता चलता है कि हमारे चारों ओर जो अराजकता है, उसमें वास्तव में आदर्श रूप मौजूद हैं। प्रकृति सर्वोत्तम वास्तुकार, आदर्श निर्माता एवं इंजीनियर है। इसे बहुत तार्किक रूप से व्यवस्थित किया गया है, और यदि हमें कोई पैटर्न नहीं मिल पाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि इसका अस्तित्व नहीं है। शायद हमें एक अलग पैमाने पर देखने की ज़रूरत है। हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि फ्रैक्टल्स में अभी भी कई रहस्य छिपे हुए हैं जिन्हें हमें अभी भी खोजना है।

एक पेड़, एक समुद्र तट, एक बादल, या हमारे हाथ की रक्त वाहिकाओं में क्या समानता है? संरचना का एक गुण है जो सभी सूचीबद्ध वस्तुओं में अंतर्निहित है: वे स्व-समान हैं। एक शाखा से, जैसे कि एक पेड़ के तने से, छोटे-छोटे अंकुर निकलते हैं, उनसे और भी छोटे अंकुर निकलते हैं, आदि, यानी एक शाखा पूरे पेड़ के समान होती है। संचार प्रणाली को इसी तरह से संरचित किया जाता है: धमनियां धमनियों से निकलती हैं, और उनमें से सबसे छोटी केशिकाएं होती हैं जिनके माध्यम से ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है। आइए समुद्री तट की उपग्रह छवियों को देखें: हम खाड़ियाँ और प्रायद्वीप देखेंगे; आइए इसे देखें, लेकिन एक विहंगम दृष्टि से: हम खाड़ियाँ और टोपियाँ देखेंगे; अब कल्पना करें कि हम समुद्र तट पर खड़े हैं और अपने पैरों को देख रहे हैं: हमेशा ऐसे कंकड़ होंगे जो बाकी हिस्सों की तुलना में पानी में अधिक दूर तक निकले होंगे। यानी ज़ूम इन करने पर समुद्र तट अपने जैसा ही रहता है। अमेरिकी (हालाँकि वह फ्रांस में पले-बढ़े) गणितज्ञ बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने वस्तुओं की इस संपत्ति को फ्रैक्चर कहा, और ऐसी वस्तुएं स्वयं - फ्रैक्टल (लैटिन फ्रैक्टस से - टूटी हुई)।

समुद्र तट से, या अधिक सटीक रूप से, इसकी लंबाई मापने के प्रयास से जुड़ी एक दिलचस्प कहानी है, जिसने मैंडलब्रॉट के वैज्ञानिक लेख का आधार बनाया, और उनकी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में भी इसका वर्णन किया गया है। हम बात कर रहे हैं बेहद प्रतिभाशाली और विलक्षण गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और मौसम विज्ञानी लुईस फ्राई रिचर्डसन द्वारा किए गए एक प्रयोग के बारे में। उनके शोध की दिशाओं में से एक दो देशों के बीच सशस्त्र संघर्ष के कारणों और संभावना का गणितीय विवरण खोजने का प्रयास था। उन्होंने जिन मापदंडों को ध्यान में रखा उनमें दो युद्धरत देशों की आम सीमा की लंबाई भी शामिल थी। जब उन्होंने संख्यात्मक प्रयोगों के लिए डेटा एकत्र किया, तो उन्होंने पाया कि स्पेन और पुर्तगाल की आम सीमा पर डेटा विभिन्न स्रोतों से काफी भिन्न था। इससे उन्हें निम्नलिखित खोज हुई: किसी देश की सीमाओं की लंबाई उस शासक पर निर्भर करती है जिससे हम उन्हें मापते हैं। पैमाना जितना छोटा होगा, सीमा उतनी ही लंबी होगी। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिक आवर्धन के साथ तट के अधिक से अधिक नए मोड़ों को ध्यान में रखना संभव हो जाता है, जिन्हें पहले माप की कठोरता के कारण अनदेखा कर दिया गया था। और यदि, पैमाने में प्रत्येक वृद्धि के साथ, रेखाओं के पहले से बेहिसाब मोड़ प्रकट होते हैं, तो यह पता चलता है कि सीमाओं की लंबाई अनंत है! सच है, वास्तव में ऐसा नहीं होता है - हमारे माप की सटीकता की एक सीमित सीमा होती है। इस विरोधाभास को रिचर्डसन प्रभाव कहा जाता है।

आजकल, मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में फ्रैक्टल सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल पेंटिंग के अलावा, ग्राफिक डेटा को संपीड़ित करने के लिए सूचना सिद्धांत में फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है (फ्रैक्टल की आत्म-समानता की संपत्ति का उपयोग मुख्य रूप से यहां किया जाता है - आखिरकार, एक तस्वीर के एक छोटे टुकड़े और परिवर्तनों को याद रखने के लिए जिसके साथ आप प्राप्त कर सकते हैं शेष हिस्सों में, पूरी फ़ाइल को संग्रहीत करने की तुलना में बहुत कम मेमोरी की आवश्यकता होती है)। फ्रैक्टल को परिभाषित करने वाले सूत्रों में यादृच्छिक गड़बड़ी जोड़कर, आप स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल प्राप्त कर सकते हैं जो कुछ वास्तविक वस्तुओं - राहत तत्वों, जलाशयों की सतह, कुछ पौधों को बहुत ही प्रशंसनीय रूप से व्यक्त करते हैं, जिसका उपयोग भौतिकी, भूगोल और कंप्यूटर ग्राफिक्स में अधिक से अधिक प्राप्त करने के लिए सफलतापूर्वक किया जाता है। वास्तविक वस्तुओं के साथ नकली वस्तुओं की समानता। रेडियो इलेक्ट्रॉनिक्स में, पिछले दशक में, फ्रैक्टल आकार वाले एंटेना का उत्पादन शुरू हुआ। कम जगह लेते हुए, वे उच्च गुणवत्ता वाले सिग्नल रिसेप्शन प्रदान करते हैं। और अर्थशास्त्री मुद्रा दर में उतार-चढ़ाव वक्रों का वर्णन करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग करते हैं (इस संपत्ति की खोज 30 साल से भी पहले मैंडेलब्रॉट द्वारा की गई थी)।