कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण - सिद्धांत, उदाहरण, समस्या समाधान। ढलान का पता कैसे लगाएं? ढलान क्या है?

विषय की निरंतरता, एक समतल पर एक रेखा का समीकरण बीजगणित पाठों से एक सीधी रेखा के अध्ययन पर आधारित है। यह आलेख ढलान के साथ सीधी रेखा के समीकरण के विषय पर सामान्य जानकारी प्रदान करता है। आइए परिभाषाओं पर विचार करें, स्वयं समीकरण प्राप्त करें, और अन्य प्रकार के समीकरणों के साथ संबंध की पहचान करें। समस्या समाधान के उदाहरणों का उपयोग करके हर चीज़ पर चर्चा की जाएगी।

ऐसा समीकरण लिखने से पहले, O x अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को उनके कोणीय गुणांक के साथ परिभाषित करना आवश्यक है। आइए मान लें कि समतल पर एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली O x दी गई है।

परिभाषा 1

O x अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण,कार्टेशियन समन्वय प्रणाली O x y में समतल पर स्थित, यह वह कोण है जिसे सकारात्मक दिशा O x से सीधी रेखा वामावर्त में मापा जाता है।

जब रेखा O x के समानांतर होती है या उसमें संपाती होती है, तो झुकाव का कोण 0 होता है। फिर दी गई सीधी रेखा α के झुकाव के कोण को अंतराल [ 0 , π) पर परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा 2

सीधी ढलानकिसी दी गई सीधी रेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा है।

मानक पदनाम k है। परिभाषा से हम पाते हैं कि k = t g α। जब रेखा ऑक्स के समानांतर होती है, तो वे कहते हैं कि ढलान मौजूद नहीं है, क्योंकि यह अनंत तक जाती है।

जब फ़ंक्शन का ग्राफ़ बढ़ता है तो ढलान सकारात्मक होता है और इसके विपरीत। यह आंकड़ा गुणांक के मूल्य के साथ समन्वय प्रणाली के सापेक्ष समकोण के स्थान में विभिन्न भिन्नताएं दिखाता है।

इस कोण को खोजने के लिए, कोणीय गुणांक की परिभाषा को लागू करना और विमान में झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

शर्त से हमारे पास α = 120° है। परिभाषा के अनुसार, ढलान की गणना की जानी चाहिए। आइए इसे सूत्र k = t g α = 120 = - 3 से ज्ञात करें।

उत्तर:के = - 3 .

यदि कोणीय गुणांक ज्ञात है, और भुज अक्ष पर झुकाव का कोण ज्ञात करना आवश्यक है, तो कोणीय गुणांक के मान को ध्यान में रखा जाना चाहिए। यदि k > 0, तो समकोण न्यून कोण है और सूत्र α = a r c t g k द्वारा पाया जाता है। यदि के< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

उदाहरण 2

3 के कोणीय गुणांक के साथ दी गई सीधी रेखा के O x के झुकाव का कोण निर्धारित करें।

समाधान

शर्त से हमारे पास यह है कि कोणीय गुणांक सकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि O x के झुकाव का कोण 90 डिग्री से कम है। गणना सूत्र α = a r c t g k = a r c t g 3 का उपयोग करके की जाती है।

उत्तर: α = a r c t g 3।

उदाहरण 3

यदि ढलान = - 1 3 है तो O x अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण ज्ञात करें।

समाधान

यदि हम अक्षर k को कोणीय गुणांक के पदनाम के रूप में लेते हैं, तो α सकारात्मक दिशा O x में दी गई सीधी रेखा के झुकाव का कोण है। अत: k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - ए आर सी टी जी - 1 3 = π - ए आर सी टी जी 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

उत्तर: 5 π 6 .

y = k x + b के रूप का समीकरण, जहां k ढलान है और b कोई वास्तविक संख्या है, ढलान वाली रेखा का समीकरण कहलाता है। यह समीकरण किसी भी सीधी रेखा के लिए विशिष्ट है जो O y अक्ष के समानांतर नहीं है।

यदि हम एक निश्चित समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक सीधी रेखा पर विस्तार से विचार करते हैं, जो एक कोणीय गुणांक वाले समीकरण द्वारा निर्दिष्ट होती है जिसका रूप y = k x + b होता है। इस मामले में, इसका मतलब है कि समीकरण रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से मेल खाता है। यदि हम बिंदु M, M 1 (x 1, y 1) के निर्देशांक को समीकरण y = k x + b में प्रतिस्थापित करते हैं, तो इस स्थिति में रेखा इस बिंदु से होकर गुजरेगी, अन्यथा बिंदु रेखा से संबंधित नहीं है।

उदाहरण 4

ढलान y = 1 3 x - 1 के साथ एक सीधी रेखा दी गई है। गणना करें कि क्या बिंदु M 1 (3, 0) और M 2 (2, - 2) दी गई रेखा से संबंधित हैं।

समाधान

दिए गए समीकरण में बिंदु M 1 (3, 0) के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, तो हमें 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 मिलता है। समानता सत्य है, जिसका अर्थ है कि बिंदु रेखा से संबंधित है।

यदि हम बिंदु M 2 (2, - 2) के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें फॉर्म की गलत समानता मिलती है - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु M 2 रेखा से संबंधित नहीं है।

उत्तर:एम 1 लाइन से संबंधित है, लेकिन एम 2 नहीं है।

यह ज्ञात है कि रेखा को समीकरण y = k · x + b द्वारा परिभाषित किया गया है, जो M 1 (0, b) से होकर गुजरती है, प्रतिस्थापन पर हमें फॉर्म b = k · 0 + b ⇔ b = b की समानता प्राप्त होती है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समतल पर कोणीय गुणांक y = k x + b वाली एक सीधी रेखा का समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो बिंदु 0, b से होकर गुजरती है। यह O x अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण α बनाता है, जहाँ k = t g α है।

आइए, उदाहरण के तौर पर, y = 3 x - 1 के रूप में निर्दिष्ट कोणीय गुणांक का उपयोग करके परिभाषित एक सीधी रेखा पर विचार करें। हम पाते हैं कि सीधी रेखा O x अक्ष की सकारात्मक दिशा में α = a r c t g 3 = π 3 रेडियन की ढलान के साथ निर्देशांक 0, - 1 वाले बिंदु से होकर गुजरेगी। इससे पता चलता है कि गुणांक 3 है।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान वाली सीधी रेखा का समीकरण

किसी समस्या को हल करना आवश्यक है जहाँ बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली दी गई ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

समानता y 1 = k · x + b को वैध माना जा सकता है, क्योंकि रेखा बिंदु M 1 (x 1, y 1) से होकर गुजरती है। संख्या बी को हटाने के लिए, बाईं और दाईं ओर से ढलान वाले समीकरण को घटाना आवश्यक है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि y - y 1 = k · (x - x 1) . इस समानता को दिए गए ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है, जो बिंदु M 1 (x 1, y 1) के निर्देशांक से होकर गुजरती है।

उदाहरण 5

निर्देशांक (4, - 1) के साथ बिंदु M 1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें, जिसका कोणीय गुणांक - 2 के बराबर हो।

समाधान

शर्त के अनुसार हमारे पास x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2 है। यहां से रेखा का समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

उत्तर: y = - 2 x + 7 .

उदाहरण 6

कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें जो बिंदु M 1 से निर्देशांक (3, 5) के साथ गुजरती है, सीधी रेखा y = 2 x - 2 के समानांतर।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास यह है कि समानांतर रेखाओं में झुकाव के कोण समान हैं, जिसका अर्थ है कि कोणीय गुणांक बराबर हैं। इस समीकरण से ढलान खोजने के लिए, आपको इसका मूल सूत्र y = 2 x - 2 याद रखना होगा, यह k = 2 का अनुसरण करता है। हम ढलान गुणांक के साथ एक समीकरण बनाते हैं और प्राप्त करते हैं:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

उत्तर: y = 2 x - 1 .

ढलान के साथ एक सीधी रेखा समीकरण से अन्य प्रकार की सीधी रेखा समीकरणों और पीछे की ओर संक्रमण

यह समीकरण हमेशा समस्याओं को हल करने के लिए लागू नहीं होता है, क्योंकि यह बहुत आसानी से लिखा नहीं जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको इसे एक अलग रूप में प्रस्तुत करना होगा। उदाहरण के लिए, y = k x + b के रूप का समीकरण हमें एक सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक या एक सामान्य वेक्टर के निर्देशांक लिखने की अनुमति नहीं देता है। ऐसा करने के लिए, आपको विभिन्न प्रकार के समीकरणों के साथ प्रतिनिधित्व करना सीखना होगा।

हम कोण गुणांक वाली एक रेखा के समीकरण का उपयोग करके एक समतल पर एक रेखा का विहित समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। हमें x - x 1 a x = y - y 1 a y मिलता है। शब्द b को बाईं ओर ले जाना और परिणामी असमानता की अभिव्यक्ति से विभाजित करना आवश्यक है। तब हमें y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k के रूप का एक समीकरण मिलता है।

ढलान वाली रेखा का समीकरण इस रेखा का विहित समीकरण बन गया है।

उदाहरण 7

कोणीय गुणांक y = - 3 x + 12 वाली सीधी रेखा के समीकरण को विहित रूप में लाएँ।

समाधान

आइए हम इसकी गणना करें और इसे एक सीधी रेखा के विहित समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें। हमें इस रूप का एक समीकरण मिलता है:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

उत्तर: x 1 = y - 12 - 3.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण y = k · x + b से प्राप्त करना सबसे आसान है, लेकिन इसके लिए परिवर्तन करना आवश्यक है: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. रेखा के सामान्य समीकरण से भिन्न प्रकार के समीकरणों में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण 8

y = 1 7 x - 2 के रूप का एक सीधी रेखा समीकरण दिया गया है। पता लगाएँ कि क्या निर्देशांक a → = (- 1, 7) वाला वेक्टर एक सामान्य रेखा वेक्टर है?

समाधान

इसे हल करने के लिए इस समीकरण के दूसरे रूप की ओर जाना आवश्यक है, इसके लिए हम लिखते हैं:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

चर के सामने के गुणांक रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं। आइए इसे इस तरह लिखें: n → = 1 7, - 1, इसलिए 1 7 x - y - 2 = 0. यह स्पष्ट है कि सदिश a → = (- 1, 7) सदिश n → = 1 7, - 1 के संरेख है, क्योंकि हमारे पास उचित संबंध a → = - 7 · n → है। इसका तात्पर्य यह है कि मूल वेक्टर a → = - 1, 7 रेखा 1 7 x - y - 2 = 0 का एक सामान्य वेक्टर है, जिसका अर्थ है कि इसे रेखा y = 1 7 x - 2 के लिए एक सामान्य वेक्टर माना जाता है।

उत्तर:है

आइए इसकी उलटी समस्या को हल करें।

समीकरण A x + B y + C = 0, जहां B ≠ 0, के सामान्य रूप से कोणीय गुणांक वाले समीकरण की ओर बढ़ना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम y के समीकरण को हल करते हैं। हमें A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B मिलता है।

परिणाम - A B के बराबर ढलान वाला एक समीकरण है।

उदाहरण 9

2 3 x - 4 y + 1 = 0 के रूप का एक सीधी रेखा समीकरण दिया गया है। कोणीय गुणांक के साथ दी गई रेखा का समीकरण प्राप्त करें।

समाधान

शर्त के आधार पर, y को हल करना आवश्यक है, फिर हमें फॉर्म का एक समीकरण प्राप्त होता है:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4।

उत्तर: y = 1 6 x + 1 4 .

x a + y b = 1 के रूप का एक समीकरण इसी प्रकार हल किया जाता है, जिसे खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है, या x - x 1 a x = y - y 1 a y के रूप का विहित समीकरण कहा जाता है। हमें इसे y के लिए हल करने की आवश्यकता है, तभी हमें ढलान के साथ एक समीकरण मिलता है:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

विहित समीकरण को कोणीय गुणांक वाले रूप में घटाया जा सकता है। इसके लिए:

एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई ⇔ ए वाई · (एक्स - एक्स 1) = ए एक्स · (वाई - वाई 1) ⇔ ⇔ ए एक्स · वाई = ए वाई · एक्स - ए वाई · एक्स 1 + ए एक्स · वाई 1 ⇔ वाई = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

उदाहरण 10

समीकरण x 2 + y - 3 = 1 द्वारा दी गई एक सीधी रेखा है। कोणीय गुणांक वाले समीकरण के रूप में घटाएँ।

समाधान।

स्थिति के आधार पर, परिवर्तन करना आवश्यक है, फिर हमें _सूत्र_ के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है। आवश्यक ढलान समीकरण प्राप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को - 3 से गुणा किया जाना चाहिए। परिवर्तन करते हुए, हमें मिलता है:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

उत्तर: y = 3 2 x - 3 .

उदाहरण 11

x - 2 2 = y + 1 5 के रूप के सरल रेखा समीकरण को कोणीय गुणांक वाले रूप में घटाएँ।

समाधान

अनुपात के रूप में अभिव्यक्ति x - 2 2 = y + 1 5 की गणना करना आवश्यक है। हम पाते हैं कि 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . अब आपको ऐसा करने के लिए इसे पूरी तरह से सक्षम करने की आवश्यकता है:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

उत्तर: y = 5 2 x - 6 .

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ रूप की रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को रेखा के विहित समीकरण में घटाया जाना चाहिए, इसके बाद ही कोई समीकरण के साथ आगे बढ़ सकता है ढलान गुणांक.

उदाहरण 12

रेखा का ढलान ज्ञात करें यदि यह पैरामीट्रिक समीकरण x = λ y = - 1 + 2 · λ द्वारा दिया गया है।

समाधान

पैरामीट्रिक दृश्य से ढलान की ओर संक्रमण करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम दिए गए पैरामीट्रिक से विहित समीकरण पाते हैं:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2।

अब कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करने के लिए y के संबंध में इस समानता को हल करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आइए इसे इस प्रकार लिखें:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि रेखा का ढलान 2 है। इसे k = 2 के रूप में लिखा जाता है।

उत्तर:के = 2.

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ

यह आंकड़ा सीधी रेखा के झुकाव के कोण को दर्शाता है और आयताकार समन्वय प्रणाली के सापेक्ष सीधी रेखा के स्थान के लिए विभिन्न विकल्पों के लिए कोणीय गुणांक के मूल्य को इंगित करता है।

ऑक्स अक्ष के झुकाव के ज्ञात कोण के साथ एक सीधी रेखा का ढलान ढूँढना कोई कठिनाई पेश नहीं करता है। ऐसा करने के लिए, कोणीय गुणांक की परिभाषा को याद करना और झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा की गणना करना पर्याप्त है।

उदाहरण।

एक सीधी रेखा का ढलान ज्ञात करें यदि इसका भुज अक्ष पर झुकाव का कोण बराबर है।

समाधान।

शर्त के अनुसार. फिर, एक सीधी रेखा के ढलान की परिभाषा के अनुसार, हम गणना करते हैं .

उत्तर:

ज्ञात ढलान के साथ x-अक्ष पर एक सीधी रेखा के झुकाव के कोण को खोजने का कार्य थोड़ा अधिक जटिल है। यहां ढलान के संकेत को ध्यान में रखना आवश्यक है। जब सीधी रेखा का झुकाव कोण न्यूनकोण होता है और पाया जाता है। जब सीधी रेखा के झुकाव का कोण अधिक होता है और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है .

उदाहरण।

भुज अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण निर्धारित करें यदि इसकी ढलान 3 के बराबर है।

समाधान।

चूँकि स्थिति के अनुसार कोणीय गुणांक धनात्मक है, ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण तीव्र है। हम सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना करते हैं।

उत्तर:

उदाहरण।

सीधी रेखा का ढलान है। ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण निर्धारित करें।

समाधान।

चलो निरूपित करें k सीधी रेखा का कोणीय गुणांक है, - ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में इस सीधी रेखा के झुकाव का कोण। क्योंकि , तो हम निम्नलिखित रूप की रेखा के झुकाव के कोण को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं . हम इसमें शर्त से डेटा प्रतिस्थापित करते हैं: .

उत्तर:

कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण.

ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणका रूप है, जहाँ k रेखा का ढलान है, b कुछ वास्तविक संख्या है। कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करके, आप किसी भी सीधी रेखा को निर्दिष्ट कर सकते हैं जो ओए अक्ष के समानांतर नहीं है (ऑर्डिनेट अक्ष के समानांतर सीधी रेखा के लिए, कोणीय गुणांक परिभाषित नहीं है)।

आइए वाक्यांश का अर्थ समझें: "एक निश्चित समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक सीधी रेखा "" के कोणीय गुणांक के साथ एक समीकरण द्वारा दी जाती है। इसका मतलब यह है कि समीकरण रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है और समतल पर किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है। इस प्रकार, यदि किसी बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर सही समानता प्राप्त हो जाती है, तो सीधी रेखा इस बिंदु से होकर गुजरती है। अन्यथा, बात लाइन पर नहीं है.

उदाहरण।

सीधी रेखा ढलान वाले समीकरण द्वारा दी गई है। क्या बिंदु भी इसी रेखा के हैं?

समाधान।

आइए ढलान के साथ सीधी रेखा के मूल समीकरण में बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें: . हमने सही समानता प्राप्त कर ली है, इसलिए, बिंदु M 1 रेखा पर स्थित है।

किसी बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते समय, हमें एक गलत समानता मिलती है: . इस प्रकार, बिंदु M 2 रेखा पर स्थित नहीं है।

उत्तर:

डॉट एम 1 लाइन से संबंधित है, एम 2 नहीं है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा परिभाषित एक सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है, क्योंकि जब हम इसके निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं तो हमें सही समानता प्राप्त होती है:।

इस प्रकार, एक कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण विमान पर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो एक बिंदु से होकर गुजरती है और एक्स-अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक कोण बनाती है, और।

उदाहरण के तौर पर, आइए हम फॉर्म के कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा परिभाषित एक सीधी रेखा को चित्रित करें। यह रेखा एक बिंदु से होकर गुजरती है और इसमें ढलान है ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में रेडियन (60 डिग्री)। इसका ढलान बराबर है.

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

अब हम एक बहुत ही महत्वपूर्ण समस्या का समाधान करेंगे: हम दिए गए ढलान k और बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करेंगे।

चूँकि रेखा बिंदु से होकर गुजरती है, समानता सत्य है . हम संख्या नहीं जानते बी. इससे छुटकारा पाने के लिए, हम ढलान गुणांक के साथ सीधी रेखा के समीकरण के बाएं और दाएं पक्षों से क्रमशः अंतिम समानता के बाएं और दाएं पक्षों को घटाते हैं। इस मामले में हमें मिलता है . ये समानता है किसी दिए गए ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण, जो किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरती है.

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण।

बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण लिखिए, इस रेखा का ढलान -2 है।

समाधान।

हमारी जो स्थिति है उससे . फिर कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण रूप ले लेगा।

उत्तर:

उदाहरण।

एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें यदि यह ज्ञात हो कि यह एक बिंदु से होकर गुजरती है और ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में झुकाव का कोण बराबर है।

समाधान।

सबसे पहले, आइए उस रेखा के ढलान की गणना करें जिसका समीकरण हम ढूंढ रहे हैं (हमने इस समस्या को इस लेख के पिछले पैराग्राफ में हल किया है)। ए-प्राथमिकता . अब हमारे पास कोण गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखने के लिए सारा डेटा है:

उत्तर:

उदाहरण।

रेखा के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाली कोणीय गुणांक वाली रेखा का समीकरण लिखें।

समाधान।

जाहिर है, ऑक्स अक्ष पर समानांतर रेखाओं के झुकाव के कोण मेल खाते हैं (यदि आवश्यक हो, तो रेखाओं की समानता पर लेख देखें), इसलिए, समानांतर रेखाओं के कोणीय गुणांक बराबर होते हैं। तब सीधी रेखा का ढलान, जिसका समीकरण हमें प्राप्त करना है, 2 के बराबर है, क्योंकि सीधी रेखा का ढलान 2 के बराबर है। अब हम ढलान वाली एक सीधी रेखा का आवश्यक समीकरण बना सकते हैं:

उत्तर:

कोण गुणांक वाली रेखा के समीकरण से रेखा के अन्य प्रकार के समीकरण में संक्रमण और इसके विपरीत।

तमाम परिचितता के बावजूद, समस्याओं को हल करते समय कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण हमेशा उपयोग में सुविधाजनक नहीं होता है। कुछ मामलों में, जब किसी रेखा के समीकरण को भिन्न रूप में प्रस्तुत किया जाता है तो समस्याओं को हल करना आसान हो जाता है। उदाहरण के लिए, कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण आपको सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक या सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को तुरंत लिखने की अनुमति नहीं देता है। इसलिए, आपको कोण गुणांक वाली एक सीधी रेखा के समीकरण से इस सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों की ओर बढ़ना सीखना चाहिए।

कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा के समीकरण से प्रपत्र के समतल पर एक सीधी रेखा का विहित समीकरण प्राप्त करना आसान है . ऐसा करने के लिए, हम पद b को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर विपरीत चिह्न के साथ ले जाते हैं, फिर परिणामी समानता के दोनों पक्षों को ढलान k: से विभाजित करते हैं। ये क्रियाएं हमें कोण गुणांक वाली एक रेखा के समीकरण से एक रेखा के विहित समीकरण तक ले जाती हैं।

उदाहरण।

कोण गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण दीजिए विहित रूप में.

समाधान।

आइए आवश्यक परिवर्तन करें: .

उत्तर:

उदाहरण।

एक सीधी रेखा कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा दी जाती है। क्या सदिश इस रेखा का एक सामान्य सदिश है?

समाधान।

इस समस्या को हल करने के लिए, आइए कोण गुणांक वाली एक सीधी रेखा के समीकरण से इस सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की ओर बढ़ें: . हम जानते हैं कि एक रेखा के सामान्य समीकरण में चर x और y के गुणांक इस रेखा के सामान्य वेक्टर के संगत निर्देशांक होते हैं, अर्थात रेखा के सामान्य वेक्टर . यह स्पष्ट है कि वेक्टर वेक्टर के संरेख है, क्योंकि संबंध मान्य है (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें)। इस प्रकार, मूल वेक्टर भी एक सामान्य रेखा वेक्टर है , और, इसलिए, एक सामान्य वेक्टर और मूल रेखा है।

उत्तर:

हां यह है।

और अब हम व्युत्क्रम समस्या को हल करेंगे - एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण को एक कोण गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरण में बदलने की समस्या।

प्रपत्र के सामान्य सीधी रेखा समीकरण से , जिसमें ढलान गुणांक वाले समीकरण पर जाना बहुत आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको y के संबंध में रेखा के सामान्य समीकरण को हल करना होगा। इस मामले में हमें मिलता है. परिणामी समानता एक सीधी रेखा का समीकरण है जिसका कोणीय गुणांक बराबर है।

पिछले अध्याय में यह दिखाया गया था कि, विमान पर एक निश्चित समन्वय प्रणाली का चयन करके, हम वर्तमान निर्देशांक के बीच एक समीकरण द्वारा विचाराधीन रेखा के बिंदुओं को चिह्नित करने वाले ज्यामितीय गुणों को विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त कर सकते हैं। इस प्रकार हमें रेखा का समीकरण प्राप्त होता है। यह अध्याय सीधी रेखा समीकरणों पर गौर करेगा।

कार्टेशियन निर्देशांक में एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण बनाने के लिए, आपको किसी तरह ऐसी स्थितियाँ निर्धारित करने की आवश्यकता है जो निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष इसकी स्थिति निर्धारित करती हैं।

सबसे पहले, हम एक रेखा के कोणीय गुणांक की अवधारणा का परिचय देंगे, जो एक समतल पर एक रेखा की स्थिति को दर्शाने वाली मात्राओं में से एक है।

आइए ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को वह कोण कहते हैं जिससे ऑक्स अक्ष को घुमाने की आवश्यकता होती है ताकि यह दी गई रेखा के साथ मेल खाए (या इसके समानांतर हो)। हमेशा की तरह, हम चिह्न को ध्यान में रखते हुए कोण पर विचार करेंगे (चिह्न घूर्णन की दिशा से निर्धारित होता है: वामावर्त या दक्षिणावर्त)। चूँकि 180° के कोण के माध्यम से ऑक्स अक्ष का एक अतिरिक्त घुमाव इसे फिर से सीधी रेखा के साथ संरेखित करेगा, अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को स्पष्ट रूप से नहीं चुना जा सकता है (एक पद के भीतर, एक से अधिक)।

इस कोण की स्पर्श रेखा विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है (क्योंकि कोण बदलने से इसकी स्पर्श रेखा नहीं बदलती है)।

ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा को सीधी रेखा का कोणीय गुणांक कहा जाता है।

कोणीय गुणांक सीधी रेखा की दिशा को दर्शाता है (हम यहां सीधी रेखा की दो परस्पर विपरीत दिशाओं के बीच अंतर नहीं करते हैं)। यदि किसी रेखा का ढलान शून्य है, तो रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है। एक सकारात्मक कोणीय गुणांक के साथ, ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण तीव्र होगा (हम यहां झुकाव कोण के सबसे छोटे सकारात्मक मूल्य पर विचार कर रहे हैं) (छवि 39); इसके अलावा, कोणीय गुणांक जितना अधिक होगा, ऑक्स अक्ष पर इसके झुकाव का कोण उतना ही अधिक होगा। यदि कोणीय गुणांक ऋणात्मक है, तो ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण अधिक होगा (चित्र 40)। ध्यान दें कि ऑक्स अक्ष पर लंबवत एक सीधी रेखा में कोणीय गुणांक नहीं होता है (कोण का स्पर्शरेखा मौजूद नहीं होता है)।

गणित में, कार्तीय निर्देशांक तल पर एक रेखा की स्थिति का वर्णन करने वाले मापदंडों में से एक इस रेखा का कोणीय गुणांक है। यह पैरामीटर एब्सिस्सा अक्ष पर सीधी रेखा के ढलान को दर्शाता है। यह समझने के लिए कि ढलान का पता कैसे लगाया जाए, पहले XY समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा के समीकरण के सामान्य रूप को याद करें।

सामान्य तौर पर, किसी भी रेखा को अभिव्यक्ति ax+by=c द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां a, b और c मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं, लेकिन a 2 + b 2 ≠ 0।

सरल परिवर्तनों का उपयोग करके, ऐसे समीकरण को y=kx+d के रूप में लाया जा सकता है, जिसमें k और d वास्तविक संख्याएँ हैं। संख्या k ढलान है, और इस प्रकार की रेखा के समीकरण को ढलान वाला समीकरण कहा जाता है। यह पता चला है कि ढलान खोजने के लिए, आपको बस मूल समीकरण को ऊपर बताए गए फॉर्म में कम करना होगा। अधिक संपूर्ण समझ के लिए, एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें:

समस्या: समीकरण 36x - 18y = 108 द्वारा दी गई रेखा का ढलान ज्ञात करें

समाधान: आइए मूल समीकरण को रूपांतरित करें।

उत्तर: इस रेखा का अपेक्षित ढलान 2 है।

यदि, समीकरण के परिवर्तन के दौरान, हमें x = const जैसी अभिव्यक्ति प्राप्त हुई और परिणामस्वरूप हम y को x के एक फलन के रूप में प्रस्तुत नहीं कर सकते, तो हम X अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के साथ काम कर रहे हैं। ऐसे का कोणीय गुणांक एक सीधी रेखा अनंत के बराबर होती है.

y = const जैसे समीकरण द्वारा व्यक्त रेखाओं के लिए ढलान शून्य है। यह भुज अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं के लिए विशिष्ट है। उदाहरण के लिए:

समस्या: समीकरण 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 द्वारा दी गई रेखा का ढलान ज्ञात करें

समाधान: आइए मूल समीकरण को उसके सामान्य रूप में लाएँ

24x + 12y - 12y + 28 = 4

परिणामी अभिव्यक्ति से y को व्यक्त करना असंभव है, इसलिए इस रेखा का कोणीय गुणांक अनंत के बराबर है, और रेखा स्वयं Y अक्ष के समानांतर होगी।

ज्यामितीय अर्थ

बेहतर समझ के लिए, आइए चित्र देखें:

चित्र में हम y = kx जैसे किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ देखते हैं। सरल बनाने के लिए, आइए गुणांक c = 0 लें। त्रिभुज OAB में, भुजा BA से AO का अनुपात कोणीय गुणांक k के बराबर होगा। साथ ही, अनुपात BA/AO समकोण त्रिभुज OAB में न्यून कोण α की स्पर्श रेखा है। यह पता चला है कि सीधी रेखा का कोणीय गुणांक उस कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है जो यह सीधी रेखा समन्वय ग्रिड के भुज अक्ष के साथ बनाती है।

एक सीधी रेखा का कोणीय गुणांक कैसे ज्ञात किया जाए, इस समस्या को हल करते हुए, हम इसके और समन्वय ग्रिड के एक्स अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात करते हैं। सीमा मामले, जब प्रश्न में रेखा समन्वय अक्षों के समानांतर होती है, तो उपरोक्त की पुष्टि करें। दरअसल, समीकरण y=const द्वारा वर्णित एक सीधी रेखा के लिए, इसके और भुज अक्ष के बीच का कोण शून्य है। शून्य कोण की स्पर्शरेखा भी शून्य होती है और ढलान भी शून्य होता है।

x-अक्ष पर लंबवत और समीकरण x=const द्वारा वर्णित सीधी रेखाओं के लिए, उनके और X-अक्ष के बीच का कोण 90 डिग्री है। समकोण की स्पर्श रेखा अनंत के बराबर होती है और समान सीधी रेखाओं का कोणीय गुणांक भी अनंत के बराबर होता है, जो ऊपर लिखी बात की पुष्टि करता है।

स्पर्शरेखा ढलान

व्यवहार में अक्सर सामने आने वाला एक सामान्य कार्य किसी निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का ढलान ज्ञात करना भी है। स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है, इसलिए ढलान की अवधारणा इस पर भी लागू होती है।

यह जानने के लिए कि स्पर्शरेखा का ढलान कैसे ज्ञात किया जाए, हमें व्युत्पन्न की अवधारणा को याद करना होगा। किसी निश्चित बिंदु पर किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक स्थिर संख्यात्मक रूप से कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है जो इस फ़ंक्शन के ग्राफ और एब्सिस्सा अक्ष के निर्दिष्ट बिंदु पर स्पर्शरेखा के बीच बनता है। यह पता चला है कि बिंदु x 0 पर स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक को निर्धारित करने के लिए, हमें इस बिंदु k = f"(x 0) पर मूल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है। आइए उदाहरण देखें:

समस्या: x = 0.1 पर फ़ंक्शन y = 12x 2 + 2xe x की स्पर्श रेखा की ढलान ज्ञात करें।

समाधान: मूल फलन का व्युत्पन्न सामान्य रूप में ज्ञात कीजिए

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

उत्तर: बिंदु x = 0.1 पर आवश्यक ढलान 4.831 है